[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
== תרגילים =====דוגמא מספר 1 - : <math>f(x)=x^{2}-6x+5</math> === ====תחום הגדרה====הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום הגדרתה היא <math>A</math> - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.
דוגמא: תחום הגדרהההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> .
====זוגיות/אי-זוגיות====הגדרה: <math>תהא f(x)</math>פונקציה. תחום ההגדרה של תקרא '''זוגית''' אם <math>f(-x)</math>היא A- אוסף כל הנקודות בהם <math>=f(x)</math> מוגדרת.
דוגמאהגדרה: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר תקרא אי-זוגית אם <math>\mathbb{R}f(-x)=-f(x)</math> ====זוגיות/אי זוגיות====.
הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא '''זוגית''' אם <math>f(x)=f(-x)</math>הגדרה: <math>f(x)</math> תקרא אי זוגית אם <math>f(x)=-f(-x)</math> דוגמא: <math>f(-x)=x^{2}+6x+5\not=\,\pm\, f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math>אינה זוגית ואינה אי -זוגית.
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x </math> הן הנקודות <math>(1,0).\ ,\ (5.,0)</math>
החיתוך עם ציר <math>y </math> היא הנקודה <math>(0,5)</math>.
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם
הגדרה: תהא <math>f(x)</math>פונקציה. נאמר ש <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math>אם <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\leq le f(y)</math>(או <math>\forall x<y\in U:\, f(x)\geq ge f(y)</math>).
הגדרה: תהא תהי <math>f(x)</math>פונקציה. <math>x_{0}x_0</math>תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math>כך ש <math>\forall x\in U:f(x)\leq f(x_{0})</math>(או <math>\forall x\in U:f(x)\geq f(x_{0})</math> )-
<math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> . משפט: אם <math>f(x)</math>גזירה בנקודת קיצון <math>x_{0}x_0</math>אזי <math>f'(x_{0}x_0)=0</math>.
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
מסקנה: בשביל למצוא נקודות דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון של ל- <math>f(x)</math>מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math>או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.:
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל <math>f(x)</math>: <math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_{0}x_0=3</math>.
====מקס' או מיני'====
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
*בדיקת הפונצקיה הפונקציה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב <math>f(0)=5\,,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5</math>ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם. *בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי : אם <math>f'(x)\leq0</math> בקטע Iאזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\geq0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\,,f'(4)>0</math>ולכן משמאל ל 3הפונקציה יורדת ומימין ל 3היא עולה ולכן 3נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math>הוא <math>[3.\infty)</math>ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math>
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' נקודות אלו - כי אם הנגזרת הפונקציה היתה מחליפה איפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' נקודת קיצון ואז היינו והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*מבחן בדיקת ערכי הנגזרת השניה- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x_{0}x)=0\le0</math>ומתקיים בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f"'(x_{0}x)>0\ge0</math>(או אז הפונקציה עולה שם): <math>f"'(x0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> )אז ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר <math>x_{0}x=3</math> נקודות נקודת מיני' (או מקס'):.
אצלנו הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f"(x)=2</math> ולכן הוא <math>f"(2[3,\infty)</math>0ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math>.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
*מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)====תחומי קעירות0</קמירות ונקודות פיתול====math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> (או <math>f''(x)<0</math>) אז <math>x_0</math> נקודות מיני' (או מקס'):
תהא אצלנו <math>f''(x)=2</math> גזירה בנקודה ולכן <math>x_{0}</math>אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה f''(כלפי מטה2) ב <math>x_{0}</math>אם קיימת סביבה <math>U</math>של <math>x_{0}</math>כך שלכל <math>x\in U</math> מתקיים:.
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====תהא <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x</math> גזירה בנקודה <math>x_0</math> אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב-x_{0})+f(x_{0})<math>x_0</math> אם קיימת סביבה <math>U</math> של <math>x_0</math> כך שלכל <math>x\in U</math>מתקיים:
(<math>f(x)\leq ge f'(x_{0}x_0)(x-x_{0}x_0)+f(x_{0}x_0)</math>או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> .
נאמר כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.
נאמר ש משפט: <math>x_{f''(x_0)>0}</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה או <math>Uf''(x_0)<0</math>ימנית בה אז <math>f(x)\geq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})</math>וסביבה שמאלית <math>V<קעורה כלפי מעלה/math>בה מטה ב- <math>f(x)\leq f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})x_0</math> או להיפך.
