[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
==תרגילים==
===דוגמא 1: <math>f(x)=x^2-6x+5</math>===
====תחום הגדרה====
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום הגדרתה היא <math>A</math> - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> .
====זוגיות/אי-זוגיות====
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(-x)=f(x)</math> .
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי-זוגית אם <math>f(-x)=-f(x)</math> .
דוגמא: <math>f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אינה זוגית ואינה אי-זוגית.
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x</math> הן הנקודות <math>(1,0)\ ,\ (5,0)</math>
החיתוך עם ציר <math>y</math> היא הנקודה <math>(0,5)</math> .
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם
<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> .
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. <math>x_0</math> תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> כך ש-
<math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> .
משפט: אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math> :
<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_0=3</math> .
====מקס' או מיני'====
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
*בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב <math>f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5</math> ולכן 3 נקודות מיני'.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר <math>x=3</math> נקודת מיני'.
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> הוא <math>[3,\infty)</math> ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> .
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> (או <math>f''(x)<0</math>) אז <math>x_0</math> נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו <math>f''(x)=2</math> ולכן <math>f''(2)>0</math> .
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
תהא <math>f(x)</math> גזירה בנקודה <math>x_0</math> אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> אם קיימת סביבה <math>U</math> של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:
<math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> .
נאמר כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.
משפט: <math>f''(x_0)>0</math> או <math>f''(x_0)<0</math> אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> .
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .
דוגמא: <math>f''(x)=2</math> ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
====אסימפטוטות====
הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- <math>f(x)</math> היא קו מהצורה <math>x=a</math> כך שמתקיים <math>\lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty</math> . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> .
איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}</math> ואז <math>b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]</math> .
דוגמא - אצלנו:
<math>\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>
ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>
ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
===דוגמא 2: <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math>===
====תחום הגדרה====
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
====זוגיות/אי-זוגיות====
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x</math> הוא <math>(1,0)</math> .
החיתוך עם ציר <math>y</math> לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
<math>f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> .
<math>f(e)<0</math> ולכן זוהי נקודת מקס'.
תחומי העליה של הפונקציה <math>(0,e)</math> .
תחומי הירידה <math>(e,\infty)</math> .
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .
<math>f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול.
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- <math>(0,e\sqrt{e})</math> .
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- <math>(e\sqrt{e},\infty)</math> .
====אסימפטוטות====
אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty</math> .
אסימפטוטה אופקית:
<math>\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math>
ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית.
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0</math>
ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]]
===דוגמא 3: <math>f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}</math>===
====תחום הגדרה====
<math>x\ne\pm2\sqrt3</math>
====זוגיות/אי-זוגיות====
<math>f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית.
===נקודות קיצון===
<math>f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math>
(נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
=====מקס' או מיני'=====
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :
<math>\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}</math>
ולכן משמאל ל-'''6-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'.
6 נקודת מקס'.
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
דוגמא:
<math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}</math>
הנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> .
נבדוק:
<math>\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}</math>
ומכאן מסיקים כי -
בקטע <math>(-\infty,-2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע <math>(-2\sqrt3,0)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
בקטע <math>(0,2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
בקטע <math>(2\sqrt3,\infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
====אסימפטוטות====
ל- <math>f(x)=\frac{x^3}{12-x^2}</math> יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- <math>x=\pm2\sqrt3</math>
כי <math>\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty</math>
<math>\lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty</math>
אסימפטוטה אופקית:
<math>\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}</math>
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר
ולכן <math>l(x)=-x</math> אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math>
====ציור הפונקציה====
[[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]]
משפטים לסיכום:
'''1)''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
'''2)''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.
'''3)''' אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם.
'''4)''' אם <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .