הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־19:43, 6 באוגוסט 2012

מד״ר מסדר 1

מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה $M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dx=0$ . אם $\exists y_0:\ N_1(y_0)=0$ אזי $y\equiv0$ פתרון, ואם $\exists x_0:\ M_2(x_0)=0$ אזי $x\equiv0$ פתרון. אחרת $\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0$ .
נתונה מד״ר . אז נציב ו־.
- הכללה: נתונה מד״ר $y'=f\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)$ . אם $\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0$ נציב $\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}$ כאשר $\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}$ . אחרת נבחר $\lambda=\frac Aa=\frac Bb$ ונציב $z=ax+by$ .
מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר $y'=f\left(\frac yx\right)$ . אזי נציב $z=\frac yx$ ו־ $y'=z'x+z$ .
מד״ר לינארית: נתונה מד״ר $y'+p(x)y=q(x)$ . אם היא לינארית־הומוגנית אזי $y=c\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}$ , ובכל מקרה $y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx$ .
משוואת ברנולי: נתונה מד״ר $y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1$ . נציב $z=y^{1-n}$ , כאשר אם $n>1$ אז $y\equiv0$ פתרון רגולרי, אם $0<n<1$ אז פתרון סינגולרי, ואם $n<0$ אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: $y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}$ .
מד״ר מהצורה היא מדויקת אם״ם יש כך ש־ שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם .
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־ $\mu$ כך שתהפוך למדויקת. $\mu$ תלויה רק ב־ $x$ אם״ם $a=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}Q$ תלויה רק ב־ $x$ , ואז $\mu(x)=\mathrm e^{-\int a\mathrm dx}$ . היא תלויה רק ב־ $y$ אם״ם $b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P$ תלויה רק ב־ $y$ , ואז $\mu(y)=\mathrm e^{-\int b\mathrm dy}$ .
משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה $y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0$ . הפתרון הכללי הוא מהצורה $y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}$ .
נתונה מד״ר $\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0$ ממעלה $n$ . אזי קיימות פונקציות $f_k$ שעבורן $\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0$ .
אם $F(y,y')=0$ נציב $z=y'$ ואז $x=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz+a$ עבור $a$ יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם $y=\varphi(t)$ ו־ $z=\psi(t)$ אזי $x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt$ .
אם $F(x,y')=0$ נציב $z=y'$ ואז $y=zx-\int x\mathrm dz+a$ עבור $a$ יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם $x=\varphi(t)$ ו־ $z=\psi(t)$ אזי $y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt$ .

מד״ר מסדר 2

בהנתן מד״ר $y''=f(x,y')$ או $y''=f(y,y')$ נציב $z=y'$ ונקבל $z'=f(x,z)$ או $zz_y'=f(y,z)$ , בהתאמה. מתקיים $x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz$ ו־ $y=\int z\mathrm dx$ .

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מדר_קיץ_תשעב/סיכומים/תקציר&oldid=25297