הבדלים בין גרסאות בדף "לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תשובה)
(←‏פתיחת מחברות)
 
(989 גרסאות ביניים של יותר מ־100 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 1: שורה 1:
−
:::<math>
+
::<math>
 
\begin{bmatrix}
 
\begin{bmatrix}
 
\lambda & 0 & 0 \\
 
\lambda & 0 & 0 \\
שורה 11: שורה 11:
 
'''<nowiki>== כותרת שאלה ==</nowiki>'''
 
'''<nowiki>== כותרת שאלה ==</nowiki>'''
  
−
ולכתוב מתחתיה את השאלה שלכם.
+
לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.
 +
 
 +
(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)
 +
 
 +
=ארכיון=
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 1|ארכיון 1]]''' - שאלות על תרגילים 1-4
 +
 
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 2|ארכיון 2]]''' - שאלות על תרגילים 5-8
 +
 
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 3|ארכיון 3]]''' - שאלות על תרגילים 10-11
 +
 
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 4|ארכיון 4]]''' - שאלות על תרגיל 12 והמבחן
 +
 
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 5|ארכיון 5]]''' - שאלות על המבחן
 +
 
 +
'''[[לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - ארכיון 6|ארכיון 6]]''' - שאלות על המבחן
  
 
= שאלות =
 
= שאלות =
 +
==פתיחת מחברות==
 +
מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?
  
−
==שאלה לדוגמא ==
+
:תשאלו את המרצים
−
מה זה Span?
+
 
 +
==מבחן מועד א'==
 +
העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו.
 +
אתם יכולים להעלות את המבחן?
 +
תודה.
  
−
===תשובה ===
 
−
אוסף כל הצירופים הלינאריים
 
−
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:07, 22 באוקטובר 2009 (UTC)
 
−
:הבנתי, תודה.
 
−
::בשמחה
 
−
:::יותר קונסטרוקטיבי לחשוב על זה כ"המרחב הנפרש", התת-מרחב הקטן ביותר שמכיל את הקבוצה הנתונה.
 
−
==תרגיל 2.14==
 
−
איך פותרים את תרגיל 2.14?
 
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
לפי ההדרכה. אפשר להניח שתרגיל 1.10 הוא נכון. תזכורת: יש n שורשי יחידה מסדר n. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:13, 29 באוקטובר 2009 (UTC)
+
תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו
−
:בנוסף, אפשר להעזר בתרגיל 7.4 בעמוד 76 --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 13:18, 29 באוקטובר 2009 (UTC)
+
  
 +
==פתיחת מחברות==
 +
מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?
  
−
'''שאלה נוספת בנוגע לאותו תרגיל:'''
+
==פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים==
−
::בנוגע להגדרה שניתנה על p^0, p, p^2, ... , p^n-1
+
תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת
−
*האם הכוונה היא ש-P הוא הערך העצמי של הוקטור?
+
איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות.
−
*בנוסף, איך אני יכול להסיק שכל ערכי ה-P שונים זה מזה? (נראה הכרחי, אחרת הוקטורים לא בת"ל)
+
זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'.
 +
  ,תודה רבה.
 +
 
 +
 
 +
:פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.
 +
 
 +
==ציוני מבחן==
 +
מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
שים לב שp הינו שורש יחידה מסדר n. כפי שציינתי קודם לכן, יש n שורשי יחידה '''שונים''' מסדר n.
+
הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא
−
הערך העצמי של הוקטור אינו p בהכרח ואינו רלוונטי לשאלה 2.14. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 16:23, 29 באוקטובר 2009 (UTC)
+
−
:הבנתי, תודה
+
  
 +
==מקום הפרסום==
 +
היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט?
 +
ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!
  
−
::אבל מדובר בשדה F כלשהו. כיצד ניתן להסביר שלמשוואה x^n-1=0 מעל שדה F יש בדיוק n פתרונות?
 
−
::: יפה מאד! זו הערה נכונה, לא שמתי לב לכך. התייחסו למטריצה כמרוכבת, ולא כמעל שדה כלשהו. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:09, 29 באוקטובר 2009 (UTC)
 
  
 +
===תשובה===
 +
אני לא יודע, אני אודיע כשאדע
  
−
עוד שאלה, ניתן להניח שתרגיל 7.4 בעמוד 76 נכון?
+
== שאלה ==
−
:כן. צריך להסביר היטב אבל
+
  
−
::*תודה רבה על העזרה - אבל נותרתי עם שאלה אחת... למה הכוונה "שורשי היחידה", אם לא לערכים של למדא שיאפסו את הפולינום האופייני?
+
אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??
  
−
:::שורשי יחידה לא קשורים לפולינום אופיינים או כלל למטריצות. שורשי יחידה מסדר n הם מספרים שאם תעלה אותם בחזקת n תקבל 1. במילים אחרות הם השורשים של הפולינום <math>z^n=1</math>. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 09:53, 31 באוקטובר 2009 (UTC)
+
==שאלה==
  
 +
אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?
  
−
::::ארז האם תוכל להסביר את תרגיל 2.14 ואת כל השלבים שצריך לעשות ואיך לעשות אותם כי דיברתי עם כמה אנשים בתכנית ואין להם מושג איך לעשות את זה ומה זה הדטרמיננטה של מטריצ ונדרמונדה ומה זה מטריצת ונדרמונדה ואיך מוכיחים שוקטורים עצמיים הם בלתי תלויים זאת אומרת איך מגיעים לזה ואם יש לי n ערכים עצמיים זה אומר שיש לי n וקטורים עצמיים ? חשוב שתענה על כל השאלות בשביל שנוכל להבין .. תודה !!
+
===תשובה===
−
:::::מטרת הפורום היא לכוון ולא שאני אפתור בשבילכם. מבין התרגילים 7.4, 1.10 וההדרכה של 2.14 עצמו אני לא רואה סיבה שלא תוכלו לפתור.
+
כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.
  
−
::::::כמובן שלא תראה סיבה כי אתה מתרגל אתה עברת את זה בהצטיינות אנחנו לומדים וצריכים את המידע הזה בשביל שגם אנחנו נכול להבין ולעבור בהצטיינות כמוך וזה השלב בו אנחנו שואלים שאלות ומצפים לתשובות ( זה לא מבחן ) כל עוד יש לנו זמן ומותר לנו  לשאול לדעתי אתה צריך לעשות הכל בשביל שאנחנו נבין ככה שאנחנו מצפים לתשובה בשביל שנוכל לדעת איך להמשיך .. זו זכותינו אנחנו כאן בשביל ללמוד ולהצליח
+
== הוכח\הפרך == 
 +
 
 +
שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- 
 +
תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-<math>degA=2 <= rkA=1(</math>
  
−
:::::::אתם מקבלים פתרונות לתרגילים. בוודאי לא אפרסם פתרונות לפני הגשת התרגיל.
+
===תשובה===
−
::::::::אל תפרסם .. רק תסביר את הרעיון ואת החשיבה שעומדת מאוריי זה כדי שנוכל להיכנס לראש. מה זה הדטרמיננטה של מטריצה ונדרמונדה ומה זה בכלל המטריצה הזאת לא למדנו את זה
+
אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה
 +
:גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).
  
−
::::::::: מה שחשוב לדעת לגבי המטריצה הוא שזו הדטרמיננטה שלה: <math>\det(A) = \prod_{1\le i<j\le n} (a_j-a_i). </math> (למטריצה כפי שהיא רשומה בתרגיל 7.4).
+
'''תשובה:''' (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל
 +
(סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)
  
−
==תרגיל 3.17==
+
== שאלה ==
  
−
כיצד מוצאים מטריצה הופכית בעזרת פולינום אופייני? (משפט קיילי המילטון רק אומר שהמטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה)
+
אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה:
 +
ככה: T נורמלי הוכח ש- <math>im(T)=im(T^*)</math>
  
  
 +
===הוכחה===
 +
דבר ראשון נוכיח ש<math>ker(T)=ker(T^*)</math>. נניח <math>v \in kerT</math> לכן <math>Tv=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0</math> אבל <math>T^*T=TT^*</math> ולכן <math>\forall u: <TT^*v,u>=0</math> ולכן <math>\forall u: <T^*v,T^*u>=0</math> ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <math><T^*v,T^*v>=0</math> ולכן <math>T^*v=0</math> כלומר <math>v \in ker T^*</math>. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.
  
