הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"

גרסה מ־20:40, 12 באוגוסט 2012

תוכן עניינים

1 סימונים
2 משפטים חשובים
3 שיטות לפתרון מד״ר

סימונים

$P_n(x),Q_n(x)$ פולינומים ממעלה $n$ או פחות.

משפטים חשובים

משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית: תהי $\vec f(x,\vec y)$ פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־ $\vec y$ בתיבה $B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]$ , ונתונים תנאי ההתחלה $\vec y(x_0)=\vec y_0$ . אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע $|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)$ .
כל מד״ר מסדר $n$ שקולה למערכת של $n$ מד״ר מסדר 1: $F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}')=0\end{cases}$ . כמו כן, הערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.

שיטות לפתרון מד״ר

מד״ר מסדר 1

מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה $M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dx=0$ . אם $\exists y_0:\ N_1(y_0)=0$ אזי $y\equiv0$ פתרון, ואם $\exists x_0:\ M_2(x_0)=0$ אזי $x\equiv0$ פתרון. אחרת $\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0$ .
נתונה מד״ר . אז נציב ו־.
- הכללה: נתונה מד״ר $y'=f\left(\frac{Ax+By+C}{ax+by+c}\right)$ . אם $\begin{vmatrix}A&B\\a&b\end{vmatrix}\ne0$ נציב $\begin{cases}x=p+\alpha\\y=q+\beta\end{cases}$ כאשר $\begin{pmatrix}A&B\\a&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}C\\c\end{pmatrix}$ . אחרת נבחר $\lambda=\frac Aa=\frac Bb$ ונציב $z=ax+by$ .
מד״ר הומוגנית: נתונה מד״ר $y'=f\left(\frac yx\right)$ . אזי נציב $z=\frac yx$ ו־ $y'=z'x+z$ .
מד״ר לינארית: נתונה מד״ר $y'+p(x)y=q(x)$ . אם היא לינארית־הומוגנית אזי $y=c\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}$ , ובכל מקרה $y=\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int q(x)\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx$ .
משוואת ברנולי: נתונה מד״ר $y'+p(x)y=q(x)y^n,\quad n\ne0,1$ . נציב $z=y^{1-n}$ , כאשר אם $n>1$ אז $y\equiv0$ פתרון רגולרי (כאשר הקבוע החופשי שואף ל־ $\pm\infty$ ), אם $0<n<1$ אז פתרון סינגולרי, ואם $n<0$ אז לא פתרון. הפתרונות הרגולריים: $y=\sqrt[1-n]{\mathrm e^{-(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\int(1-n)q(x)\mathrm e^{(1-n)\sim\!\!\!\!\int p(x)\mathrm dx}\mathrm dx}$ .
מד״ר מהצורה היא מדויקת אם״ם יש כך ש־ שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם .
- אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־ $\mu$ כך שתהפוך למדויקת. $\mu$ תלויה רק ב־ $x$ אם״ם $a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q$ תלויה רק ב־ $x$ , ואז $\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}$ . היא תלויה רק ב־ $y$ אם״ם $b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P$ תלויה רק ב־ $y$ , ואז $\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}$ .
משוואת ריקרטי: מד״ר מהצורה $y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0$ . הפתרון הכללי הוא מהצורה $y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}$ . אם $y(x)=y_p(x)$ פתרון אזי $y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}$ הפתרון הכללי.
נתונה מד״ר $\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0$ ממעלה $n$ . אזי קיימות פונקציות $f_k$ שעבורן $\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0$ .
אם $F(y,y')=0$ נציב $z=y'$ ואז $x=\frac yz+\sim\!\!\!\!\!\!\!\int\frac y{z^2}\mathrm dz+a$ עבור $a$ יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם $y=\varphi(t)$ ו־ $z=\psi(t)$ אזי $x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt$ .
אם $F(x,y')=0$ נציב $z=y'$ ואז $y=zx-\sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dz+a$ עבור $a$ יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם $x=\varphi(t)$ ו־ $z=\psi(t)$ אזי $y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt$ .
שיטת פיקארד: נתונה בעיית ההתחלה $\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}$ . נבחר פונקציה $\varphi_0$ שעבורה $\varphi_0(x)\equiv y_0$ , וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת $\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt$ . במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) $\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n$ היא פתרון של הבעיה.
משוואת קלרו: נתונה המד״ר $y=xy'+\psi(y')$ . אזי $y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R$ או (כאשר $p:=y'$ ) $\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}$ .
משוואת לגראנז׳: נתונה המד״ר $y=x\varphi(y')+\psi(y')$ עבור $\varphi(y')\not\equiv y'$ . נציב $p:=y'$ ואז $p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}$ . לפיכך $x$ מקיים $x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp$ או $\varphi(p)\equiv p$ (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־ $y$ מקיים $y=x\varphi(p)+\psi(p)$ .

