מבוא

מד״ר מסדר ראשון

תוכן עניינים

בעיית קושי

פתרון רגולרי וסינגולרי

משפט הקיום והיחידות

מד״ר עם משתנים מופרדים

מד״ר פתורות ע״י הפרדת משתנים

הומוגניות

דוגמה

צורה כללית

דוגמה

משפט

דוגמה

הוכחה

1 מבוא
2 מד״ר מסדר ראשון

משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המקשרת בין משתנה בלתי תלוי $x$ לבין משתנה תלוי $y$ . בניגוד למצב הנפוץ בו הפתרון של משוואה הוא נקודה, במד״ר הפתרון הוא פונקציה.

הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית רגילה היא $F\left(x,y(x),y'(x),\dots,y^{(n)}(x)\right)=0$ ( $F$ פונקציה ב־ $n+2$ משתנים). הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית חלקית היא $F\left(x,y,z(x,y),\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}\right)=0$ .

הגדרות: הסדר של מד״ר הוא דרגת הנגזרת הגבוהה ביותר במשוואה. המעלה היא החזקה הגבוהה ביותר של הנגזרת הגבוהה ביותר. נדגים:

$2xy'-3y=0$ : הסדר הוא 1 והמעלה – 1.
$2x^3y\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^2-(1+x^3)=0$ : הסדר הוא 1 והמעלה – 2.
$2y''+2x^2y=0$ : הסדר הוא 2 והמעלה – 1.
$\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-x^3\left(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right)^3=0$ : הסדר הוא 3 והמעלה – 1.

קיימות מד״ר שאנו כבר יודעים לפתור. למשל:

אם $y'={\mathrm e}^{2x}$ אזי $y=\int {\mathrm e}^{2x}\mathrm dx=\frac{{\mathrm e}^{2x}}2+c$ .
$\begin{align}&(y')^2+xy'+3=0\\\implies&y'=\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\\\implies&y=\int\frac{-x\pm\sqrt{x^2-12}}2\mathrm dx=\dots\end{align}$

נשים לב שיש אינסוף פתרונות.

לא תמיד קל לפתור מד״ר: בהינתן $y'={\mathrm e}^{-x^2}$ נקבל $y=\int {\mathrm e}^{-x^2}\mathrm dx$ , והפתרון אינו אלמנטרי. למרות זאת, זה פתרון מפורט מספיק לצרכינו. נעיר שקיימת פוקנציית השגיאה $\mbox{erf}$ שעבורה $y=\frac\sqrt\pi2\mbox{erf}(x)+c$ .

הגדרה: צורה נורמלית של מד״ר היא $y^{(n)}=f\left(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}\right)$ כאשר $n$ סדר המשוואה. לפעמים קשה להגיע לצורה זו: לדוגמה, $y={\mathrm e}^{y'}+y'-x$ .

הערה: $\equiv$ מסמן שיוויון זהותי, כלומר שיוויון שמתקיים בכל נקודה. אם $f(x)\equiv g(x)$ אז בפרט $f(x)=g(x)$ , ולכן לא תמיד נקפיד לסמן ב־ $\equiv$ שיוויון זהותי.

תהי $F(x,z_0,z_1,\dots,z_n)$ פונקציה לינארית במשתנים $z_0,\dots,z_n$ . אזי המד״ר המתאימה $F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0$ תקרא לינארית. $\sin(x)y''+x^2y'+3y-{\mathrm e}^{x^2}=0$ , למשל. מד״ר לינארית מוצגת בצורה נורמלית כך: $y^{(n)}=\sum_{i=0}^{n-1}a_i(x)y^{(i)}+f(x)$ . אם $f(x)\equiv0$ המד״ר נקראת "לינארית־הומוגנית". דוגמה: $(y')^2+x^2+2=0$ .

הגדרה: פתרון של מד״ר הוא פונקציה $\varphi(x)$ כך שבהצבת $y=\varphi(x)$ המד״ר הופכת לזהות $F\left(x,\varphi(x),\varphi'(x),\dots,\varphi^{(n)}(x)\right)\equiv0$ . דוגמה: $\varphi(x)=x^2$ היא פתרון של $xy'-2y=0$ מפני שבהצבה $y=\varphi(x)$ נקבל $x(2x)-2x^2=0$ , מה שמתקיים תמיד.