−
=== אני אנסה להראות דרך ===
 
  
 +
עכשיו נוכיח את הטענה. <math>v \in kerT</math> אם"ם <math>\forall u: <Tv,u>=0</math> אם"ם <math>\forall u: <v,T^*u>=0</math> אם"ם <math>v \in (ImT^*)^\bot</math> ולכן <math>kerT = (ImT^*)^\bot</math>. בצורה דומה <math>kerT^*=(ImT)^\bot</math>. אבל הגרעינים שווים ולכן <math>(ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot</math> ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).
  
−
<math> 0=p(A)=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_1A+(-1)^n\det(A)I_n
+
==השלמה לבסיס==
−
</math>
+
האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור <math>v_1</math> לבסיס עבור <math>F^n</math> .
 +
למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?
  
−
שזה כמו
+
===תשובה===
 +
זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.
  
 +
==שאלה==
 +
איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש '''רק''' ע"ע אחד שהוא 0 ?
 +
בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית.
 +
אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון
 +
ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?
  
−
<math>    -(-1)^n\det(A)I_n = A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_{1}I_n)</math>,
+
::הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.
  
−
נכפיל בהופכית של A מצד שמאל
+
===תשובה===
 +
תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V=
 +
אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה
  
−
<math>  A^{-1}=\frac{(-1)^{n-1}}{\det(A)}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_{1}I_n)</math>.
+
==שאלה==
 +
איך מוכיחים את הכיוון הבא:
 +
אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)
  
−
מקווה שעזרתי,
+
===תשובה===
−
סער
+
צריך להוכיח שאם <math>v_1,...v_n</math> בא"נ אזי גם <math>Tv_1,..Tv_n</math> בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.
  
 +
T אוניטרית ולכן <math>TT^*=T^*T=I</math>. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש:
 +
<math><Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j></math> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.
 +
 +
==שאלה==
 +
א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y
 +
 +
ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V>
 +
לכל V שייך ל- V.
 +
 +
===תשובה===
 +
א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.
  
−
:פתרון יפה, אבל איך יודעים שA הפיכה?
+
אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.
−
::אם יש מטריצה הופכית, אז המטריצה הפיכה. הוא הראה שיש מטריצה שאם תכפול בה בA תקבל את מטריצת היחידה. זה אומר ישירות שA הפיכה. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 12:07, 30 באוקטובר 2009 (UTC)
+
  
−
::למי ששאל איך יודעים ש-A הפיכה - תראה שהדטרמיננטה שלה שונה מאפס :) זה אחד הדברים היותר פשוטים בתרגילים עם נתונים "מספריים". אגב, בפולינום האופייני : הדטרמיננטה תהיה שווה למקדם של x^0 (של החזקה הכי קטנה)
+
ב. זה משפט ההצגה של ריס.
  
−
== תרגיל 4.3 ==
 
  
−
אני לא כל כך מבין איך למצוא את המטריצה המשולשית העליונה הדומה - מישהו יכול לעזור?
+
==שאלה==
 +
איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
בוא ננסה ביחד, ותסביר באיזה שלב אתה לא מצליח. נניח A מטריצה ריבועית, רוצים לשלש אותה:
+
בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה <math>A=PJP^{-1}</math> נשחלף לקבל ש
−
* מוצאים את הע"ע של המטריצה
+
<math>A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t</math> כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.
−
*לוקחים ערך עצמי <math>\lambda_1</math> עם ריבוי אלגברי מקסימלי (במילים פשוטות, שורש של הפולינום האופייני שהחזקה שלו בפולינום היא מקסימלית). למשל, 2 אם הפולינום האופייני היה <math>f_A=(\lambda-2)^2(\lambda-1)</math>.
+
−
*לוקחים בסיס למרחב העצמי של <math>\lambda_1</math>, כלומר הוקטורים העצמיים ש<math>\lambda_1</math> הוא הע"ע שלהם. נניח הבסיס הוא <math>v_1,v_2,...,v_k</math>. משלימים את הבסיס הזה לבסיס למרחב <math>v_1,v_2,...,v_n</math>.
+
−
*יוצרים מטריצה M שעמודותיה הן הוקטורים <math>v_1,v_2,...,v_n</math>.
+
−
*<math>M^{-1}AM</math> היא מטריצה שיש לה אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk העמודות הראשונות.
+
−
*לוקחים את המטריצה ללא k השורות והעמודות הראשונות, ומקבלים מטריצה מסדר n-k על n-k. נקרא לה <math>A_{n-k}</math>
+
−
*מוצאים מטריצה <math>M_{n-k}</math> באותו אופן (מוצאים בסיס למרחב עצמי של <math>A_{n-k}</math>, משלימים לבסיס של המרחב) , ומשלימים אותה למטריצה מגודל n על n באופן הבא <math>M_1=\begin{bmatrix}I_{k} & 0 \\ 0 & M_{n-k}\end{bmatrix}</math>
+
−
* מסתכלים על <math>M_1^{-1}M^{-1}AMM_1</math>. למטריצה הזו יש אפסים מתחת לאלכסון הראשי בk+m העמודות הראשונות, כאשר m הוא המימד של המרחב העצמי בשלב השני.
+
−
*ממשיכים בתהליך עד שמקבלים מטריצה משולשית.
+
  
−
--[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:32, 30 באוקטובר 2009 (UTC)
+
החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס <math>v_3,v_2,v_1,v_5,v_4</math>.
  
−
:אפשר לקחת בהתחלה את כל הוקטורים העצמיים ולהשלים אותם לבסיס, במקום רק את הוקטורים העצמיים של ערך עצמי אחד?
+
==שאלה==
−
::ואז מה השלב הבא? זה לא ישלש את המטריצה בהכרח. מותר לעשות את זה, כי זה דומה ללקחת את הו"ע העצמיים של ע"ע אחד, ואז להשלים את הבסיס עם וקטורים עצמיים אחרים. אבל אני לא יודע אם זה יחסוך שלבים. שים לב שבאלגוריתם, כל פעם הוקטורים העצמיים הם ממרחב וקטורי ממימד קטן יותר. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:43, 30 באוקטובר 2009 (UTC)
+
אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?
−
:::האמת שחשבתי על זה, ויכול להיות שזה כן מקצר את האלגוריתם. מוזמנים לנסות --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 18:53, 30 באוקטובר 2009 (UTC)
+
−
*יש לי הסבר למה לפעמים עדיף לקחת רק ו"ע של אחד מהערכים : כי אז תצטרכו להשלים לו"ע כרצונכם, כלומר תוכלו להשלים גם לפי ו"ע קלים יחסית שיקלו על הכפל-מטריצות בהמשך..
+
  
 +
===תשובה===
 +
מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות
  
−
== יש לי שאלה ==  
+
==שאלה==
−
יש לי נקע בזרת ואני לא יכול לכתוב, השאלה היא האם אני יכול לבקש ממישהו בקורס (שאני מכיר) לכתוב לי את התשובות לשיעורים ואני יקריא לו?
+
הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי.
−
זה מותר? אם לא מה לעשות? אני לא רוצה שירד לי ציון... אשמח לתשובה בהקדם
+
האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן
−
:אני לא כל כך מבין את מהות השאלה. ככלל אנחנו לא בודקים את הכתב של התרגיל. אם התרגיל הוא שלך ומכיל תשובות שלך זה בסדר. אם מישהו אחר עשה בשבילך את התרגיל זה לא בסדר. פשוט :) --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:58, 30 באוקטובר 2009 (UTC)
+
TT=I
 +
TT*=I
 +
ואז T=T* משמע שזה אמת
 +
 
 +
===תשובה===
 +
בוודאי שההופכית יחידה...
 +
 
 +
וזו הוכחה נכונה.
 +
 
 +
:תודה! (:
 +
 
 +
== 2 שאלות==
 +
1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?
 +
 
 +
2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?
 +
 
 +
תודה!
  
−
==לגבי מטריצות הפיכות==
 
−
אם כופלים מטריצה הפיכה במטריצה לא הפיכה, התוצאה תהיה מטריצה לא הפיכה?
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
נכון. קל לראות את זה מחוקי דטרמיננטות
+
1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).
  
−
<math>A</math>הפיכה <math>|A|\neq 0 \iff</math>
+
לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.
  
−
נניח <math>A</math> הפיכה ו<math>B</math> לא הפיכה, לכן <math>|B|=0</math> ולכן <math>|AB|=|A||B|=0</math> ולכן <math>AB</math> לא הפיכה
+
זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.
  