מד״ר מסדר 2

בהנתן מד״ר $y''=f(x,y')$ או $y''=f(y,y')$ נציב $z=y'$ ונקבל $z'=f(x,z)$ או $zz_y'=f(y,z)$ , בהתאמה. מתקיים $x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz$ ו־ $y=\int z\mathrm dx$ .

מד״ר מכל סדר

מד"ר לינארית

מרחב הפתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית מסדר הוא מרחב וקטורי.
- אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות $n$ מימדי.
ורונסקיאן: עבור קבוצת פונקציות מגדירים .
- אם $y_1,\dots,y_n$ ת״ל אזי $W(x)\equiv0$ .
- אם $y_1,\dots,y_n$ פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום $D$ וכן $\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0$ אזי הם ת״ל.
משפט ליוביל: אם $y_1,\dots,y_n$ פתרונות בת״ל של $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=0$ אזי $\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}$ .
הפתרון הכללי של מד״ר לינארית $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=f(x)$ הוא מהצורה $y=y_h+y_p$ , כאשר $y_h$ פתרון כרצוננו של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־ $y_p$ פתרון פרטי של המד״ר.
וריאציית הפרמטרים: נתונה המד״ר $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=f(x)$ ונתונים $y_1,\dots,y_n$ פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא $\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx$ כאשר $\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}$ . באופן שקול: $c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}$ , כאשר $W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}$ .
תהי $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=0$ מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב $y=\mathrm e^{rx}$ , ואז $y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}$ וכן $\sum_{k=0}^n a_k r^k=0$ . אם השורשים השונים זה מזה הם $r_1,\dots,r_m$ והריבויים שלהם $d_1,\dots,d_m$ בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא $y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}P_{d_k}(x)$ (כאשר המקדמים בפולינמים $P_{d_k}$ הם מספרים כרצוננו). אם $r_k$ אינו ממשי ניתן לכתוב $r_k=\alpha+\mathrm i\beta$ ואז, כיוון שגם $\overline{r_k}$ שורש, נעזר ב־ $C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\sin(\beta x)+c_2\cos(\beta x)\Big)$ .
תהי $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=P_m(x)\mathrm e^{\lambda x}$ מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. $\lambda$ קבוע כלשהו (יכולה להיות גם 0), והריבוי של $\lambda$ ב־ $P_m(x)$ הוא $d$ (במידה ו־ $\lambda$ לא שורש נאמר $d=0$ ). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה $x^dQ_m(x)\mathrm e^{\lambda x}$ כאשר $\deg P_m=\deg Q_m$ .
הערה: אם $y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=f(x)+g(x)$ נוכל לפתור עבור $f(x),g(x)$ בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== מד״ר מסדר 1 ==
+== סימונים ==
+* <math>P_n(x),Q_n(x)</math> פולינומים ממעלה <math>n</math> או פחות.
+== משפטים חשובים ==
+* '''משפט הקיום והיחידות למד״ר מסדר 1 בצורה נורמלית:''' תהי <math>\vec f(x,\vec y)</math> פוקנציה וקטורית המקיימת את תנאי ליפשיץ ב־<math>\vec y</math> בתיבה <math>B=[x_0-a,x_0+a]\times\prod_{k=1}^n[y_{0,k}-b_k,y_{0,k}+b_k]</math>, ונתונים תנאי ההתחלה <math>\vec y(x_0)=\vec y_0</math>. אזי למערכת יש פתרון אחד בדיוק בקטע <math>|x-x_0|<\min\left(\{a\}\cup\left\{\frac{b_k}{\displaystyle\max_{(x,\vec y)\in B}|f_k(x,\vec y)|}:k\in\{1,\dots,n\}\right\}\right)</math>.