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"''(x_{0}x)>0</math><math>(f"(x_{0})<0)</math>אז אינה קיימת או ש- <math>f''(x)</math>קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-<math>x_{=0}</math> .
משפטדוגמא: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"(x)</math>אינה קיימת או ש <math>f"''(x)=02</math> דוגמא: f"(x)=2ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
====אסימטוטות אסימפטוטות====הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- <math>f(x)</math> היא קו מהצורה <math>x=a</math> כך שמתקיים <math>\lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty</math> . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>fl(x)=ax+b</math>היא קו מהצורה המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=a0</math>כך שמתקיים או <math>lim_\lim\limits_{x\to a-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=\infty0</math>אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר איך מוצאים? מתקיים <math>l(x)a=ax+b</math>המקיים <math>lim_\lim\limits_{x\to\infty}|\dfrac{f(x)-l(}{x)|=0}</math>או ואז <math>lim_b=\lim\limits_{x\to-\infty}|\big[f(x)-l(x)|=0ax\big]</math> .
איך מוצאים ? מתקייםדוגמא - אצלנו:
<math>\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>
ואז<math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)</math> ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
דוגמא- אצלנו:====התנהגות הפונקציה באינסוף====עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math>
<math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inft</math>yולכן אין אסימטוטה אופקית ====התנהגות הפונצקיה באינסוף==== עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math> ציור הפונקציה[[קובץ:Example1CStirgul2.gif]] ===דוגמא 2: <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>===
===דוגמא 2: <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math>===
====תחום הגדרה====
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
<math>x>0</math>כי <math>\ln(x)</math>לא מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים. ====זוגיות/אי -זוגיות====
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
====חיתוך עם הצירים====
החיתוך עם ציר <math>x</math> הוא <math>(1,0)</math> .
החיתוך עם ציר <math>xy</math>הוא <math>(1,0)</math> החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה.
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
<math>f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>
הסימן של <math>f'('</math> נקבע ע"י <math>-x)=-2x\frac{big(1-\ln(x)}{\big)=-x^{\big(3-2}}</math>לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>\ln(x=e)\big)</math> .
הסימן של <math>f"</math> נקבע ע"י <math>-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))</math> <math>f(e)<0</math>ולכן זוהי נקודת מקס'.
תחומי העלייה העליה של הפונקציה <math>\left(0,e\right)</math> .
תחומי ירידה הירידה <math>\left(e,\infty\right)</math> .
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .
הסימן של <math>f"</math>נקבע ע"י <math>-x''(3-2e)<0\ln,\ f''(x)e^4)>0</math>ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e^\sqrt{3/2e}\approx 10</math> נקודת פיתול.
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- <math>f"(e)<0,f"(e^\sqrt{4e})>0</math>ולכן <math>e^{3/2}\approx10</math>נקודת פיתול.
הפונקציה קעורה כלפי מטה מעלה ב - <math>\left(0,e^\sqrt{3/2e},\rightinfty)</math> .
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ====אסימפטוטות====אסימפטוטה אנכית ב - <math>x=0</math> כיון ש- <math>\left(e^lim\limits_{3/2x\to0^+},f(x)=-\infty\right)</math> .
====אסימטוטות ====אסימפטוטה אופקית:
אסימטוטה אנכית ב <math>\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=0</math>כיוון ש <math>\lim_{x\to0to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{+x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)=-ax\inftybig]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math>
אסימטוטה אופקית: ולכן <math>a=lim_{x\to\infty}\frac{fl(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0</math> אסימטוטה אופקית.
====התנהגות הפונקציה באינסוף====עבור הדוגמא שלנו <math>b=lim_\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>
ולכן <math>l(x)=0</math>אסימטוטה אופקית ====התנהגות הפונצקיה באינסוף==== עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\infty}f(x)=0</math> ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]] ===דוגמא 3: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math>===
===דוגמא 3: <math>f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}</math>===
====תחום הגדרה====
<math>x\ne\pm2\sqrt3</math>
תחום ההגדרה של הוא <math>x\not=\pm\sqrt{12}</math> ====זוגיות/אי -זוגיות==== <math>f(-x)=\fracdfrac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)</math>ולכן <math>f(x)</math> אי -זוגית.