−
== איך מוכיחים שמטריצה אינה לכסינה? ==
+
2. צ"ל להוכיח שהנוסחא <math>w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k</math> נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך ל<math>w_1,...,w_{i-1}</math>. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <math><w_i,w_j>=0</math> לכל <math>j<i</math>. אבל לפי ההנחה, הוקטורים <math>w_1,...,w_{i-1}</math> מאונכים זה לזה,  ולכן המכפלה יוצאת
−
איך מוכיחים שמטריצה אינה לכסינה? תודה.
+
  
−
=== תשובה ===
+
<math><w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0</math> כפי שרצינו.  
−
אם אין בסיס למרחב המכיל וקטורים עצמיים של המטריצה בלבד. כלומר, מוצאים את הוקטורים העצמיים של המטריצה ומראים שהם לא פורשים את כל המרחב.
+
  
−
:או אם מראים שעבור ע"ע כלשהו הריבוי הגיאומטרי שונה מהריבוי האלגברי, לא?
+
בנוסף, <math>w_i\neq 0</math> מכיוון שאחרת <math>v_i</math> ת"ל ב<math>v_1,...,v_{i-1}</math> בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.
−
::נכון, זה גם מספיק.
+
  
 +
:: תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
  
−
== תרגיל 4.4 ==
+
:::לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה <math>\begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}</math>.
−
לא הבנתי מה הרעיון בסעיף ג
+
−
מה זאת אומרת לנסח טענות דומות ולהוכיח אותם???
+
  
−
=== תשובה ===
+
::::עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
−
נסח טענות דומות, כלומר מצא יחס בין הערכים העצמיים והדטרמיננטה בתנאים דומים לסעיפים א' וב'.
+
::::: זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
−
קח דוגמא פשוטה (למשל מטריצה ניתנת ללכסון) ותראה מה הקשר בין הדטרמיננטה לערכים העצמיים.
+
:::::: אוקי, שוב תודה :)
  
−
:לא ברור לאיזה A צריך לנסח את השאלה..A ריבועית? לכסינה? ניתנת לשילוש?
+
==שאלה==
−
::A כמו בסעיף הראשון, לכן רשום נסח טענה דומה.
+
יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה...
 +
הוכח\הפרך:
  
−
== תרגיל 5.14==
+
1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.
−
היי ארז, מה הכוונה ב"מינימום צעדים"? עלי למצוא את כל האפשרויות ולהציב את A בכל אחת מהן (אף על פי שזה ארוך), נכון?
+
  
−
===תשובה===
+
2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.
−
העניין הוא שיש מעט אפשרויות, ואם מתחילים מלמטה זה מעט צעדים. במיוחד יחסית לשיטה של מערכת המשוואות.
+
  
−
== שאלה ==
+
תודה לעוזר הנחמד.
−
יש אפשרות בבקשה לפרסם את הפתרון לתרגיל 2.5ג'? (משיעורי הבית הראשונים), כי פרסמתם את הפיתרון של א' וב' אבל לא של ג'.. (בעמוד 84)
+
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אני אפרסם פתרונות להכל
+
1. הוכחה:
  
 +
אנחנו יודעים ש<math>A^*A</math> הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש <math>\lambda</math> ע"ע של <math>A^*A</math> אזי <math>\lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0</math> ולכן <math>\lambda \geq 0</math>.
  
−
==שאלה לארז - בנוגע לאינפי==
+
כעת, נניח בשלילה ש<math>I+A^*A</math> סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר <math>|I+A^*A+0\cdot I|=0</math> כלומר, <math>|A^*A-(-1)\cdot I|=0</math> כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של <math>A^*A</math> בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.
−
ארז שלום!
+
 
−
באתר של התרגיל שלנו באינפי אין איפה לשאול שאלות, ודווקא בתרגילים באינפי יש אי הבנות. האם אפשר לפתוח דף נוסף באתר זה שישמש לדיון על בעיות באינפי (בין מי שלומד בקורס, רק שנוכל להיעזר אחד בשני)?
+
2. הפרכה:
−
תודה רבה!
+
 
 +
ניקח A=I. אזי <math>(-1)^2</math> הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A
 +
:תודה רבה רבה רבה
 +
 
 +
 
 +
==שאלה==
 +
בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
בוודאי, אני גם אשמח שיהיה שימוש באתר, המטרה שלו היא לשמש ליותר מקורס אחד.
+
שים לב ש<math>\lambda</math> הינו ע"ע של <math>A^*A</math> ולכן <math>A^*Av=\lambda v</math>
−
אם אתם לא מסתדרים בלפתוח לבד, תגידו לי (או אם תרצו קישור בעמוד הראשי. --[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 20:29, 5 בנובמבר 2009 (UTC)
+
  
−
==תודה רבה!==
+
==שאלה==
−
הנה קישור לדף : http://math-wiki.com/index.php/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D
+
:עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
−
אנא תוסיף קישור אליו בעמוד הראשי כדי שיתפתח קצת. תודה!
+
:A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
 +
:A(A^2+I)(A-2I)=0
 +
:הוכח: A לכסינה.
  
−
:הוספתי, והזזתי אותו לקישור [[אינפי 1 לתיכוניסטים תש"ע]]
 
  
−
==לגבי שאלה 5.21 ב' ג' ו-5.22 א'==
+
תשובה
−
ארז שלום,
+
זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו:
−
את שאלה 5.21 אני מנסה כבר הרבה זמן לנסות להוכיח או להפריך ואני נתקע, אני פשוט לא יודע מה לעשות שם..
+
x(x-i)(x+i)(x-2)      z
−
בשאלה 5.22 אני לא מבין איך למצוא את הפולינום המינימלי - משוואות לינאריות לא עוזרות שם, וגם אין דרך למצוא לזה פולינום אופייני.
+
אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד.
−
עשיתי לפולינום המינימלי נוסחא של פולינום כללי, הצבתי את A והשוותי ל-0, החלפתי את כל החזקות של A, ב-A עצמה ומשם אני נתקע.
+
מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A)
−
כמו כן לא הבנתי למה בסעיף ד' יש אפשרויות ל-tr(A).
+
ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה
−
אשמח אם תענה במהרה, תודה
+
http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png
 +
וזה אם ורק אם A לכסינה
 +
 
 +
::איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
 +
 
 +
:: כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..
 +
 
 +
==שאלה==
 +
שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
* 5.21 - תנסה להעזר בבלוקי ז'ורדן, או במטריצות שהן דומות לבלוק ז'ורדן. לא צריך למצוא מטריצות מסובכות מידי.
+
אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.
−
* 5.22 - שוב, אל תסתבך יותר מידי, אתה רוצה למצוא פולינום שמאפס את המטריצה. יש אחד ממש ממש פשוט. תחשוב טוב. אחרי שתמצא אותו אני מקווה שהשאר יזרום יותר.
+
  
 +
תנסו להבין כמה שאתם יכולים.
 +
 +
 +
:אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
 +
::אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.
 +
 +
אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)
 +
 +
זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.
 +
 +
תודה I GUESS...
 +
 +
==שאלה==
 +
למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0??
 +
 +
*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
 +
 +
::(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
 +
::: סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)
 +
 +
 +
::תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R        אבל  כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
 +
        מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:
 +
 +
==שאלה==
 +
איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:
 +
 +
נתונה מטריצה A:
 +
 +
0 0 0 5
 +
 +
0 0 4 1
 +
 +
0 3 3 2
 +
 +
3 6 5 4
 +
 +
א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)
 +
 +
ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A.
 +
תודה!
 +
 +
:למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
 +
::לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.
 +
 +
== שאלה ==
 +
איפה המבחן מחר?
 +
 +
לפי אורי וייס
 +
505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...
 +
 +
== שאלה ==
  
−
:צריך להניח שA שונה ממטריצת האפס, נכון? :)
+
סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...
−
::כן
+
  
−
==בקשר לשאלה 4.4==
 
−
בסעיף א', לא צריך בכלל את משפט השילוש.. מספיק לנו לדעת שהפולינום האופייני של A מתפרק לגורמים ליניאריים, ואז לפי משפט שהוכחנו בכיתה, a(n-1) של הפולינום הוא tr(a)-, ולפי פתיחת סוגריים של הפולינום מצד שני ניתן להגיד לכן שזה מינוס סכום הערכים העצמיים, ואז הוכחנו.. (מצטערת אם יצא קצת מסורבל)
 
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
צריך להוכיח את זה לפי משפט השילוש, ולא בעזרת המשפט שלמדתם בכיתה. איך הוכחתם בכיתה שהמקדם של <math>a_{n-1}</math> שווה ל<math>tr(A)</math>?
+
T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון
 +
לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+
 +
כלומר לכל w בU קיים w' כך ש  T(w')=w
 +
נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי
 +
<w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0>
 +
ולכן Ty גם בU+
  
−
: לפי תמורות.
 
−
::אוקיי. הדרך שהצעת הינה יפה, אני בכל זאת מעדיף שזה יעשה עם משפט השילוש, כי זו מטרת התרגיל.
 
−
::: אז לא הבנתי.. הדרך שאני עשיתי היא -השתמשתי במשפט השילוש כדי למצוא מטריצה B שדומה לA, ואיברי אלכסונה הם הע"ע של A. ואז השתמשתי בעובדה שיש להם אותו פולינום אופייני, ובגלל המשפט הנ"ל, מתקיים שמינוס טרייס A = מקדם של האיבר הn-1 בפולינום = מינוס טרייס B.          ולכן טרייס A שווה לסכום הערכים העצמיים. זה בסדר?
 
  
−
::::הגעת למטריצה דומה עם אלכסון שמורכב מהע"ע. מה אנחנו יודעים על הtrace של מטריצות דומות?
+
==שאלה==
−
::::: הtrace של מטריצות דומות שווה. איך אפשר להוכיח את זה, אגב?
+
האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?
−
:::::: למדנו ש<math>tr(AB)=tr(BA)</math>. לכן אם <math>A=P^{-1}AP</math> אז <math>tr(B)=tr(P^{-1}AP)=tr(PP^{-1}A)=tr(A)</math>
+
==תשובה==
 +
לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.
  
−
== שאלה בקשר לפולינום מינימלי ואופייני==
+
==שאלה==
−
לפי מה שהבנתי, כל גורם אי פריק שמופיע בפולינום האופייני של מטריצה, יופיע גם בפולינום המינימלי שלה.
+
המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?
−
אני מבין למה זה נכון עבור גורמים לינאריים שמופיעים בפולינום האופייני, כי את שני הפולינומים מה שמאפס זה הערכים העצמיים של המטריצה. אני לא מבין למה זה נכון עבור גורמים לא פריקים לא לינאריים. למשל, אם הפולינום האופייני של מטריצה הוא
+
−
<math>P(t) = (t-1)(t-5)^2(t^2-5t+37)^5</math>
+
−
אז הגורם
+
−
<math>t^2-5t+37</math>
+
−
יופיע בהכרח בפולינום המינימלי בגלל שהוא לא פריק (מעל השדה R).
+
−
אשמח אם מישהו יתן הסבר למה.
+
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אם תסתכל על המטריצה כמעל המרוכבים, הפולינום המינמלי שלה יהיה בעל מקדמים ממשיים (תאחד את הגורמים הלינאריים חזרה לגורמים אי פריקים מעל הממשיים), ולכן גם פולינום מינימלי מעל הממשיים. (אם היה פולינום קטן יותר עם מקדמים ממשיים הוא היה מאפס את המטריצה גם מעל המרוכבים כמובן.
+
התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע  במבחן.
  
  
−
:לא הבנתי. איך ניתן להסתכל על המטריצה כאילו היא מעל המרוכבים? המטריצה היא מעל שדה F כלשהו, לא חייב להיות R. שאלתי היא איך מוכיחים שכל גורם לא פריק שמופיע בפולינום האופייני מופיע גם בפולינום המינימלי.
+
רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...
  
−
::האמת שאני לא בטוח, הוכחתם את זה בהרצאה? אני מנחש שהטיעון שנתתי יעבוד מעל כל שדה F, כלומר ניקח שדה שמכיל את F שבו הפולינום מתפרק לחלוטין ואז נחזור על הטיעון. אבל זה לא חומר שאתם אמורים לדעת, אז אם הוכחתם יכול להיות שיש הוכחה קלה שאני מפספס.
+
==שאלה על התרגיל==
 +
קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )
  
−
:::כשאתה אומר מתפרק לחלוטין, אתה מתכוון מתפרק לגורמים לינאריים? ולא הוכחנו את זה בהרצאה, אבל זה מופיע בתור תרגיל בחוברת, עמוד 92 תרגיל 5.11 א.
+
:לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?
  
−
::::כן. לגבי התרגיל בספר, אני לא הכרתי את זה. זה נובע ישירות מתרגיל 5.10.
+
=תודה!!=
 +
ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם.
 +
תבוא לתרגל באינפי 2 (:
  
−
::::: שתי שאלות: הראשונה: איך זה נובע מתרגיל 5.10? ושאלה שנייה, בהרצאה המרצה כתב את הטענה של תרגיל 5.10 בתור מסקנה של המשפט שאומר שכל ערך עצמי מאפס את הפולינום המינימלי. איך מסיקים מהמשפט הזה את הטענה של תרגיל 5.10? תודה רבה :)
+
: בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
  
−
:::::: אם <math>f_a|m_a^n</math> אז כל גורם אי פריק של <math>f_a</math> חייב לחלק את <math>m_a</math>, בדומה לאם 12 מחלק את 6 בריבוע אז 2 ו3 חייבים לחלק את 6. ואני לא יודע איך זה נובע מכך שכל ערך עצמי מאפס את הפולינום המינימלי.
+
:אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח
  
−
==שאלה על תרגיל 5.21 ב'==
 
−
יש לי שאלה - נכון כל מטריצה בת"ל דומה למטריצת הזהות? ונכון שאם A~B, וכן B~C אז A~C? אז מה הרעיון של סעיף ב'? כי אם הפולינום המינימלי זהה, אז קיימות שתי אפשרויות:
 
−
*הערך 0 מאפס את הפולינום המינימלי, ואז שתי המטריצות ת"ל, ולכן A~0, B~0 ולכן A~B.
 
−
*הערך 0 אינו מאפס את הפולינום המינימלי, ואז שתי המטריצות בת"ל, ואז A~I, B~I, ולכן A~B.
 
  
−
איפה הטעות שלי?
+
תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.
 +
 
 +
-מצטרף לתשבוחות
 +
רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש
 +
 
 +
:חחחחחחחחחחחח גדוללל!
 +
 
 +
:מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)
 +
 
 +
חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!
 +
 
 +
=שאלה=
 +
בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95.
 +
מה לעשות?
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
מי אמר שמטריצה ששורותיה תלויות לינארית דומה למטריצת האפס? הרי למטריצות דומות יש אותם ע"ע, כל מטריצה ש0 הוא ע"ע שלה אז הוא הערך היחיד שלה? בוודאי שלא.
+
אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל ש'''ישנה''' את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.
  
−
==בהמשך לשאלה...==
+
==שאלה==
−
זהו, הבנתי! התבלבלתי כנראה עם המושג "שקול שורה", כלומר שאם מטריצה היא בת"ל אז אפשר להגיע בביצוע מספר סופי של פעולות שורה אלמנטריות למטריצת הזהות.. בכל מקרה, זה לא קשור לשאלה הזאת.
+
היי ארז,
 +
ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן?
 +
תודה רבה!
 +
נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!
  
−
משום מה אני עדיין לא מצליח לחשוב על דרך להוכיח את ב'. רגע - האם מספיק לומר שאם לשתי מטריצות יש את אותם ערכים עצמיים, והן מאותו סדר - אז בהכרח הן דומות?
 
  
−
והמון תודה על העזרה ועל המסירות!!
+
סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...
 +
 
 +
:מתי יפורסמו פתרונות למבחן?
 +
 
 +
 
 +
::אחרי שהמבחנים יבדקו
 +
 
 +
:::לא מאמינים. תוכיח :)
 +
:::: אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל
 +
==שאלה==
 +
מה מס' הקורס? :P
 +
==אמירה==
 +
יש ציונים!!!
 +
 
 +
למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?
 +
 
 +
הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות
 +
 
 +
איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?
 +
 
 +
18/11
 +
 
 +
מה 18 ומה 11  עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?
 +
 
 +
:כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...
 +
 
 +
 
 +
:ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
 +
 
 +
::עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות
 +
 
 +
מתי הפתיחת מחברות?
 +
 
 +
תשאלו את המרצים
 +
 
 +
==הכרזה==
 +
יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')
 +
 
 +
יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<?
 +
הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)
 +
 
 +
 
 +
הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..
 +
 
 +
==שאלה==
 +
מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
אין בעד מה. מה הכוונה מאותו סדר? ולמה שזה יספיק להגיד שהן דומות? זו השאלה בעצם.
+
את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.
−
אני אתן רמז נוסף, אמרתי להסתכל על בלוקי ז'ורדן. מה קורה אם מסתכלים על בלוק ז'ורדן אבל הופכים חלק מהאחדות לאפסים?
+
  
−
-
+
==הצעה==
 +
לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.
  
−
הממ.. אוקיי, אבל נניח שיש לי שתי מטריצות - איך אפשר להוכיח שהן לא דומות? אפשר להראות שהדט' שונה, או שהעקבה שונה או שהדרגה שונה, אבל בכל המקרים הללו הדוגמא שנתת לא תופסת כי הם כולם שווים. באופן כללי איך אפשר להוכיח ששתי מטריצות אינן דומות?
+
===תשובה===
 +
ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.
  
−
:מימד מרחבים עצמיים שונה
+
:אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
  
−
==בעיה בתרגיל 5.18 סעיף ב'==
+
::בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.
−
לפי הגדרת הכמק"ב באותו עמוד, הכמק"ב אינו יחיד.
+
 
−
אם למשל ניקח את הפולינום <math>x-1</math> ו <math>x-2</math>, אז הכמק"ב שלהם יכול להיות <math>(x-1)(x-2)</math> ויכול להיות גם <math>4(x-1)(x-2)</math>. אם כך, איך ניתן להוכיח בתרגיל הזה שהפולינום הוא אכן מתוקן? זהו תנאי לכך שהוא יהיה פולינום מינימלי.
+
מתי יהיו ציונים סופיים?
 +
 
 +
לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.
 +
 
 +
===פתיחת מחברות===
 +
מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?
 +
 
 +
 
 +
אני ממליץ לשאול את בוריס :)
 +
 
 +
===לגבי מועד ב'===
 +
אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??
 +
 
 +
 
 +
רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..
  
 
===תשובה===
 
===תשובה===
−
פשוט לוקחים את הכמק"ב המתוקן, כמו שאתה אומר ניתן היה לכפול את הפולינום בקבוע והוא עדיין יחלק את שני הפולינומים האחרים, אבל זה לא משמעותי.
+
מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').
 +
 
 +
===תשובה של דר' צבאן===
 +
לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.
 
   
 
   
−
:אז להוכיח שקיים כמק"ב מתוקן, ואז להוכיח שהוא הפולינום המינימלי?
+
לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון
−
::אין מה להוכיח שקיים כמק"ב מתוקן, זה טריויאלי, כי מחלקים במקדם של המונום הגבוה. מה שחשוב הוא שהפולינום המינימלי הוא כמק"ב.
+
נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום
 +
ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.
  
 +
לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.
  
−
==שאלה - 5.21==
+
סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין
−
ארז - אני פשוט לא מוצא דוגמא נגדית, אבל אני יודע שזה נכון! קראתי איפשהו שזה יעבוד רק על מטריצות מסדר n>=4 או משהו כזה.. בכל מקרה, האם מותר לי לקחת שתי מטריצות שהפולינום המינימלי שלהן הוא 0?
+
את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד.  
−
תודה!
+
מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה.  
 +
בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה).
 +
המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.
 +
 
 +
מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):
 +
 
 +
http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html
 +
 
 +
בהצלחה,
 +
 
 +
ד"ר בועז צבאן
 +
 
 +
: תודה רבה

גרסה אחרונה מ־17:16, 2 במאי 2010

\begin{bmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 &\lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{bmatrix}

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחתית הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

ארכיון

ארכיון 1 - שאלות על תרגילים 1-4

ארכיון 2 - שאלות על תרגילים 5-8

ארכיון 3 - שאלות על תרגילים 10-11

ארכיון 4 - שאלות על תרגיל 12 והמבחן

ארכיון 5 - שאלות על המבחן

ארכיון 6 - שאלות על המבחן

שאלות

פתיחת מחברות

מתי יש פתיחת מחברות של מועד ב'?

תשאלו את המרצים

מבחן מועד א'

העלתם את הפתרונות של מועד א' אבל לא העליתם את המבחן עצמו. אתם יכולים להעלות את המבחן? תודה.

תשובה

תצלם מאחד החברים, אני אפילו לא בטוח שיש לי אותו

פתיחת מחברות

מתי בדיוק תתקיים פתיחת מחברות לקבוצה של ד"ר צבאן?

פתרון המבחן-בקשה מהמתרגלים והמרצים

תוכל לעלות בבקשה את הפתרון למבחן (מועד א'). כך שנוכל לראות בצורה מדוייקת איך צריך לגשת לשאולות, איך לנסח את הפתרון - והכי חשוב את לפתור את כל השאלות. זה חשוב גם לאילו שמעוניינים לגשת למועד ב'. 

  ,תודה רבה.


פתרון המבחן כבר עלה לפני שבוע. נמצא עם פתרונות התרגילים.

ציוני מבחן

מתי יהיו הציונים בלינארית בערך?

תשובה

הבדיקה בשלביה האחרונים, אנחנו מקווים שיהיה תוצאות כבר בשבוע הבא

מקום הפרסום

היי ארז. איפה יפורסמו הציונים של המבחן? במידע אישי לסטודנט? ואתה תוכל בבקשה לפרסם הודעה באתר כשהציונים יפורסמו? תודה!


תשובה

אני לא יודע, אני אודיע כשאדע

שאלה

אהמ, מישהו יודע אם יש מצב להקדים מועד ב' ??

שאלה

אם נתון לי בסיס E וקיימת לי מטריצה אוניטרית P, מותר לי להגדיר בא"נ B כך ש P תיהיה מטריצת המעבר מ B ל E?

תשובה

כן. כי אם נכפיל בשמאל במטריצה המעבר מE לS הסטנדרטי היא תהיה אוניטרית לכן המכפלה תהיה אוניטרית והמכפלה תהיה מטריצה המעבר מB לS ולכן B בא"נ.

הוכח\הפרך

שאלה מהמבחן של בוריס שנה שעברה, האם מישו הצליח לפתור?- תהי A מטריצה ממעלה >=2 כך ש-degA=2 <= rkA=1(

תשובה

אני הצלחתי להוכיח - אבל אני לא בטוח ב - 100% בנכונות של זה - תנסה לכתוב את A בצורה מפורשת ותעבוד עם זה

גם אני חשבתי ככה (כתבתי את A בתור שורה אחת עם ערכים שאני לא יודע מה הם וכל שאר השורות אפס, ואז הראתי שהפולינום המינימלי על ידי בדיקה הוא באמת ממעלה 2 תמיד), אבל זה ש RANK A = 2 לא בהכרח אומר שלA יש N-1 שורות אפסים, אלא שאפשר להביא אותה לצורה מדורגת כך. לכן הדרך של כתיבה מפורשת לדעתי לא נכונה (ואכן אני לא יודע איך כן להוכיח את זה...).

תשובה: (נכונה) rankA=1 => dimIm(A)=1 ולכן dimKer(A)=n-1 ואז המימד של המרחב העצמי של 0 הוא n-1 (הריבוי הגיאומטרי של 0). מכיוון שהריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לגיאומטרי הוא או N או N-1. אם הוא N אז לפי משפט צורת ז'ורדן יש N-1 בלוקים של 0 אך כל הN עמודות הן של 0 ולכן הבלוק בגודל הכי גדול הוא בגודל 2 ואז M(A)=A^2 כדרוש. אם הוא N-1 אז מכיוון שסכום כל הריבועים האלגבריים הוא N אז יש עוד ערך עצמי עם ריבוי אלגברי (ולכן גם ריבוי גיאומטרי) של 1. לכן לפי משפט צורת ז'ורדן, יש N-1 בלוקים של 0 ו-1 של הערך העצמי הנוסף (נגיד X) ואז הגודל המקסימלי של כל בלוק הוא 1 והפולינום המינימלי הוא M(A)=A(A-X)=> rank(M)=2 מש"ל (סליחה שלא כתבתי הכל בכתיב מתמטי אבל אין לי באמת מושג איך..)

שאלה

אני יודעת שאתמול הוכחת לנו את זה לפני השיעור חזרה, אבל זה היה ממש לא מסודר ולא ממש הצלחתי לעקוב, אז אני אשמח אם אתה (או מישהו אחר בכיף(:) יתן תשובה: ככה: T נורמלי הוכח ש- im(T)=im(T^*)


הוכחה

דבר ראשון נוכיח שker(T)=ker(T^*). נניח v \in kerT לכן Tv=0 ולכן \forall u: <T^*Tv,u>=<0,u>=0 אבל T^*T=TT^* ולכן \forall u: <TT^*v,u>=0 ולכן \forall u: <T^*v,T^*u>=0 ובפרט זה נכון עבור v=u ולכן <T^*v,T^*v>=0 ולכן T^*v=0 כלומר v \in ker T^*. בכיוון ההפוך ההוכחה דומה.


עכשיו נוכיח את הטענה. v \in kerT אם"ם \forall u: <Tv,u>=0 אם"ם \forall u: <v,T^*u>=0 אם"ם v \in (ImT^*)^\bot ולכן kerT = (ImT^*)^\bot. בצורה דומה kerT^*=(ImT)^\bot. אבל הגרעינים שווים ולכן (ImT)^\bot=(ImT^*)^\bot ומזה נובע שהם שווים (כי המרחב המאונך הינו יחיד, והמאונך של המאונך הינו המרחב עצמו).

השלמה לבסיס

האם קיימת דרך בה ניתן להשלים וקטור v_1 לבסיס עבור F^n . למשל שמשלשים וצריך להשלים לבסיס?

תשובה

זו שאלה מלינארית 1. על מנת להשלים קבוצת וקטורים לבסיס, אתה שם אותם בשורות מטריצה, מדרג אותה, ומוסיף וקטורים שמשלימים את הצירים החסרים.

שאלה

איך מראים שלמטריצה נילפוטנטית יש רק ע"ע אחד שהוא 0 ? בנוסף, צ"ל שמטריצה משולשת עם אפסים באלכסון היא נילפוטנטית. אני יכול לומר שהמטריצה דומה לצורת זורדן עם אפסים באלכסון ומעל אחד-ים ואם נעלה בחזקת K אז נקבל את מט' האפס. איך ממשיכים?

הכי פשוט שבעולם - אני הסתכלתי על זה ככה: לפי משפט השילוש, 0 הוא הע"ע היחיד שלה (בהנחה שהאלכסון כולו אפסים), ולכן הפולינום האופייני שלה הוא f(x)=x^n. אם תציב את A תקבל 0, ולכן A^n=0, וזו בדיוק ההגדרה של נילפוטנטית - אם *קיים* k (במקרה זה k=n) עבורו A^k=0.

תשובה

תשובה לע"ע רק 0-A נילפוטנטנטית מסדר K. נניח שיש ערך עצמי L שהוא לא אפס. ז"א Av=Lv. נכפול משמאל ב-A^K-1 ונקבל 0=LA^k-1V= אבל A*v= lv ולכן קיבלנו A^k-2*l^2=0. אבל A^K-2 שונה מאפס, וL שונה מאפס ולכן סתירה

שאלה

איך מוכיחים את הכיוון הבא: אם T אוניטרית אזי היא מעבירה בא"נ לבא"נ אחר (T מעל C)

תשובה

צריך להוכיח שאם v_1,...v_n בא"נ אזי גם Tv_1,..Tv_n בא"נ. ההגדרה של בא"נ הינה שהמכפלה הפנימית של כל זוג וקטורים שונים היא אפס, והמכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו הינה 1.

T אוניטרית ולכן TT^*=T^*T=I. נבדוק את המכפלה הפנימית של זוג וקטורים בבסיס החדש: <Tv_i,Tv_j>=<v_i,T^*Tv_j>=<v_i,v_j> ולכן המכפלות הן אותו הדבר (ראינו עכשיו שאופרטור אוניטרי שומר מכפלות פנימיות) ולכן גם הבסיס החדש הינו א"נ.

שאלה

א. יהי V מ"ו ממימד סופי, יהיא Y(פי) שייך ל- *V ושונה מ-0, יהי W ת"מ של V המכיל את KER Y(פי). צ"ל W=V או W=KER Y

ב. יהי V ממ"פ ממימד סופי. יה Y שייך ל- V* . הוכח כי קיים וקטור W שייך ל- V כך ש: V,W >= ( Y(V> לכל V שייך ל- V.

תשובה

א. אתמול בשיעור החזרה הראנו שהמימד של הגרעין של פונקציונל הינו n או n-1 (לפי משפט הדרגה). במקרה שהפונקציונל שונה מאפס המימד של הגרעין הינו n-1.

אם W מכיל את הגרעין והמימד שלו n-1 אזי הוא שווה לגרעין. אם המימד שלו n אזי הוא שווה למרחב V. אין עוד אופציות כי המימד שלו לא יכול להיות קטן מהמימד של הגרעין אותו הוא מכיל.

ב. זה משפט ההצגה של ריס.


שאלה

איך מראים שכל מטריצה מעל C דומה למטריצה המשוחלפת? A דומה לA^t

תשובה

בעזרת השאלה ממתחת. A דומה לצורת הז'ורדן שלה A=PJP^{-1} נשחלף לקבל ש A^t=(P^t)^{-1}J^tP^t כלומר A משוחלפת דומה לצורת הז'ורדן המשוחלפת. אבל על ידי החלפת בסיס מתאימה, צורת הז'ורדן המשוחלפת דומה לצורת הז'ורדן ולכן המטריצות דומות.

החלפת הבסיס היא שינוי סדרה איברי הבסיס מהסוף להתחלה, בתוך כל בלוק (נגיד הבלוק הראשון מגודל 3 והשני מגודל 2, אז נחליף לבסיס v_3,v_2,v_1,v_5,v_4.

שאלה

אם אני יודע שה"ל T מעל V ממימד N בהצגה לפי הסטנדרטי היא טראנספוז של בלוק ז'ורדן בגודל NXN, איך אני משנה את הבסיס ככה שהיא תצא בלוק ז'ורדן?

תשובה

מסדר אותו מהסוף להתחלה. זה שקול למטריצת המעבר עם אחדות באלכסון המשני. מעבר הבסיס יהיה להחליף את סדר השורות ואז להחליף את סדר העמודות

שאלה

הוכח\הפרך: מעל R^n אם T אורתוגונלי וT^2=I אז T סימטרי. האם המטריצה ההפכית יחידה? כי אם כן TT=I TT*=I ואז T=T* משמע שזה אמת

תשובה

בוודאי שההופכית יחידה...

וזו הוכחה נכונה.

תודה! (:

2 שאלות

1) ארז תוכל בבקשה להסביר לי למה לכל אופרטור יש בא"נ כך שההצגה שלו לפי הבא"נ הזה היא סכום ישר של סיבובים ו-פלוס-מינוס אחדים?

2) עברתי על השאלה בנוגע להוכחת תהליך גרם-שמידט ועדיין לא הבנתי את זה. עברתי על ההוכחה שיש בהרצאה וגם שם זה לא ברור לי. תוכל בבקשה להגיד לי מה בעצם מוכיחים ואיך מוכיחים?

תודה!


תשובה

1. זה נכון רק לאופרטורים א"ג, ולא לכל אופרטור. ההוכחה היא באינדוקציה. אנחנו יודעים מההרצאה שזה נכון לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד 2 כי הם סיבובים או שיקופים (ושיקוף הוא מטריצה עם 1 ומינוס אחד על האלכסון).

לאופרטורים א"ג מעל מרחבים ממימד גבוה יותר, מפרקים אותם לסכום יש של אופרטורים א"ג מעל מרחב אינווריאנטי מימד 1 או 2, והמרחב הניצב לו, ממימד n-1 או n-2. לפי הנחת האינדוקציה המרחבים האלה הן כבר מהצורה הרצויה.

זה מאד דומה להוכחה שיש בפתרון לתרגילים בנושא אופרטורים אנטי סימטריים.

2. צ"ל להוכיח שהנוסחא w_i=v_i-\sum_{k=1}^i\frac{<v_i,w_k>}{<w_k,w_k>}w_k נותנת וקטור שונה מאפס שמאונך לw_1,...,w_{i-1}. על מנת להראות שהוא מאונך אליהם מראים שהמכפלה <w_i,w_j>=0 לכל j<i. אבל לפי ההנחה, הוקטורים w_1,...,w_{i-1} מאונכים זה לזה, ולכן המכפלה יוצאת

<w_i,w_j>=<v_i,w_j>-\frac{<v_i,w_j>}{<w_j,w_j>}<w_j,w_j>=0 כפי שרצינו.

בנוסף, w_i\neq 0 מכיוון שאחרת v_i ת"ל בv_1,...,v_{i-1} בסתירה לכך שזה היה בסיס מלכתחילה.

תודה רבה! - אבל יש רק דבר אחד שלא הבנתי: בנוגע ל-1, שיקוף אמור להיות ה-Ref. למה אמרת שהוא מטריצה של 1 ו-מינוס 1 על האלכסון?
לכל שיקוף קיים בא"נ כך שהמטריצה של השיקוף לפי הבא"נ הינה \begin{bmatrix}-1 & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}.
עדיין לא הבנתי. הרי שיקוף זאת המטריצה cosa,sina,sina,-cosa. למה הכוונה שאתה אומר שיש בא"נ שלפיו זאת המטריצה 1 0 0 1-?
זו המטריצה לפי הבסיס הסטנדרטי. תראה שאלה 7 בארכיון 6.
אוקי, שוב תודה :)

שאלה

יש שאלת הוכח או הפרך שאני לא מצליח לעלות על הכיוון שלה. אשמח לעזרה... הוכח\הפרך:

1. לכל מטר' A מרוכבת, I+A*A אינה סינגולרית.

