לכסון אורתוגונלי

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

לכסון אורתוגונלי (מעל \mathbb R)

אלגוריתם

  • מצא את הע"ע של המטריצה A
  • מצא בסיסים אורתונורמליים למרחבים העצמיים של המטריצה A
    • מצא בסיסים למרחבים העצמיים של המטריצה A
    • הפעל אלגוריתם גרם-שמידט על מנת להפוך כל אחד מהבסיסים האלו (בנפרד) לאורתונורמלי
  • שים את כל הוקטורים מכל הבסיסים בעמודות מטריצה P, היא בהכרח תהיה אורתוגונלית.
  • P^tAP=D הינה מטריצה אלכסונית

הוכחה לאלגוריתם

  • ידוע שאם עמודות P הינן וקטורים עצמיים של A אזי P^{-1}AP=D אלכסונית
  • ידוע שאם P אורתוגונלית אזי P^t=P^{-1}
  • נובע שאם נמצא P אורתוגונלית שעמודותיה הן וקטורים עצמיים של A אזי D=P^{-1}AP=P^tAP אלכסונית.

טענה

A לכסינה אורתוגונלית אם"ם A סימטרית

הוכחה

בכיוון הראשון, נניח A לכסינה א"ג ולכן A=PDP^t ולכן A^t=PD^tP^t=PDP^t=A (כי D אלכסונית).


בכיוון השני, נניח שA סימטרית. נוכיח שוקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים שלה מאונכים זה לזה. נניח u ו"ע עם ע"ע a וw ו"ע עם ע"ע b אזי <Au,w>=<u,Aw> כי A צל"ע (מעל הממשיים צל"ע=סימטרי).

לכן, a<u,w>=<au,w>=<Au,w>=<u,Aw>=<u,bw>=b<u,w> ולכן a<u,w>=b<u,w> אבל ידוע שאלו ע"ע שונים כלומר a \neq b ולכן בהכרח <u,w>=0 כלומר הם מאונכים.


  • לכן עבור A סימטרית,בסיסים של מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה
  • לכן איחוד הבסיסים הא"נ של המרחבים העצמיים הינו קבוצה א"נ
  • מכיוון שA סימטרית ידוע שהיא לכסינה
  • לכן יש לה בסיס המורכב מו"ע
  • לכן סכום המימדים של המרחבים העצמיים הוא בדיוק מימד כל המרחב
  • לכן הקבוצה הא"נ הנ"ל הינה בסיס למרחב
  • אלו בסיסים למרחבים עצמיים, כלומר הם מורכבים מו"ע לכן איחוד הבסיסים גם מורכב מו"ע
  • בסיכום, מצאנו בסיס א"נ המורכב מו"ע, ולכן המטריצה לכסינה א"ג, והאלגוריתם הנ"ל עובד.