===נקודות קיצון===
<math>f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math>
<math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math>ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}</math>(נשים לב שהנקודות <math>\pmpm2\sqrt{12}=\pm3.464sqrt3</math>)אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
=====מקס' או מיני'=====
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :
הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"י<math> (72x-4x^\begin{3align})f'(12-x^{2}7)^{2}+4x<0\\f'(12-x^{2}6)x^{2}=0\\f'(36-x^{2}4) = x>0\\f'(12-x^{2}1)[>0\\f'(72-4x^{2}0)=0\\f'(12-x^{2}4)+4x^{2}>0\\f'(36-x^{2}6)] = x0\\f'(12-x^{2}7)[72<0\cdot12+24x^{2}] = 24x(12-x^{2})[36+x^end{2align}]</math>
<math>f"(ולכן משמאל ל-'''6)<0,f"(-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6)>0</math><math>f"(0)=0</math> ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'.
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול6 נקודת מקס'.
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}} 0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== הסימן של f"(x) נקבע לפי החלק x(12-x^{2}) דוגמא:
נבדוק <math>\begin{align}f"(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)>0,f"^2}=\dfrac{x^2(36-1x^2)<0,}{(12-x^2)^2}\\f''(0x)&=0,f\dfrac{24x(112-x^2)>0,f(436+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}<0 . ומכאן מסיקים כי /math>
בקטע (-\inftyהנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,-\sqrt{pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12}-x^2) הפונצקיה קעורה כלפי מעלה </math> .
בקטע (-\sqrt{12},0) הפונצקיה קעורה כלפי מטה נבדוק:
בקטע <math>\begin{align}f''(-4)>0,\sqrt\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{12align}) הפונצקיה קעורה כלפי מעלה </math>
בקטע (\sqrt{12},\infty) הפונצקיה קעורה כלפי מטהומכאן מסיקים כי -
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנהבקטע <math>(-\infty,-2\sqrt3)</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
אסימטוטות בקטע <math>(-2\sqrt3,0)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל fבקטע <math>(x) היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים lim_{x0,2\to a}|f(xsqrt3)|=\infty .</math> הפונקציה קעורה כלפי מעלה,
דוגמא fבקטע <math>(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pmsqrt3,\sqrt{12} infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(xהנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה)=-\infty .
lim_{x\to====אסימפטוטות====ל-\sqrt{12}^{-}}<math>f(x)=lim_\frac{x\to\sqrt^3}{12-x^2}^{</math> יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב-}}f(<math>x)=\infty pm2\sqrt3</math>
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b המקיים lim_כי <math>\lim\limits_{x\to{-2\inftysqrt3}^+}|f(x)-l(x)|=0 או lim_\lim\limits_{x\to-{2\inftysqrt3}^+}|f(x)=-l(x)|=0 \infty</math>
מתקיים a=lim_<math>\lim\limits_{x\to{-2\inftysqrt3}^-}\frac{f(x)}{x} ואז b=lim_\lim\limits_{x\to{2\inftysqrt3}^-}(f(x)-ax) =\infty</math>
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} נמצא אסימטוטותאסימפטוטה אופקית:
<math>\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1 \\b=\lim_{x\to\infty}(\left[\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)\right]=\lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0\end{align}</math>
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון ולכן <math>l(x\to)=-\infty תצא אותו דברx</math> אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.
ולכן l(====התנהגות הפונקציה באינסוף====עבור הדוגמא שלנו <math>\displaystyle\lim_{x)\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x אסימטוטה אנכית^3}{12-x^2}=-\infty</math>
התנהגות הפונצקיה באינסוף====ציור הפונקציה====[[קובץ:Examp3e2CStirgul2.gif]]
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty משפטים לסיכום:
ציור הפונקציה'''1)''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
'''2)''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.
'''3)''' אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם.
משפטים לסיכום .1 אם f(x'''4) גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי f'(x_{0})=0 .2 מבחן הנגזרת השניה- '' אם <math>f''(x_{0}x_0)=>0 ומתקיים f"(x_{0})</math> אזי <math>0 )או f"(x)<0 ( אז x_{0} נקודות מיני' )או מקס'( /math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .3 אם f'(x)\leq0 בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 אז הפונקציה עולה שם
.4 אם f"(x_{0})>0 )f"(x_{0})<0 ( אז f(x) קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0} .מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f"''(x) </math> אינה קיימת או ש - <math>f"''(x)=0</math> .