2. אם k^2 ע"ע של A^2 אזי k ע"ע של A.

תודה לעוזר הנחמד.

תשובה

1. הוכחה:

אנחנו יודעים שA^*A הינה חיובית לחלוטין, נוכיח: דבר ראשון, היא הרמיטית ולכן הע"ע שלה ממשיים. דבר שני, נניח ש \lambda ע"ע של A^*A אזי \lambda<v,v>=<A^*Av,v>=<Av,Av>\geq 0 ולכן \lambda \geq 0.

כעת, נניח בשלילה שI+A^*A סינגולרית כלומר לא הפיכה. לכן בהכרח אפס ע"ע שלה, כלומר |I+A^*A+0\cdot I|=0 כלומר, |A^*A-(-1)\cdot I|=0 כלומר מינוס אחד הינו ע"ע של A^*A בסתירה לכך שהע"ע שלה הינם חיוביים.

2. הפרכה:

ניקח A=I. אזי (-1)^2 הינו ע"ע של A^2=I אבל מינוס אחד לא ע"ע של A

תודה רבה רבה רבה


שאלה

בהוכחה למעלה יש לך מעבר לא נכון, מ<A*Av,v> קפצת ל l<v,v< וזה לא נכון..

תשובה

שים לב ש\lambda הינו ע"ע של A^*A ולכן A^*Av=\lambda v

שאלה

עוד שאלה שאני שובר את הראש עליה, עזרה תתקבל בברכה:
A מטריצה מרוכבת בגודל 3X3 כך ש:
A(A^2+I)(A-2I)=0
הוכח: A לכסינה.


תשובה זה מתפרק לפולינום שA פותרת אותו: x(x-i)(x+i)(x-2) z אנחנו יודעים שA מרוכבת, לכן הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים תמיד. מלבד זאת, אנחנו יודעים שהפולינום המינימלי של כל מטריצה (בפרט A) מחלק כל פולינום המאפס אותה (את A) ואם הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום הזה ואנחנו יודעים שהוא ממעלה קטנה\שווה 3 לכל מטריצה מסדר 3X3, הוא מהצורה http://math-wiki.com/images/math/4/0/2/40248c16227e65ef2bce5e5d2056d7bf.png וזה אם ורק אם A לכסינה

איך קטנה שווה 3? לא אמור להיות קטנה שווה ל4? הפולינום הנתון הוא ממעלה 4!!
כן אבל הפולינום המינמלי צריך לחלק את הפולינום האופיני כאשר הפ"א הוא ממעלה 3 (תסתכל בהרצאה 2 אם אתה לא זוכר..) ולכן הפולינום המינימלי הוא מדרגה קטנה או שווה ל-3..

שאלה

שיינר, אם אפשר ליישר קו, מה אומר החלק המתמטי של משפט אוילר, שאותו אנחנו צריכים לדעת?

תשובה

אני לא יכול לעזור בזה, כיוון שלא ראיתי את המבחן.

תנסו להבין כמה שאתם יכולים.


אני לא שואל מה יהיה במבחן אני שואל, מבחינת הקורס, מה אומר משפט אוילר. מצדי תן קישור לויקיפדיה
אני מבין, אני פשוט אומר שאני לא יודע בדיוק בעצמי מה הכוונה, ולכן לא רוצה לעסוק בניחושים. חפשתי עכשיו קישור למשפט ואני לא מוצא.

אז תחשוב כמה נחמד זה להיות יום לפני מבחן ולא לדעת מה אומר המשפט :)

זו שאלה שונה, המשפט אומר שהזזה של גוף צפיד עם נקודת שבת שקולה לסיבוב סביב ציר מסוים.

תודה I GUESS...

שאלה

למה אם 0=(SV,V) לכל V כאשר S אופרטור לינארי צל"ע אז S=0?? 

*לך לארכיון 5 יש שם תשובה לשאלה ממש דומה ואפילו נראה לי כזאת שמכלילה את זה..
(מישהו אחר) הסתכלתי שם וראיתי שאתה גם מוכיח את זה וגם מוכיח שזה לא נכון. אני לא מבין מה ה"תיקון" שהיה שם, הרי זאת אותה השאלה בדיוק..:S
סבבה הבנתי, תודה על ההערה. :)


תקרא שובפעם מה שכתוב שם ותראה שבשאלה הראשונה שנשאלה לא מיקדו אותך מעל איזה שדה זה( R או Cׂ ׂ) ואז יכלת להפריך זאת ע"י דוגמא מעל R אבל כאשר זוהי העתקה מעל C הדוגמא שנתנה בתחילה לא סותרת את זה ובהוכחה גם הוא השתמש בכך שאתה מעל C ...
       מה שכן- זה באמת לא ממש אותה שאלה, כי פה באמת לא אומרים לך מעל איזה שדה אתה... תנסה לחשוב על זה קצת (:

שאלה

איך פותרים את סעיף ב' בשאלה הזאת:

נתונה מטריצה A:

0 0 0 5

0 0 4 1

0 3 3 2

3 6 5 4

א) מצא את צורת הז'ורדן של A (צדקת ארז, זה באמת עם ז'.. חחח)

ב) מצא מטריצה P הפיכה כך ש-p^-1*A*P היא צורת הז'ורדן של A. תודה!

למדנו בכלל למצוא את הP ההפיכה הזו? אני חושבת שאנחנו לא צריכים לדעת את זה
לא למדנו מטריצה מז'רדנת. לא צריך לדעת.

שאלה

איפה המבחן מחר?

לפי אורי וייס 505 כיתה 2- זה רק הכיתה של בוריס...505 כיתה 1 זה הכיתה של צבאן...

שאלה

סתם שאלה, אפשר לראות הוכחה לכך שאם U הוא T אינ' אז גם U+ (הת"מ הנציב) הוא גם T אינ' כאשר T א"ג, אני לא בטוח שהדרך שלי נכונה...


תשובה

T אורתוגונאלי, ולכן לא מנוון לכן, לפי משפט הדרגה, IMT=Uכאשר T מצומצם על U+ כלומר לכל w בU קיים w' כך ש T(w')=w נניח y במרחב הניצב למרחב המקורי <w,Ty>=<Tw',Ty>=<w',y>=<0> ולכן Ty גם בU+


שאלה

האם פונקציה דו לינארית שולחת בהכרח לסקלר?

תשובה

לפי ההגדרה f:VxV->F לכן בהכרח סקלר.

שאלה

המרחב הדואלי. כמעט ולא עסקנו בו וגם לא ניתן לנו תרגיל בית. הוא יכול להיות במבחן?

תשובה

התעסקנו איתו הרצאה ותרגיל כמו כל נושא. תרגיל בית אכן לא ניתן. כמובן שהוא יכול להופיע במבחן. 


רואים שזה היה במבחן? אסור לפסול חומר...

שאלה על התרגיל

קיבלתי בתרגיל 50 ובמבחן 100, סופי 90. יש סיכוי כלשהו להעלות לי את התרגיל? (אני מניח שרוב מי שקורא את זה יודע מי אני...:-) )

לא נגשת לבוחן? על סמך מה נעלה את התרגיל?

תודה!!

ארז שיינר, תודה רבה לך על כל ההתמסרות וההשקעה בזמן הסמסטר וכמובן לפני המבחן בשאלות שלי ושל כולם. תבוא לתרגל באינפי 2 (:

בהחלט כל הכבוד, מסכים עם כל מה שנאמר פה ובאמת שאין דרך לתאר את הרצון שלך לעזור לנו והעזרה שנתת לכולנו
אין ספק שאתה צריך לתרגל אותנו אינפי 2..חחח


תודה לכם, ומקווה שהלך טוב המבחן. מי שלא, נתראה במועד ב'.

-מצטרף לתשבוחות רק אם אפשר לתת קצת ביקורת קונסטרוקטיבית: מאגר העניבות מחזורי, וזה מקשה על ההתרכזות בתרגולים, כיוון שבמקום לעסוק במיון שניויניות, אנו הסטדנטים חייבים לחשוב מתי כבר ראינו עניבה מסוימת ולבנות העתקה על בין קבוצת העניבות שלך לתרגולים. לפיכך, הינך מתבקש לרכוש עניבות חדשות ומחושדות, אם אפשר עם ציורים חמודים. תודה מראש

חחחחחחחחחחחח גדוללל!
מאיפה אתה קונה את העניבות האלה? גמאני רוצה 8)

חחח תכלס עניבות מגניבות...מתרגל מצוין עם אחלה לוק !!!

שאלה

בציוני התרגיל שלי תרגיל שהגשתי וקיבלתי חזרה כתוב שקיבלתי בו 0 למרות שקיבלתי בו 95. מה לעשות?

תשובה

אם זה לא משפיע על הציון הסופי, אז להבין שזה לא אומר כלום ולא להציק לי סתם. אם מדובר על תרגיל שישנה את הציון באדום, אפשר לשלוח לי מייל בנושא.

שאלה

היי ארז, ברור לך שהזמן של הבוחן היה קצר מאוד,וסביר להניח שהפעם לרוב ציון התרגיל די מוריד את הממוצע.גם אם זה בשתי נק' זה ממש מבאס,כי על בוחן אי אפשר לעשות מועד ב' ולהוכיח שהנפילה החד פעמית הייתה בגלל חוסר זמן....הנה עבר לו המבחן,וכמו שאמרת מטרת הבוחן הייתה לזעזע אותנו לקראת המבחן....אז מה אתה אומר שעכשיו תנסו(כן גם ניסיון יעזור...) לדון בציון....אולי תעשו כמו ברוב הקורסים הגבוהה מבין ציון התרגילים לבוחן,או תורידו את המשקל של הבוחן? תודה רבה! נ.ב:ארז ,אני רוצה בשם כל תלמידי הקורס למסור לך אתת הערכתנו על התמיכה...מקווים שתתרגל אותנו באינפי 2 או באלגברה מופשטת!!!!!!!!


סתם שאלה-מתי מתחיל סמסטר ב'? תודה...

מתי יפורסמו פתרונות למבחן?


אחרי שהמבחנים יבדקו
לא מאמינים. תוכיח :)
אני אף פעם לא משקר. אמרתי שאחרי שהמבחנים יבדקו. לכן משפט זה הוא אמת. מ.ש.ל

שאלה

מה מס' הקורס? :P

אמירה

יש ציונים!!!

למה לקבוצה של בועז אין ומתי יהיה?

הם עוד בבדיקה, אני מקווה שיהיה בקרוב. פתרון המבחן נמצא בדף הפתרונות

איך התחלק הניקוד בשאלות ההוכחה בין סעיף א לב?

18/11

מה 18 ומה 11 עזוב מספרים שפה קשה כאילו סעיף א-18 וסעיף ב-11?

כן, מן הסתם ההוכחה שוקלת יותר...


ארז - יש לי שאלה - במבחן, נניח שמישהו השתמש בטענה שהריבוי האלגברי תמיד יהיה גדול או שווה לריבוי הגיאומטרי בשאלה 1 (א'), מבלי להוכיח את הטענה הזו - האם יורידו נקודות? אם כן, זה יהיה קצת לא הוגן, כי בהוכחה המקורית שיש באתר לאותה שאלה בדיוק (שד"ר צבאן העלה כהשלמה להרצאה) מתייחסים אל אי-השוויון הזה כמובן מאליו.
עד כמה שידוע לי לא ירדו נקודות על זה. חכו לפתיחת המחברות

מתי הפתיחת מחברות?

תשאלו את המרצים

הכרזה

יש ציונים! וכן, גם לקבוצה של ד"ר צבאן! (ב'ציוני ביניים')

יכול להיות שהיה פקטור? הציונים נראים לכם סבירים<? הציונים הרשומים בציוני ביניים ב-ט-ו-ח נכונים? אחרי שרושמם אפשר לשנותם אם לא מגישים ערעור?(כלומר מצד המרצה או משהו)


הממוצע מאד גבוה, אם יהיה פקטור הוא לא יהיה לכיוון שתאהבו :) אבל לא יהיה פקטור כזה כמובן..

שאלה

מישהו יודע אילו וכמה קורסים צפויים בסמסטר ב' (לא כולל קורסי קיץ)? נשאר לנו השנה (למתמטיקה שימושית) : אינפי 2, שימושי מחשב, אלגברה מופשטת, הסתברות וסטטיסטיקה, ושיטות נומריות.

תשובה

את אינפי 2 ושימושי מחשב נלמד בסמסטר ב'.

הצעה

לדעתי יהיה הוגן להחליט שאם ציון המבחן גבוה מציון הבוחן, אז הציון הסופי ייקבע כ-90% מציון המבחן ועוד 10% מציון התרגילים.

תשובה

ציוני התרגיל הוגנים וציוני המבחן הוגנים מאד. אי אפשר להתחשב בכל החזיתות.

אבל הבוחן ממש לא היה הוגן. היה מחסור חמור בזמן, כל טעות קטנה הובילה לירידה גדולה בציון וגם הבדיקה לא נעשתה ברחמנות, בלשון המעטה. לכן, אם מישהו מעד בבוחן (מה שיכל לקרות בקלות בגלל כל הסיבות שפירטתי למעלה) והוכיח את עצמו אחר כך במבחן, צריך לדעתי להתחשב יותר במבחן על חשבון הבוחן.
בדיקת הבוחן הייתה הוגנת, והבוחן היה הוגן. ציון תרגילי הבית היה קרוב ל100 לכולם. מטרת הציון הסופי של הקורס היא לא לחפש סיבות למה לתת לכולם 100. לכל קורס יש כללים מסוימים וחלוקה בין הציונים השונים, והמטרה שלכם היא להצליח בצורה המירבית. אם ניצור נוסחא אישית לכל תלמיד פשוט כולם יקבלו ציונים טובים. השורה התחתונה היא שממוצע הציונים הסופיים גבוה מאד גם ככה, ובוודאי אין מקום לשום התחשבות נוספת. אני מאד מעריך את הרצון והשאיפה לקבל ציונים טובים, ואני ממליץ שתתעלו אותו ללמידה והמשך הצלחה בקורסים הבאים.

מתי יהיו ציונים סופיים?

לא יודע, אבל ניתן לחשב פחות או יותר לבד: 20 אחוז ציון תרגיל (הציון הסופי שפורסם באתר) ו80 אחוז ציון מבחן.

פתיחת מחברות

מה עם פתיחת המחברות של הקבוצה של בוריס?


אני ממליץ לשאול את בוריס :)

לגבי מועד ב'

אפשר בבקשה לקבל מידע על מועד ב' (האם אותו מבנה, האם הוא יהיה רק לתיכוניסטים או לכל הסטודנטים, האם יהיה שיעור חזרה לקראתו, האם הוא יהיה יותר קשה)??


רציתי להצטרף לשואל ולשאול האם גם המתכונת של המבחן תהיה זהה? כלומר כמות השאלות וכו'..

תשובה

מומלץ לשאול את המרצים, אבל עד כמה שידוע לי המועד ב' צריך להיות כמו המועד א', כלומר כמו שאמרנו לכם להתכונן למועד א' (כמובן שיכול להופיע חומר שלא היה בפועל במועד א' אבל היה צריך ללמוד אותו במועד א').

תשובה של דר' צבאן

לתלמידים עם ציונים מעולים (נאמר, תשעים ומעלה), איני ממליץ לעשות מועד ב'.

לתלמידים עם ציון סופי (כולל תרגיל ובוחן) מתחת לשמונים, אני ממליץ כן לעשות מועד ב', מהסיבה שציון נמוך משמונים לעתים אינו מוכר לפטור מקורס באוניברסיטאות אחרות, למקרה שתרצו לעבור תחום ו/או אוניברסיטה. כמובן, זה בתנאי שהתלמיד לוקח את מועד ב' ברצינות ולומד אליו היטב.

לגבי שאר התלמידים: זו החלטה שעליהם לקחת בעצמם, ויש לקחת בחשבון כמה דברים.

סטטיסטית, רוב מי שלומד שוב (היטב) למועד ב', מצליח יותר במועד ב' מאשר במועד א', וגם מבין את החומר טוב יותר בשביל הקורסים הבאים. כך שזה עשוי להועיל מאד. מצד שני, תמיד יש יוצאי דופן, וקורה (למרות שנדיר) שתלמיד שניגש שוב ציונו משתנה לרעה. בכל מקרה, מי שניגש למועד ב', הציון הקובע הוא זה של מועד ב' (לטובה או לא לטובה). המדיניות שלנו היא להשתדל לעשות מועד ב' ברמה דומה למועד א'. זה עניין סובייקטיבי ובודאי חלק מהתלמידים ירגישו שהוא יותר קל ממועד א', וחלק ירגישו שהוא יותר קשה ממועד א', אבל בפירוש איננו מנסים שהוא יהיה יותר קשה ממועד א'.

מידע נוסף, כולל מי צריך להירשם למועד ב' ואיך, תמצאו בקישור הבא (מקורס קיץ ישן):

http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Summer08/Summer08.html

בהצלחה,

ד"ר בועז צבאן

תודה רבה
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=לינארית_2_לתיכוניסטים_תש%22ע&oldid=2399