+* כל מד״ר מסדר <math>n</math> שקולה למערכת של <math>n</math> מד״ר מסדר 1: <math>F\left(x,y,y',\dots,y^{(n)}\right)=0\iff\begin{cases}y_1=y'\\y_2=y_1'\\\vdots\\y_{n-1}=y_{n-2}'\\F(x,y,y_1,y_2,\dots,y_{n-1},y_{n-1}')=0\end{cases}</math>. כמו כן, הערכת נורמלית/לינארית/לינארית־הומוגנית בהתאם למד״ר המקורית.
+== שיטות לפתרון מד״ר ==
+=== מד״ר מסדר 1 ===
 * מד״ר בצורה דיפרנציאלית עם משתנים מופרדים היא מהצורה <math>M_1(x)N_1(y)\mathrm dx+M_2(x)N_2(y)\mathrm dx=0</math>. אם <math>\exists y_0:\ N_1(y_0)=0</math> אזי <math>y\equiv0</math> פתרון, ואם <math>\exists x_0:\ M_2(x_0)=0</math> אזי <math>x\equiv0</math> פתרון. אחרת <math>\int\frac{M_1(x)}{M_2(x)}\mathrm dx+\int\frac{N_2(y)}{N_1(y)}\mathrm dy=0</math>.
 * נתונה מד״ר <math>y'=f(ax+by)</math>. אז נציב <math>z=ax+by</math> ו־<math>y'=\frac{z'-a}b</math>.
@@ שורה 8: / שורה 16: @@
 * מד״ר מהצורה <math>P(x,y)\mathrm dx+Q(x,y)\mathrm dy=0</math> היא מדויקת אם״ם יש <math>U</math> כך ש־<math>\mathrm dU</math> שווה לאגף ימין, מה שמתרחש אם״ם <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>.
 ** אם המד״ר אינה מדויקת ניתן לנסות להכפיל אותה ב־<math>\mu</math> כך שתהפוך למדויקת. <math>\mu</math> תלויה רק ב־<math>x</math> אם״ם <math>a=\frac{\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}}Q</math> תלויה רק ב־<math>x</math>, ואז <math>\mu(x)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int a\mathrm dx}</math>. היא תלויה רק ב־<math>y</math> אם״ם <math>b=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}P</math> תלויה רק ב־<math>y</math>, ואז <math>\mu(y)=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int b\mathrm dy}</math>.
-* '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)=y_1(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_1(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_1(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_1(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי.
+* '''משוואת ריקרטי:''' מד״ר מהצורה <math>y'+f(x)y^2+g(x)y+h(x)=0</math>. הפתרון הכללי הוא מהצורה <math>y=\frac{ca(x)+b(x)}{cA(x)+B(x)}</math>. אם <math>y(x)=y_p(x)</math> פתרון אזי <math>y(x)=y_p(x)+\left(\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\int\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int(2f(x)y_p(x)+g(x))\mathrm dx}\mathrm dx\right)^{-1}</math> הפתרון הכללי.
 * נתונה מד״ר <math>\sum_{k=0}^{n-1}p_k(x,y)(y')^k+(y')^n=0</math> ממעלה <math>n</math>. אזי קיימות פונקציות <math>f_k</math> שעבורן <math>\prod_{k=1}^n\Big(y'-f_k(x,y)\Big)=0</math>.
 * אם <math>F(y,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>x=\frac yz+\sim\!\!\!\!\!\!\!\int\frac y{z^2}\mathrm dz+a</math> עבור <math>a</math> יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם <math>y=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>x=\int\frac{\varphi_t'(t)}{\psi(t)}\mathrm dt</math>.
 * אם <math>F(x,y')=0</math> נציב <math>z=y'</math> ואז <math>y=zx-\sim\!\!\!\!\!\!\!\int x\mathrm dz+a</math> עבור <math>a</math> יחיד שמקיים את המד״ר. בנוסף, אם <math>x=\varphi(t)</math> ו־<math>z=\psi(t)</math> אזי <math>y=\int\varphi_t'(t)\psi(t)\mathrm dt</math>.
