הבדלים בין גרסאות בדף "לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏שאלה)
(←‏פתיחת מחברות)
 
(278 גרסאות ביניים של 50 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
:::<math>
+
::<math>
 
\begin{bmatrix}
 
\begin{bmatrix}
 
\lambda & 0 & 0 \\
 
\lambda & 0 & 0 \\
שורה 23: שורה 23:
  
 
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
 
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
 +
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
 +
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
  
 
= שאלות =
 
= שאלות =
 +
==פתיחת מחברות==
 +
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
  
−
==שאלה==
+
:תשאלו את המרצים
  
−
איך מוכיחים שכל מטריצה אלכסונית מעל המרוכבים חופפת למטריצה אלכסונית שיש בה רק את הערכים 0,1. מעל הממשיים, המטריצה חופפת למטריצה עם ערכים 0,1,-1.
+
==מבחן מועד א'==
 +
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
 +
אתם יכולים להעלות את המבחן?
 +
תודה.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
מאיפה השאלה הזו? אין בה הגיון, איך יכול להיות שמעל הממשיים יש יותר אופציות מאשר מעל המרוכבים?
+
תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
  
−
==שאלה==
+
==פתיחת מחברות==
 +
מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
  
−
אם x1...xm ע"ע של A. אז מהם הע"ע של A^-1 ושל A^2?
+
==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
 +
תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
 +
איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
 +
זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
 +
  ,תודה רבה.
 +
 
 +
 
 +
:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
 +
 
 +
==ציוני מבחן==
 +
מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
תענה על זה בעצמך.
+
הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
  
−
==שאלה==
+
==מקום הפרסום==
 +
היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
 +
ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
  
−
יש שאלה שאני לא יודע לפתור: הוכח או הפרך - אם הפולינום האופייני של שתי מטריצות שווה וכן הפולינום המינימלי, אז המטריצות דומות.
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
תעבור על תרגילי הבית והפתרונות. בהקדם. זו פשוט שאלה מהתרגילים.
+
אני לא יודע, אני אודיע כשאדע
 +
 
 +
== שאלה ==
 +
 
 +
אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
הי חברים מישהו יכול לעזור לי אם השאלה הבאה:  יהיT:V→V    ה"ל, כך שלכל : v∈
 
  
−
T(v),v> =0> הוכח : T=0.
+
אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אני אעזור, זה פשוט לא נכון. קח מטריצת סיבוב ב90 מעלות. למעשה, אם תסתכל בשאלה הראשונה של תרגיל 10 תראה שזה נכון לכל אופרטור אנטי סימטרי
+
כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
  
−
:ארז - אני מאמין שהתרגיל לקוח מהחוברת של ד"ר צבאן, עמ' 96 תרגיל 1.10 1/2 א':
+
== הוכח\הפרך == 
−
הוכח שאם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,v> = <0> (הכוונה לאפס, פשוט שמתי את ה<> כדי שלא ייצא מעוות),
+
 
−
אזי T=0.
+
שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- 
 +
תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>  
  
−
::זה כבר הגיוני. הוקטור היחיד שמאונך לכל הקטורים במרחב הוא אפס. ולכן יוצא שלכל u בהכרח Tu מאונך לכל הוקטורים במרחב ולכן אפס. ולכן T העתקת האפס.
+
===תשובה===
 +
אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה
 +
:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).
  
−
:::האם אפשר להוכיח את זה בדרך הבאה (?) :
+
'''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל
−
אם לכל u.v בממ"פ V מתקיים <Tu,v> = <0>, אזי בפרט גם עבור v=Tu, ולכן :
+
(סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)
−
<Tu,Tu>=<0>, ולכן לכל u במרחב יתקיים: <math>||Tu||^2 =0</math>, בפרט עבור u שונה מאפס, ולכן Tu=0 גורר ש-T=0.
+
  
−
אופס רשמתי את זה לא לגמרי נכון, אני חושב שזה שאלה 1.11 באותו עמוד..
+
== שאלה ==
−
השאלה היא אם יש לך מרחב מכפלה פנימית מעל C עם ה"ל, מ-V ל-V, שמקיימת:T(v),v> =0>  לכל v במרחב, ואז צריך להוכיח(ככה כתוב בחוברת!) שזוהי העתקת האפס, ...
+
−
תודה(:
+
  
−
:נו, ומה רע להשתמש ברמז שם?
+
אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:
 +
ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math>
  
−
<math>0=<T(v+iu),v+iu>=<Tv,v>+<Tiu,iu>+<Tv,iu>+<Tiu,v>=</math>
 
  
−
<math>=<Tv,iu>+<iTu,v>=-i<Tv,u>+i<Tu,v></math>
+
===הוכחה===
 +
דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.
  
−
וגם
 
  
−
<math>0=<T(v+u),v+u>=<Tv,v>+<Tu,u>+<Tv,u>+<Tu,v>=</math>
+
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
  
−
<math>= <Tv,u>+<Tu,v></math>
+
==השלמה לבסיס==
 +
האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> .
 +
למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
  
−
משני אלה נובע:
+
===תשובה===
 +
זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
  
−
<math><Tv,u>=<Tu,v></math> וגם <math><Tv,u>=-<Tu,v></math> ולכן יוצא ש
+
==שאלה==
 +
איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ?
 +
בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.
 +
אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון
 +
ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?
  
−
<math>\forall v,u\in V : <Tv,u>=0</math>
+
::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.
  
−
ולפי ההוכחה מלמעלה, זו חייבת להיות העתקת האפס.
+
===תשובה===
 +
תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V=
 +
אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
 +
איך מוכיחים את הכיוון הבא:
 +
אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
  
−
איך מוכיחים שאם שתי מטריצות דומות אז לכל עע שלהן יש אותו ריבוי גיאומטרי. חשבנו אולי להשתמש בצורת ג'ורדן אבל לא נתון שהפולינום שלהן מתפרק לגורמים לינארים.
+
===תשובה===
 +
צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.
 +
 
 +
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:
 +
<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.
 +
 
 +
==שאלה==
 +
א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y
 +
 
 +
ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>
 +
לכל V שייך ל- V.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
דבר ראשון, אפשר לעשות צורת ז'רדן מעל המרוכבים, וברור שלע"ע ממשי יהיו רק ו"ע ממשיים.
+
א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
  
−
דבר שני, צריך לזכור שמטריצה הפיכה היא מטריצת מעבר בין בסיסים. לכן אם תיקח את הו"ע העצמיים של המטריצה, תהפוך את הקואורדינטות שלהם לבסיס המתאים למטריצה ההפיכה (עמודותיה) הכפל בה יהפוך את הקואורדינטות בחזרה לבסיס הסטנדרטי, המטריצה תכפול אותו בע"ע ואז המטריצה ההופכית תחזיר את זה לקואורדינטות החדשות.  
+
אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.
  
−
עכשיו אם וקטורים הם בת"ל גם הקואורדינטות שלהם לפי בסיס כלשהו בת"ל ולכן תקבל את אותו המימד של המרחב העצמי (כלומר ריבוי גיאומטרי) בעזרת וקטורי הקואורדינטות של הו"ע.
+
ב. זה משפט ההצגה של ריס.
  
−
:אבל אני יודע שאם לשתי מטריצות יש אותם ו"ע אז יש להן אותם מרחבים עצמיים? אם כן, איך?
 
−
תודה.
 
−
::תחזור על ההגדרה של מרחב עצמי. מרחב עצמי של ע"ע a הוא קבוצת הוקטורים העצמיים של a איחוד עם אפס
 
  
−
ואם מראים למעשה שכל פתרון של <math>\lambda I-A=0</math> הוא גם פתרון של <math>\lambda I-B=0</math>
+
==שאלה==
−
כאשר A ו-B דומות ולהפך אז יש להם אותם ריבויים גיאומטריים?
+
איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t
  
−
:::כן, כי זה '''בדיוק''' ההגדרה של מרחב עצמי:
+
===תשובה===
 +
בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש
 +
<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.
  
−
:::<math>V_{\lambda}=\{v|(A-\lambda I)v=0\}</math>
+
החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.
  
−
:::הריבוי גיאומטרי של <math>\lambda</math> מוגדר להיות <math>dimV_\lambda</math>
+
==שאלה==
 +
אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?
  
−
==ועוד שאלה==
+
===תשובה===
−
בהוכחה של המשפט, שלV מ"ו מעל R יש ת"מ אינווריאנטי ממימד 1 או 2
+
מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
−
סימנו את הע"ע המרוכב והו"ע המרוכב לפי ממשי + i מדומה
+
−
ואז קיבלנו ש:
+
−
שתי משוואות שמקשרות בין המטריצה, החלקים המדומים\ממשיים של הו"ע והע"ע. איך ממשיכים הלאה? איך זה עוזר?
+
  
 +
==שאלה==
 +
הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.
 +
האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן
 +
TT=I
 +
TT*=I
 +
ואז T=T* משמע שזה אמת
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
מעל המרוכבים קיים ל<math>A</math> וקטור עצמי אחד לפחות עם ע"ע אחד לפחות תמיד. [תרגיל: האם יכול להיות שקיים רק אחד?]
+
בוודאי שההופכית יחידה...
  
−
נסמן <math>x=u+iv</math> ו"ע כאשר <math>u,v</math> וקטורים ממשיים, ונסמן  <math>\lambda = \alpha + i\beta</math> הע"ע המתאים. לכן <math>Ax=\lambda x</math> נפתח את הביטוי, נשווה את הצד הדמיוני והממשי ונקבל 2 משוואות <math>Av=\alpha u - \beta v</math> ו <math>Av=\alpha v + \beta u</math>. אז רואים בקלות שלכל וקטור <math>w \in span\{u,v\}</math> מתקיים <math>Aw \in span\{u,v\}</math> ולכן האופרטור אינווריאנטי תחת התת מרחב <math>span\{u,v\}</math>.
+
וזו הוכחה נכונה.
  
 
:תודה! (:
 
:תודה! (:
  
−
==שאלה==
+
== 2 שאלות==
−
למה לכל פונ' ריבועית כללית יש את הצורה q(x)=(x^t)Ax ?
+
1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?
  
−
===תשובה===
+
2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?
−
ראינו בתרגיל שכל תבנית ריבועית <math>q(v)</math> מתאימה לתבנית בי לינארית סימטרית <math>f(v,v)</math>, ולמדנו שלכל תבנית בי לנארית יש מטריצה <math>[f]</math> כך ש<math>f(v,u)=v^t[f]u</math> ולמדנו שהמטריצה של תבנית בי לינארית היא סמטרית אם"ם התבנית סמטרית.
+
  
−
==שאלה==
+
תודה!
−
מישהו אמר לי ששאלו את מרצה הקבוצה השנייה האם יהיה פירוק פולרי במבחן והוא אמר שלא...יש מישהו שיכול לאמת את זה כדי שאהיה בטוח?
+
−
 
+
−
==שאלה==
+
−
האם ידועה החלוקה בין ציון הבוחן, המבחן ושיעורי הבית? האם יש אפשרות ליידע את כולנו בממוצע הציונים בשיעורי הבית, כולל שיעורי הבית האחרונים? תודה רבה!!
+
  
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
בימים הקרובים יפורסמו ציונים
+
1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
  
−
==שאלה==
+
לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.  
−
כתבנו בהרצאה על שניוניות ש אפשר לסדר את הע"ע של T האופרטור הצל"ע בסדר כזה, כך שהראשונים יהיו שונים מ0, ובסוף יהיו שווים ל0, ושהRANK של T שקול למס' הע"ע השונים. למה זה?
+
−
: טוב הבנתי לבד חח, זה בגלל שהראנק של אופרטור שקול לראנק של ההצגה שלו לפי בסיס כלשהו ללא תלות בבסיס...
+
  
−
==שאלה==
+
זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.
−
בהוכחה של המשפט:
+
−
A לכסינה \iff הפולינום המינימלי שלה הוא מהצורה m_A(t)=(t-\lambda_1)\cdots(t-\lambda_k) עבור \lambda_1,...,\lambda_k הע"ע השונים של A
+
  
−
בכיוון אחד ההוכחה היא טיפה מסובכת. אי אפשר להוכיח גם את הכיוון הראשון בעזרת בלוקי ז'ורדן? A לכסינה לכן היא דומה למטריצה אלכסונית. אפשר להסתכל על האלכסון כבלוקים בגודל 1X1 וזהו הבלוק הגדול ביותר לכל ע"ע.. ולכן החזקה הגדולה ביותר בפולינום המינימלי היא 1... זה טוב?
+
2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה,  ולכן המכפלה יוצאת
  
−
===תשובה===
+
<math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.  
−
באמת שלהוכיח עם ז'ורדן זה באופן כללי בעייתי כי לא הוכחנו אותו בקורס, ולכן אי אפשר לדעת במה משתמשים בהוכחה שלו.
+
  
−
==בקשה==
+
בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
−
הקישור למבחנים שבאתר של ד"ר צבאן מאוד נחמד, אבל איפה אפשר למצוא את המבחן שבוריס עשה שנה שעברה??
+
−
לי לפחות זה נראה הכי יעיל.. אם מישו יודע(:
+
  
−
==שאלה==
+
:: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
−
ארז- כתבת לגבי המבחן-# לגבי משפט אוילר, הוא מחולק לחלק מתמטי וחלק פיסיקלי. את החלק הפיסיקלי לא צריך לדעת למבחן, אבל את החלק המתמטי כן (וכל המשפטונים שמובילים להוכחה כמובן).
+
−
איזה חלק מתמטי יש למשפט? ההצגה של אופרטור אורתוגונלי בצורת בלוקים?
+
  
−
===תשובה===
+
:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.
−
זה הנוסח מהמרצה, תבין את הכוונה שלו מהמחברת. אני מניח שזה אכן הבלוקים, והמשמעות שלהם, שאותה הייתם צריכים להבין כבר בתרגיל 12 ולצערי חלקכם לא הבין אותה.
+
 
 +
::::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
 +
::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
 +
:::::: אוקי, שוב תודה :)
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
ידוע ש- <math><u,v>=<u,b></math>, וכן u שונה מוקטור האפס.
+
יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה...
 +
הוכח\הפרך:
  
−
האם בהכרח ניתן לומר ש: b=v ? אם לא, מהו בדיוק משפט ההצגה של ריס ומתי הוא עובד? באינטרנט מצאתי פירושים אחרים לגמרי למשפט ההצגה של ריס מזה שלמדנו. בהרצאה למדנו על משפט 'יחידות ההצגה של ריס' עבור מכפלות פנימיות.
+
1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.
−
תודה רבה ארז אין עליך!
+
  
−
===תשובה===
+
2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
−
מה פתאום! הרי אם v וb סתם וקטורים שמאונכים לu למה שהם יהיו שווים??
+
  
 +
תודה לעוזר הנחמד.
  
−
משפט ההצגה של ריס אומר שבממ"פ כל פונקציונל <math>f:V\rightarrow\mathbb{F}</math> שווה לפונקציה מהצורה <math><w,\cdot>:V\rightarrow\mathbb{F}</math> עבור איזהשהו וקטור קבוע <math>w</math>.
+
===תשובה===
 +
1. הוכחה:
  
−
כלומר, יש איזומורפיזם בין הפונקציונאלים הלינאריים לבין המרחב הוקטורי עליו הם פועלים. איזומורפיזם זה הוא ההתאמה החח"ע ועל שבין f פונקציונל לw הוקטור הקבוע שציינתי למעלה, ומתקיים תמיד <math>f(v)=<w,v></math>.
+
אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
  
−
==ציונים==
+
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
−
מתי מפרסמים את ציוני התרגיל ואיך הציון נקבע לפי הגבוהה מבין השתיים ? ( הבוחן או שיעורי הבית )
+
  
−
===תשובה===
+
2. הפרכה:
−
אמרתי שנפרסם בימים הקרובים, ולמה שזה יהיה לגבוה מבין השניים? אולי נעשה את זה הגבוה מבין ציון התרגיל או 99?
+
  
−
הכוונה היא שציון התרגיל יקבע לא לפי 10 אחוז שיעורי בית 10 אחוז בוחן אלה 20 אחוז הגבוהה מבין השתיים וזאת בשביל מוטיבצייה והרגשה טובה .
+
ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A
−
זה יראה על זה שאתם מעריכים את כל מה שהשקענו כל הסמסטר הזה כי באמת הקרבנו המון.
+
:תודה רבה רבה רבה
−
תבואו לקראתנו אנחנו ילדים.
+
  
−
::כן הבנתי את זה, ואני הצעתי על מנת להעלות את המורל לתת לכולכם פשוט 100. אנחנו מאד מעריכים את ההשקעה שלכם, ואנחנו מראים את זה פרט לחיוכים ועוגיות בנוסף על ידי הציון. כעת אנחנו צריכים להעריך יותר את מי שהשקיע יותר נכון? אז אני מציע ככה: ניתן לכם ציון, בהתאם לכמה שהצלחתם בכל תרגיל. מי שהצליח יותר יקבל יותר נקודות, ומי שהצליח פחות יקבל פחות. אבל כולכם תקבלו נקודות.
 
−
 
−
כך לדוגמא תלמיד שהצליח כמו שאתה אומר הצליח בכל התרגילים בצורה יפה והשקיע ובבוחן לא הלך לו .. (ולהפך)
 
−
אז לדעתי צריך לקחת את הציון הגבוה - ממוצע תרגילים או בוחן וזאת כדי שאלה שהשקיעו לא התבאסו וירגישו שזה היה ליחנם בכל אופן אני זז לישון יש לי בית ספר מחר על הבוקר אם תרצה לקחת את זה לצומת ליבך זה יהיה נפלא
 
−
לילה טוב
 
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
צריך להודיע למישהו אם אני לא יכול להיבחן במועד א' או פשוט לא להגיע?
+
בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לא צריך להודיע, אבל זה לא מומלץ. זה סיכון לגשת ישר למועד ב', כי הוא האחרון שיהיה.
+
שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
  
−
==המשך לשאלה ממקודם על בלוקי ג'ורדן==
+
==שאלה==
−
אמרת שלהוכיח עם בלוקי ז'ורדן זה בעייתי, אבל בהוכחה שאתה כתבת כיוון אחד כן השתמשת. אני לא מבין מה ההבדל בין מה שאני נתתי לבין הכיוון השני של ההוכחה שמופיעה באתר?
+
:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
 +
:A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
 +
:A(A^2+I)(A-2I)=0
 +
:הוכח: A לכסינה.
 +
 
 +
 
 +
תשובה
 +
זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:
 +
x(x-i)(x+i)(x-2)      z
 +
אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.
 +
מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)
 +
ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה
 +
http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png
 +
וזה אם ורק אם A לכסינה
 +
 
 +
::איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
 +
 
 +
:: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..
 +
 
 +
==שאלה==
 +
שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אני אזכיר שמה שכתבתי באתר היה השלמה לתרגיל, ובאותו תרגיל הוכחנו דברים בעזרת צורת ז'ורדן על מנת '''ללמד צורת ז'ורדן'''. במבחן אני לא בטוח בכלל שהוכחות בעזרת צורת ז'ורדן יתקבלו כי הן עוקפות את המטרה המקורית, כמו אנשים שניסו להוכיח עם פוליטופים בבוחן. אני אנסה לחשוב על הוכחה טובה בכיוון השני גם.
+
אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.
  
−
בכל מקרה, תקרא ותבין את ההוכחה שיש בכיוון הראשון, זה סוג היכולת שנלמד בקורס, לא תשובה של משפט בעזרת ז'ורדן. 
+
תנסו להבין כמה שאתם יכולים.
  
  
 +
:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
 +
::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.
  
−
בחלק הראשון של ההוכחה- למה צריך את החלק של החישוב של (A-li)vi ? שזה שווה להפרש הע"ע כפול הו"ע? הרי בהמשך ההוכחה אפשר ישר להזיז ימינה את A-ljI שיהיה ליד vi ואז זה ישר 0...למה צריך להחליף חלק משאר האיברים המוכפלים?
+
אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)
−
:(תשובה לא מארז) אי אפשר להזיז את A-ljI ימינה סתם ככה. מה שיש לך אחרי זה לא סקלרים אלא מטריצות, ואתה לא יכול להחליף את הסדר.
+
  
 +
זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
 +
 +
תודה I GUESS...
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
האם יתקיים שיעור חזרה עם המרצה? קיבלתי רק איימיל שיש שיעור חזרה עם לואי ביום שני מ-3 עד 7
+
למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??
  
−
איך קיבלת? אני לא קיבלתי..
+
*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
 +
 
 +
::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
 +
::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
 +
 
 +
 
 +
::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R        אבל  כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
 +
        מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
תרגיל: יהי V מרחב וקטורי עם בסיס B. הגדר מכפלה פנימית על V, כך שביחס למכפלה זו B בא"נ.
+
איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:
−
מה אני אמור לעשות כאן, יותר נכון מה אני יכול לעשות כאן, מלבד להגדיר את התנאים למכפלה הפנימית המבוקשת עבור v1,...,vn וקטורי הבסיס B? (יש רמז לתרגיל, שאומר 'להשתמש באיזומורפיזם בין V למרחב הוקטורים F^n)
+
  
−
===תשובה===
+
נתונה מטריצה A:
−
תגדיר את המכפלה הפנימית לוקטורי הבסיס ואז מה? איך אתה יודע שהיא מוגדרת היטב?
+
  
−
לעומת זאת, אם תגדיר את המכפלה הפנימית באופן כללי, אז תענה על התרגיל. ולמה אתה חושב אומרים לך להשתמש במרחב הוקטורי הרגיל F^n? איך נראות מכפלות פנימיות מעליו?
+
0 0 0 5
  
−
::לא נעים לי להגיד, אבל אני ממש לא יודע למה. בכל הנוגע ל'להגדיר מכפלה פנימית' אני יכול רק לנחש מתוך כמה המכפלות הפנימיות שלמדנו (הסטנדרטית, אינטגרל בין 1 ל-(1-), וכ'ו..), אבל אני לא מבין מדוע אומרים להשתמש באיזומורפיזם, או איך נראות מכפלות פנימיות מעל F^n. (כל המכפלות הפנימיות מעל F^n, לא?)
+
0 0 4 1
  
−
:::תסתכל על תרגיל 1.9 בעמוד 96 בחוברת. בנוסף, תזכר מה המשמעות של מטריצת גרהם, מה למדנו לגביה?
+
0 3 3 2
 +
 
 +
3 6 5 4
 +
 
 +
א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)
 +
 
 +
ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.
 +
תודה!
 +
 
 +
:למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
 +
::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.
  
 
== שאלה ==
 
== שאלה ==
−
יש לי כמה שאלות:
+
איפה המבחן מחר?
−
: כשאמרת שיהיה ציטוט משפט או הגדרה, כמה משפטים כבר אפשר לצטט? כלומר לכמה משפטים יש שם ייחודי לחלוטין כמו משפט פירוק הניצב?
+
−
: אפשר דוגמא אחת לשאלה מסוג הוכח/הפרך?
+
−
: יש משפטים שההוכחה שלהם מאוד ארוכה, וגם אם אני אבין אותה טוב מאוד ואזכור כמה טריקים אני לא בטוח שאצליח להוכיח אותן במבחן, כגון משפט הלכסון, משפט קיילי המילטון, ומשפט השילוש. בכל זאת משפטים אלה יכולים להיות במבחן להוכחה?
+
−
תודה רבה!
+
  
 +
לפי אורי וייס
 +
505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...
  
−
===תשובה===
+
== שאלה ==
−
אני לא יודע, זו לשון המרצה, אני לא ראיתי את המבחן. יהיו ברורים בשאלה לגבי מה לצטט או להגדיר, יש מספיק הגדרות ומשפטים שאפשר לצטט או להגדיר.
+
  
−
כמו שאמרתי, לא ראיתי את המבחן. אתה יכול לחשוב בדיוק כמוני על שאלות הוכח/הפרך, לראות מתרגילי הבית דוגמאות מהבוחן וכו'.
+
סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
  
−
הכל יכול להיות במבחן, גם דברים שנראים לך ארוכים. בעבר תלמידים חשבו שמשהו לא יהיה כי הוא ארוך מידי ולכן לא למדו אותו והפסידו. ראה מקרה משפט המימדים.
 
  
−
==שאלה==  
+
===תשובה===
−
באיזה בנין וחדר יהיה התירגול?
+
T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון
 +
לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+
 +
כלומר לכל w בU קיים w' כך ש  T(w')=w
 +
נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי
 +
<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>
 +
ולכן Ty גם בU+
  
−
===תשובה===
 
−
אלגברה ליניארית 2 שעור חזרה עם ארז שיינר יתקיים ביום שני 1/2/10 בין השעות 19-15 בנין 202 חדר 204
 
  
−
==מועד ב'==
+
==שאלה==
−
אינני יכול לגשת למועד א', האם מבנה הבחינה של מועד ב' יהיה זהה?
+
האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?
 +
==תשובה==
 +
לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
אני שם לב שיש כל מיני דברים בתרגול שלא ראינו בכלל בהרצאה (אופרטור חיובי לחלוטין, פירוק פולרי, בנושא של המרחב הדואלי - מאפסים, וכו')
+
המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?
−
האם ייתכן והם יהיו במבחן? התשובה קריטית, כי זה חוסך המון זמן לפתירת תרגילים יותר רלוונטיים.
+
−
תודה.
+
  
−
:מצטרף לשאלה.
+
===תשובה===
 +
התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע  במבחן.
  
−
::כמו שאמרתי איני יודע בדיוק איך נראה המבחן. לעומת זאת המרצים יודעים במדיוק איך נראה התרגיל, ולפיכך יוכלו לשים במבחן כל חומר. התרגיל הוא חלק בלתי נפרד מהקורס, והמרצים מכירים את מערך השיעור של התרגיל, ואת תרגילי הבית שחולקו.
 
  
−
==הוכחת תהליך גרם שמידט==
+
רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...
−
ניסיתי להוכיח את גרם שמידט (עבור החלק שהופך קבוצת וקטורים לקבוצה אורתוגונלית) באינדוקציה. הגעתי למבוי סתום (יהיו {<math>v_1, . . v_n</math>} הוקטורים המקוריים, {<math>u_1, . . . u_n</math>} הוקטורים החדשים.:
+
−
הנחתי נכונות עבור n=k+1, כלומר <math>u_{k+1} = v_{k+1} - ( <v_{k+1},u_1>\frac{u_1}{||u_1||^2}+ . . . + <v_{k+1},u_k>\frac{u_k}{||u_k||^2} ),</math>
+
−
כאשר ההנחה אומרת שהוא מאונך לכל הוקטורים שלפניו, ולכן לכל i מ-1 עד k נקבל:
+
−
<math><u_{k+1},u_i>=0</math>
+
−
לכן, כאשר פותחים את הביטוי מקבלים:
+
−
<math><v_{k+1},u_i>=<<v_{k+1},u_i>\frac{u_i}{||u_i||^2},u_i></math>
+
−
וזוהי הנחת האינדוקצייה.
+
−
כאשר אני מחשב את u_k+2, ומוסיף את אחת מהנחות האינדוקצייה (שהיא שכל הוקטורים u_1,...,u_{k+1} מאונכים זה לזה), אני מקבל שנותר לי להוכיח את השוויון הבא (לכל i מ-1 ועד k כמובן):
+
−
<math><v_{k+2},u_i>-<<v_{k+2},u_i>\frac{u_i}{||u_i||^2},u_i>=0</math>
+
  
−
איך בדיוק אני עושה את זה?
+
==שאלה על התרגיל==
 +
קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )
  
−
תודה רבה!
+
:לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?
  
−
===תשובה===
+
=תודה!!=
−
יש לך סתם טעות חישוב.. השיוון שאתה מקבל לאחר כפל שני הצדדים ב<math>u_i</math> הינו:
+
ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.
 +
תבוא לתרגל באינפי 2 (:
  
−
<math><u_{k+1},u_i>=<v_{k+1},u_i>-\frac{<v_{k+1},u_i>}{||u_i||^2} <u_i,u_i> = 0</math>
+
: בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
  
−
שאר הדברים בכפל הופכים לאפס כמובן.
+
:אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח
  
−
::תודה רבה, ארז, על התגובה המהירה ועל הרצון הטוב לעזור לנו! אין לי מילים לתאר כמה אני מודה לך!!!
 
  
−
::: אני שמח לשמוע :)
+
תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.
  
−
==שאלה - הוכחת אי-שוויון קושי שוורץ==
+
-מצטרף לתשבוחות
−
יש לי שאלה שעשוייה להראות די בסיסית - הוכחנו בכיתה את אי-שוויון קושי שוורץ בעזרת אי-שוויון בסל, עבור שני וקטורים u,v. הטענה שהוכחנו היא:
+
רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש
−
<math>|<u,v>|\le||u||*||v||</math>
+
−
וכן שוויון יתקיים אם ורק אם u,v ת"ל.
+
  
−
עכשיו, בסיום ההוכחה הגענו לאי השוויון הבא (שנותר להוכיחו כדי להוכיח את כל הטענה):
+
:חחחחחחחחחחחח גדוללל!
−
<math>||v||^2 \le |<v,\frac{u}{||u||}>|^2</math>
+
 
−
וכאן בעצם נגמרה ההוכחה. מדוע הטענה הזו נכונה בעצם לכל u,v?
+
:מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)
 +
 
 +
חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!
 +
 
 +
=שאלה=
 +
בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.
 +
מה לעשות?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
קודם כל הטענה הינה הפוכה:
+
אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
  
−
<math>||v||^2 \ge |<v,\frac{u}{||u||}>|^2</math>
+
==שאלה==
 +
היי ארז,
 +
ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?
 +
תודה רבה!
 +
נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!
  
−
ושנית כל, זה בדיוק אי שיוויון בסל.
 
  
−
ניקח <math>S=\{\frac{u}{||u||}\}</math> קבוצה א"נ (לכן הנרמול) ולכל וקטור <math>v</math> במרחב מתקיים אי השיוויון הנ"ל.
+
סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...
  
−
הבנתי! שכחתי שאי-שוויון בסל נכון לכל קבוצה אורתונורמלית, ולא רק לבא"נ כפי שחשבתי. תודה ארז :) !
+
:מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
  
 +
 +
::אחרי שהמבחנים יבדקו
 +
 +
:::לא מאמינים. תוכיח :)
 +
:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
 
==שאלה==
 
==שאלה==
 +
מה מס' הקורס? :P
 +
==אמירה==
 +
יש ציונים!!!
  
−
מה זה אומר ש - T העתקה ליניארית היא איזומטריה??
+
למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?
  
−
===תשובה===
+
הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות
−
T איזומטריה אם היא שומרת נורמה. כלומר <math>\forall v \in V : ||Tv||=||v||</math>
+
  
−
==שאלה==
+
איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?
−
u שייך לU+ סכום ישר עם U++. ובנוסף u לא שייך לU+. למה זה אומר לי שu שייך לU++? כלומר, הוא יכול להיות חיבור של 'שניהם', לא?
+
−
:אני מאמין שהתכוונת לצירוף לינארי של איברי הבסיס של U+ עם U++. אז זהו - שלא :) לפי ההגדרה אם מוגדר סכום ישר של U+ ו-U++, הכוונה היא שאין ביניהם חיתוך, כלומר אין וקטור שהוא צ"ל של איברי הבסיס של U+ וגם צ"ל של איברי הבסיס של U++ (הכוונה לצרוף לינארי לא טרוויאלי), ולכן וקטור לא יכול להיות שייך לשני המקומות באותו זמן, אבל מצד שני אם הוא ב-V (כאשר V סכום הישר הנ"ל) חייב להתקיים שהאיחוד של הספאנים נותן את כל המרחב V, כך שלכל וקטור v ב-V יש בדיוק שתי אופציות איפה להיות.
+
−
::אוקי, תודה. :) עוד שאלה כללית לגבי מינוח. נניח שV ממ"פ, נגדיר את V להיות R^2. אז F (השדה מעליו הוא מוגדר) חייב להיות R?
+
−
:::אני חושב שכן. לעומת זאת, אני יודע שחשוב לזכור ש-R מוכל ב-C, לכן כל מטריצה שמקיימת תכונות של R מקיימת גם תכונות של C (למשל התפרקות הפולינום האופייני).
+
  
 +
18/11
  
−
::::תיקון קטן, רשמת '''איחוד''' הספאנים הוא המרחב כולו - זה כמעט תמיד לא נכון. נכון לאמר ש'''חיבור''' הספאנים נותן את המרחב כולו. וכל דבר שהוא לא באיחוד, כלומר הוא לא בקבוצה אחת או השנייה אז הוא מתפרק לשני רכיבים, כל רכיב באחת בקבוצות.
+
מה 18 ומה 11  עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?
  
−
::::: ארז, זה לא נכון. קח לדוגמא את המישור R^2. המישור מיתקבל כסכום ישר של ציר X וציר Y. למרות זאת, אם אני אקח את הוקטור (2,5) הוא לא נמצא לא על ציר X ולא על ציר Y. זה לא נכון שלכל וקטור יש בדיוק שתי אפשרויות איפה להיות.
+
:כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...
  
−
==שאלה==
 
−
אפשר בבקשה לצרף את משפט הליכסון? ההוכחה שלו לא הייתה בצורה מלאה במחברת...
 
−
תודה!
 
−
===תשובה===
 
−
אתם צריכים להיות מסוגלים להוכיח את זה לבד. הרי המשפט אומר שמטריצה לכסינה אם"ם יש בסיס למרחב כולו המורכב מו"ע שלה. קל מאד להוכיח שזה נכון אם"ם קיימת P הפיכה כך שAP=PD כאשר D אלכסונית.
 
−
: לא נראה לי שהוא התכוון לזה.. לפי דעתי הוא התכוון למשפט עם התכונות השקולות (ר"ג=ר"א, וכו').
 
  
−
==שאלה==
+
:ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
−
בשינוי בסיס של מכפלה פנימית אמרו ש-C היא מטריצת המעבר מבסיס B ל-B1 אבל למעשה אנו מסתכלים על הוקטורים כוקטורי שורה ולא עמודה. למעשה מדובר במטריצת המעבר המשוחלפת?
+
  
−
==לכסון ושילוש - אורתוגונלי ואוניטרי==
+
::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות
−
מה בדיוק המטרה של יצירת כינוי חדש לפעולה מעל R? איך הידיעה על כך שהלכסון/שילוש שביצענו היא מעל R יכולה לעזור לנו?
+
  
−
בלכסון אני יכול להבין שקל יותר לעבוד איתה כי יש לה פחות דרישות (מעצם העובדה שב-R אין מרוכבים), אבל בשילוש יש דווקא יותר דרישות עבור המקרה הפרטי של R, אז למה שמישהו ירצה לשלש אורתוגונלית כשהוא צריך לבדוק שהפולינום האופייני מל"ל מעל R, אם הוא יכול פשוט לשלש אוניטרית בלי לבדוק תנאים מקדימים?
+
מתי הפתיחת מחברות?
  
−
===תשובה===
+
תשאלו את המרצים
−
לפעמים אנחנו פשוט מעל R ולא מעניינים אותנו המרוכבים, למשל בכל מה שקשור לזויות והיטלים. ההבדל העיקרי הוא, שהמטריצה המלכסנת/משלשת מכילה ערכים מרוכבים, ולפעמים אנחנו לא מעוניינים בזה.
+
  
−
זה כמו שיש מטריצות שהן לא לכסינות מעל הממשיים אבל כן מעל המרוכבים, ויש מטריצות שאינן לכסינות כלל.
+
==הכרזה==
 +
יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')
 +
 
 +
יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?
 +
הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)
 +
 
 +
 
 +
הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..
  
 
==שאלה==
 
==שאלה==
−
כיצד מוכיחים שלמטריצות דומות אותם פולינומים מינימליים?
+
מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
בקלות:
+
את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.
−
<math>f_A=|A-xI|=|P^{-1}BP-xI|=|P^{-1}BP-xP^{-1}P|= |P^{-1}||B-xI||P|=|B-xI|=f_B</math>
+
−
:זו ההוכחה לפולינומים אופיינים. כדי להוכיח פולינומים מינימליים, תראה שעבור כל פולינום שמאפס את A, הוא מאפס גם את B וההפך. זה מראה לך בוודאות שהפולינום המינימליים שווים.
+
  
−
==שאלה==
+
==הצעה==
−
האם אופרטור שומר מרחקים הוא בהכרח אוניטרי?
+
לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
  
−
:איפה הטעות שלי?
+
===תשובה===
−
נניח Length Tv = Length v
+
ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
−
(אני כותב LENGTH במקום נורמה כי אני לא יודע לכתוב מתמטית חח)
+
 
−
אזי vxv=TvxTv כשהמכפלה זה המכפלה הפנימית.
+
:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
−
כלומר Tv-vxTv-v=0
+
 
−
לכן בהכרח Tv=v ולכן בהכרח T=I
+
::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
 +
 
 +
מתי יהיו ציונים סופיים?
 +
 
 +
לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.
 +
 
 +
===פתיחת מחברות===
 +
מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?
 +
 
 +
 
 +
אני ממליץ לשאול את בוריס :)
 +
 
 +
===לגבי מועד ב'===
 +
אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה,  האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??
 +
 
 +
 
 +
רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
קודם כל, אונטרי זה לא I, אלא T אוניטרי אם TT*=I.
+
מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').
 +
 
 +
===תשובה של דר' צבאן===
 +
לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.
 +
 +
לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון
 +
נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום
 +
ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.
 +
 
 +
לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.
 +
 
 +
סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין
 +
את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד.
 +
מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה.
 +
בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).
 +
המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.
 +
 
 +
מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):
 +
 
 +
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html
 +
 
 +
בהצלחה,
  
−
שנית, אסור לעשות את מה שרשמת עם מכפלה פנימית. <math><Tv,Tv>-<v,v>\neq <Tv-v,Tv-v></math>. הכלל הנכון הינו <math><v,u>-<w,u>=<v-w,u></math>
+
ד"ר בועז צבאן
  
−
שלישית, למדנו בתרגיל שאופרטור הוא אוניטרי אם"ם שומר אורכים אם"ם שומר מכפלה פנימית. ואם זה לא מספיק, ההוכחה שאופרטור ששומר אורכים שומר מכפלה פנימית נמצאת באתר בעמוד הראשי.
+
: תודה רבה

גרסה אחרונה מ־17:16, 2 במאי 2010

\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

ארכיון 6 - שאלות על המבחן

שאלות

פתיחת מחברות

מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?

תשאלו את המרצים

מבחן מועד א'

העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו. אתם יכולים להעלות את המבחן? תודה.

תשובה

תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו

פתיחת מחברות

מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?

פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים

תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות. זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'. 

  ,תודה רבה.


פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.

ציוני מבחן

מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?

תשובה

הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא

מקום הפרסום

היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט? ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!