הגדרה: פתרון כללי של מד״ר הוא משפחת פונקציות

\varphi(x,c_1,\dots,c_n)

שכל אחת מהן פתרון התלוי ב־

n

פרמטרים וגזיר

n

פעמים לפי

x

. דוגמה:

\begin{align}&y''=x+1\\\implies&y'=\frac{x^2}2+x+c_1\\\implies&y=\frac{x^3}6+\frac{x^2}2+c_1x+c_2\end{align}

\blacksquare

הגדרה: מד״ר מסדר ראשון היא מד״ר מהצורה

F(x,y,y')=0

. באופן שקול, הצורה הנורמלית שלה היא

y'=f(x,y)

. דוגמאות:

$xy'=x+y$
$\begin{align}&y'=\frac yx\end{align}$
$y'+x^2y=0$

מד״ר 2 שקולה ל־ $\mathrm dy=\frac yx\mathrm dx$ ומד״ר 3 שקולה ל־ $\mathrm dy+x^2y\mathrm dx=0$ . אלה הצורות הדיפרנציאליות.

בכל הנוגע למד״ר מסדר ראשון, הבעיה היא למצוא פתרון למד״ר $y'=f(x,y)$ המקיים תנאי התחלה $y|_{x=x_0}=\varphi(x_0)=y_0$ .

הגדרות: בהנתן פתרון כללי של מד״ר $y=\varphi(x,c)$ , פתרון המתקבל ע״י הצבת $c=c_0$ מסוים נקרא פתרון פרטי, רגולרי או רגיל. פתרון שאינו מתקבל מ־ $c$ מסוים נקרא פתרון סינגולרי או מיוחד. דוגמה: נתונה המד״ר $(y')^2=4y$ . הפתרון הרגולרי הכללי הוא $y=(x+c)^2$ לכל $c$ , כגון $y=(x+3)^2$ . $y=0$ פתרון סינגולרי.

נציג גרסה לא כ״כ פורמלית למשפט (את הגרסה המדויקת ואת ההוכחה נציג בהמשך). בהינתן מד״ר בצורה נורמלית $y'=f(x,y)$ . אם הפונקציה $f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ במשתנה $y$ בסביבה מסוימת של הנקודה $(x_0,y_0)$ אזי קיימת סביבה שלה שבה למד״ר פתרון אחד ויחיד העובר ב־ $(x_0,y_0)$ (כלומר מקיים $y(x_0)=y_0$ ).

תזכורת: $f$ מקיימת את תנאי ליפשיץ אם $\exists k:\ |f(x_1)-f(x_2)|\le k|x_1-x_2|$ .

נתון $2xy+y'=0$ . אזי

נניח $y\not\equiv0$ :^[1]	$\frac{y'}y=-2x$
	$\frac{y'\mathrm dx}y=-2x\mathrm dx$	$\implies$
	$\int\frac{\mathrm dy}y=-\int2x\mathrm dx$	$\implies$
	$\ln\vert y\vert=-x^2+c_1$	$\implies$
נציב $c_2:={\mathrm e}^{c_1}$ :	$\vert y\vert=c_2{\mathrm e}^{-x^2},\quad c_2>0$	$\implies$
נציב $c:=c_2\sgn(y)$ :^[2]	$y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\ne0$	$\implies$

^ הערה 1: הנחנו ש־ $y\not\equiv0$ וחילקנו ב־ $y$ , אבל מה אם יש נקודות בודדות שבהן $y=0$ ? מקרה כזה אינו משנה לנו כיוון ש־ $y$ גזירה ובפרט רציפה, ולכן קיימים קטעים שבהם $y\ne0$ . אנו יכולים לפתור את המד״ר בקטעים אלה ואז, הודות לרציפות, הפתרון ייתן את התוצאה הנכונה גם בקצוות הקטעים.

^ הערה 2: הגדרנו $c=c_2\sgn(y)$ , אך נשים לב ש־ $c$ מוכרח להיות קבוע. במקרה זה הדרישה הזאת מתקיימת: $\mathrm e^{-x^2}>0$ לכל $x$ ומכאן שלא קיימת נקודה שבה $y=0$ . לפיכך, מפני ש־ $y$ רציפה, $y$ אינה מחליפה סימן באף קטע, כלומר $\sgn(y)$ קבוע. כך נקבל שגם $c$ קבוע, כדרוש.

עתה נתייחס למקרה שבו $y\equiv0$ . הצבה במד״ר תראה שזה פתרון ולבסוף הפתרון הכללי הוא $y=c{\mathrm e}^{-x^2},\quad c\in\mathbb R$ . $\blacksquare$

נוכל להכליל את הדוגמה למקרה כללי: אם $y'=f(x)g(y)$ אזי $\int\frac{\mathrm dy}{g(y)}=\int f(x)\mathrm dx$ .

