חוג הפולינומים מעל שדה

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־12:53, 20 ביולי 2013 מאת אור שחף (שיחה | תרומות) (הגדרה)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

הגדרה

יהי F שדה. ביטוי פורמלי מהצורה \sum_{i=0}^na_ix^i=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n כאשר n\geq0 ו-a_1,\ldots,a_n\in F נקרא פולינום במשתנה x מעל F. האיברים a_0,\ldots,a_n נקראים מקדמי הפולינום.

נניח כי m\leq n אנו נאמר כי שני פולינומים \sum_{i=0}^na_ix^i,\,\sum_{j=1}^mb_jx^j הם שקולים אם a_i=b_i עבור 0\leq i\leq m ו-a_i=0 עבור m<i\leq n. מעכשיו, כאשר נדבר על פולינום נתכוון בעצם למחלקת השקילות של כל הפולינומים השקולים לו. עדיף לא לחשוב על זה.

כל פולינום f(x) שאינו פולינום ה-0 (פולינום שכל מקדמיו הם 0) שקול לפולינום יחיד a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n עם a_n\neq 0. המספר n נקרא דרגת הפולינום ומסומן ב-\deg f. מעלת פולינום ה-0 מוגדרת לעיתים להיות -\infty.

הערה: כל פולינום f(x)=a_0+a_1x_1\ldots+a_nx^n משרה פונקציה מ-F לעצמו ששולחת את u\in F ל-f(u):=a_0+a_1u+\ldots+a_nu^n. אם השדה F סופי, ייתכן כי שני פולינומים שונים ישרו אותה פונקציה.


אוסף הפולינומים מעל F במשתנה x יסומן ב-F[x]. מגידירים על F[x] חיבור וכפל על ידי הנוסחאות:

  • \sum_{i=0}^na_ix^i+\sum_{i=0}^nb_ix^n=\sum_{i=0}^n(a_i+b_i)x^n (אם דרגת הפולינומים שמחברים לא שווה החליפו אותם בפולינומים שקולים עם אותה דרגה.)
  • \sum_{i=0}^na_ix^i\cdot\sum_{j=0}^mb_jx^j=\sum_{k=0}^{m+n}\left(\sum_{0\leq i\leq n,0\leq j\leq m,m+n=k}a_ib_j\right)x^k

הפעולות האלה הופכות את F[x] לחוג.

הערה: כל ההגדרות לעיל עובדות לכל חוג ולא רק לשדות.

תכונות

אם F שדה, החוג F[x] הוא תחום אוקלידי. פונקציית הדרגה תהייה דרגת הפולינום. כתוצאה מכך:

  • לכל שני פולינומים קיים מחלק משותף מקסימלי וניתן למצוא אותן ע"י האלגוריתם של אוקלידס.
  • F[x] תחום ראשי, כלומר כל אידיאל נוצר ע"י איבר אחד. אם האידיאל אינו 0, האיבר הזה הוא בעל דרגה מינימלית באידיאל (אם מתעלמים מפולינום ה-0).
  • F[x] הוא תחום פריקות יחידה (לכל פולינום יש פירוק יחיד לגורמים)
  • פולינום שונה מ-0 הוא אי-פריק אם ורק אם הוא ראשוני.
  • כל אידיאל ראשוני שונה מ-0 של F[x] הוא מקסימלי. בפרט, אם p(x)\neq 0 הוא ראשוני (או אי פריק) אז F[x]/p(x)F[x] הוא שדה.