תשובה

אני לא יודע, אני אודיע כשאדע

שאלה

אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??

שאלה

אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?

תשובה

כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.

הוכח\הפרך

שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-degA=2 <= rkA=1(

תשובה

אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה

גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).

תשובה: (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש- im(T)=im(T^*)


הוכחה

דבר ראשון נוכיח שker(T)=ker(T^*). נניח v \in kerT לכן Tv=0 ולכן \forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0 אבל T^*T=TT^* ולכן \forall u: <TT^*v,u>=0 ולכן \forall u: <T^*v,T^*u>=0 ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <T^*v,T^*v>=0 ולכן T^*v=0 כלומר v \in ker T^*. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.


עכשיו נוכיח את הטענה. v \in kerT אם"ם \forall u: <Tv,u>=0 אם"ם \forall u: <v,T^*u>=0 אם"ם v \in (ImT^*)^\bot ולכן kerT = (ImT^*)^\bot. בצורה דומה kerT^*=(ImT)^\bot. אבל הגרעינים שווים ולכן (ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).

השלמה לבסיס

האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור v_1 לבסיס עבור F^n . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?

תשובה

זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.

שאלה

איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית. אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?

הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.

תשובה

תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה

שאלה

איך מוכיחים את הכיוון הבא: אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)

תשובה

צריך להוכיח שאם v_1,...v_n בא"נ אזי גם Tv_1,..Tv_n בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.

T אוניטרית ולכן TT^*=T^*T=I. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: <Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.

שאלה

א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y

ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V> לכל V שייך ל- V.

תשובה

א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.

אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.

ב. זה משפט ההצגה של ריס.


שאלה

איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t

תשובה

בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה A=PJP^{-1} נשחלף לקבל ש A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.

החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס v_3,v_2,v_1,v_5,v_4.

שאלה

אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?

תשובה

מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות

שאלה

הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן TT=I TT*=I ואז T=T* משמע שזה אמת

תשובה

בוודאי שההופכית יחידה...

וזו הוכחה נכונה.

תודה! (:

2 שאלות

1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?

2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?

תודה!


תשובה

1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).

לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.

זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.

2. צ"ל להוכיח שהנוסחא w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך לw_1,...,w_{i-1}. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <w_i,w_j>=0 לכל j<i. אבל לפי ההנחה, הוקטורים w_1,...,w_{i-1} מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת

<w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0 כפי שרצינו.

בנוסף, w_i\neq 0 מכיוון שאחרת v_i ת"ל בv_1,...,v_{i-1} בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.

תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}.
עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
אוקי, שוב תודה :)

שאלה

יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה... הוכח\הפרך:

1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.

2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.

תודה לעוזר הנחמד.

תשובה

1. הוכחה:

אנחנו יודעים שA^*A הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש \lambda ע"ע של A^*A אזי \lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0 ולכן \lambda \geq 0.

כעת, נניח בשלילה שI+A^*A סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר |I+A^*A+0\cdot I|=0 כלומר, |A^*A-(-1)\cdot I|=0 כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של A^*A בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.

2. הפרכה:

ניקח A=I. אזי (-1)^2 הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A

תודה רבה רבה רבה


שאלה

בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..

תשובה

שים לב ש\lambda הינו ע"ע של A^*A ולכן A^*Av=\lambda v

שאלה

עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
A(A^2+I)(A-2I)=0
הוכח: A לכסינה.


תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו: x(x-i)(x+i)(x-2) z אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד. מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A) ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png וזה אם ורק אם A לכסינה

איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..

שאלה

שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?

תשובה

אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.

תנסו להבין כמה שאתם יכולים.


אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.

אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)

זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.

תודה I GUESS...

שאלה

למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0?? 

*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)


תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
       מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:

שאלה

איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:

נתונה מטריצה A:

0 0 0 5

0 0 4 1

0 3 3 2

3 6 5 4

א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)

ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A. תודה!

למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.

שאלה

איפה המבחן מחר?

לפי אורי וייס 505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...

שאלה

סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...


תשובה

T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+ כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=w נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי <w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0> ולכן Ty גם בU+


שאלה

האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?

תשובה

לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.

שאלה

המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?

תשובה

התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן. 


רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...

שאלה על התרגיל

קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )

לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?

תודה!!

ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם. תבוא לתרגל באינפי 2 (:

בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח


תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.

-מצטרף לתשבוחות רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש

חחחחחחחחחחחח גדוללל!
מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)

חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!

שאלה

בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95. מה לעשות?

תשובה

אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל שישנה את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.

שאלה

היי ארז, ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן? תודה רבה! נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!


סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...

מתי יפורסמו פתרונות למבחן?


אחרי שהמבחנים יבדקו
לא מאמינים. תוכיח :)
אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל

שאלה

מה מס' הקורס? :P

אמירה

יש ציונים!!!

למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?

הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות

איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?

18/11

מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?

כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...


ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות

מתי הפתיחת מחברות?

תשאלו את המרצים

הכרזה

יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')

יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<? הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)


הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..

שאלה

מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.

תשובה

את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.

הצעה

לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.

תשובה

ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.

אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.

מתי יהיו ציונים סופיים?

לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.

פתיחת מחברות

מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?


אני ממליץ לשאול את בוריס :)

לגבי מועד ב'

אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??


רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..

תשובה

מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').

תשובה של דר' צבאן

לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.

לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.

לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.

סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה). המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.

מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html

בהצלחה,

ד"ר בועז צבאן

תודה רבה
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=לינארית_2_לתיכוניסטים_תש%22ע&oldid=2399