הצורה הכללית של מד״ר מסדר ראשון עם משתנים מופרדים בכתיב דיפרנציאלי: $M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dy=0$ . אם $N_1(y_0)=0$ עבור $y_0$ כלשהו אזי $y(x)\equiv y_0$ פותר את המד״ר. אם $M_2(x_0)=0$ עבור $x_0$ כלשהו אזי $x(y)\equiv x_0$ פתרון (במובן כלשהו – רגולרי או סינגולרי). אם $N_1(y)M_2(x)\ne0$ נחלק בהם ונקבל $\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=c$ .

$x^2y^2y'=y-1$ . נמיר זאת לכתיב דיפרנציאלי ונקבל $x^2y^2\mathrm dy+(1-y)\mathrm dx=0$ . הפתרונות הם $y=1$ או $x=0$ או $\frac{\mathrm dx}{x^2}+\frac{y^2}{1-y}\mathrm dy=0$ . במקרה האחרון $-\frac1x=\int\frac{(y-1)(y+1)+1}{y-1}\mathrm dy=\frac{y^2}2+y+\ln|y-1|+c_1$ . לא נצליח לחלץ את $y$ , אבל נוכל לחלץ את $x$ : $x=\frac1{c-y^2/2-y-\ln|y-1|}$ (כאשר $c=-c_1$ ). $\blacksquare$

נתונה מד״ר מהצורה

y'=f(ax+by)

. נגדיר

z=ax+by

, לכן

z'=a+by'

ולפיכך

\begin{align}&z'=a+bf(z)\\\implies&\frac{z'}{bf(z)+a}=1\\\implies&\underbrace{\int\frac{\mathrm dz}{bf(z)+a}}_{g(z)}=x+c\end{align}

לכן $g(ax+by)=x+c$ ואם $g$ הפיכה אזי $y=\frac{g^{-1}(x+c)-ax}b$ .

$y'=\frac{1-x+y}{x-y}$ . אזי עבור $z=x-y$ נקבל

הצבת $z\equiv\frac12$ נותנת $y'=\frac{1-\frac12}{1/2}=1$ ולכן $y=x+\frac12$ פתרון. $\blacksquare$

הגדרה: פונקציה $f(x,y)$ נקראת הומוגנית מסדר $k$ אם לכל $\lambda>0$ מתקיים $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^k f(x,y)$ . למשל:

$f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}$ הומוגנית מסדר 0 כי $f(\lambda x,\lambda y)=\frac{\lambda x-\lambda y}{\lambda x+\lambda y}=\frac{x-y}{x+y}=\lambda^0f(x,y)$ .
$f(x,y)=x^2+3y^2+8xy$ הומוגנית מסדר 2 כי $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^2x^2+3\lambda^2y^2+8\lambda^2xy=\lambda^2f(x,y)$ .

פונקציה $f(x,y)$ ניתנת לכתיבה בצורה $f(x,y)=\varphi\left(\frac yx\right)$ לכל $x\ne0$ אם״ם היא הומוגנית מסדר 0.

$z'=1-y'=\frac{2z-1}z$

נניח $z\not\equiv\frac12$ :

$\frac{zz'}{2z-1}=1$

$\implies$

$\int\frac z{2z-1}\mathrm dz=\int\mathrm dx$

$\implies$

$\int\left(\frac12+\frac12\frac1{2z-1}\right)\mathrm dz=x+c$

$\implies$

$\frac z2+\frac14\ln\left\vert z-\frac12\right\vert=x+c$

$\implies$

$\frac{x-y}2+\frac14\ln\left\vert x-y-\frac12\right\vert=x+c$

$\implies$

$\Longleftarrow$ : $f(\lambda x,\lambda y)=\varphi\left(\frac{\lambda y}{\lambda x}\right)=\varphi\left(\frac yx\right)=f(x,y)$ .

$\implies$ : נתון $f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)$ . אם $x>0$ נבחר $\lambda=\frac1x$ ולכן $f(x,y)=f(\lambda x,\lambda y)=f\left(1,\frac yx\right)=\varphi_1\left(\frac yx\right)$ . במקרה $x<0$ נציב $\lambda=-\frac1x$ , ואז $f(x,y)=f\left(-1,-\frac yx\right)=\varphi_2\left(\frac yx\right)$ . $\blacksquare$