+* '''שיטת פיקארד:''' נתונה בעיית ההתחלה <math>\begin{cases}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{cases}</math>. נבחר פונקציה <math>\varphi_0</math> שעבורה <math>\varphi_0(x)\equiv y_0</math>, וניצור ממנה את סדרת הפונקציות המקיימת <math>\varphi_n(x)=y_0+\int\limits_{x_0}^x f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt</math>. במידה והסדרה הנ״ל מוגדרת היטב (כלומר, כל האינטגרלים קיימים) <math>\varphi=\lim_{n\to\infty}\varphi_n</math> היא פתרון של הבעיה.
+* '''משוואת קלרו:''' נתונה המד״ר <math>y=xy'+\psi(y')</math>. אזי <math>y=cx+\psi(c),\quad c\in\mathbb R</math> או (כאשר <math>p:=y'</math>) <math>\begin{cases}x=-\psi_p'(p)\\y=-p\psi_p'(p)+\psi(p)\end{cases}</math>.
+* '''משוואת לגראנז׳:''' נתונה המד״ר <math>y=x\varphi(y')+\psi(y')</math> עבור <math>\varphi(y')\not\equiv y'</math>. נציב <math>p:=y'</math> ואז <math>p=\varphi(p)+\Big(x\varphi_p'(p)+\psi_p'(p)\Big)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dx}</math>. לפיכך <math>x</math> מקיים <math>x=\mathrm e^{\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\int\frac{\psi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\frac{\varphi_p'(p)}{p-\varphi(p)}\mathrm dp}\mathrm dp</math> או <math>\varphi(p)\equiv p</math> (מקרה זה יש לבדוק בנפרד), ו־<math>y</math> מקיים <math>y=x\varphi(p)+\psi(p)</math>.
-== מד״ר מסדר 2 ==
+=== מד״ר מסדר 2 ===
 * בהנתן מד״ר <math>y''=f(x,y')</math> או <math>y''=f(y,y')</math> נציב <math>z=y'</math> ונקבל <math>z'=f(x,z)</math> או <math>zz_y'=f(y,z)</math>, בהתאמה. מתקיים <math>x=\int\frac{\mathrm dy}z=\frac yz+\int\frac y{z^2}\mathrm dz</math> ו־<math>y=\int z\mathrm dx</math>.
+=== מד״ר מכל סדר ===
+==== מד"ר לינארית ====
+* מרחב הפתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית מסדר <math>n</math> הוא מרחב וקטורי.
+** אם בנוסף המד״ר מקיימת את משפט הקיום והיחידות אזי מרחב הפתרונות <math>n</math> מימדי.
+* '''ורונסקיאן:''' עבור קבוצת פונקציות <math>y_1,\dots,y_n</math> מגדירים <math>W(y_1,\dots,y_n)(x)=W(x):=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.
+** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> ת״ל אזי <math>W(x)\equiv0</math>.
+** אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות של מד״ר לינארית־הומוגנית המקיימת את תנאי משפט הקיום והיחידות בתחום <math>D</math> וכן <math>\exists x_0\in D:\ W(x_0)=0</math> אזי הם ת״ל.
+* '''משפט ליוביל:''' אם <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=0</math> אזי <math>\forall x:\ W(x)=W(x_0)\mathrm e^{-\sim\!\!\!\!\int\limits_{x_0}^x a_{n-1}(t)\mathrm dt}</math>.
+* הפתרון הכללי של מד״ר לינארית <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> הוא מהצורה <math>y=y_h+y_p</math>, כאשר <math>y_h</math> פתרון כרצוננו של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה ו־<math>y_p</math> פתרון פרטי של המד״ר.
+* '''וריאציית הפרמטרים:''' נתונה המד״ר <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k(x)y^{(k)}=f(x)</math> ונתונים <math>y_1,\dots,y_n</math> פתרונות בת״ל של המד״ר הלינארית־הומוגנית המתאימה. אזי הפתרון הכללי של המד״ר הוא <math>\sum_{k=1}^n y_k(x)\int c_k'(x)\mathrm dx</math> כאשר <math>\begin{pmatrix}y_1(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_1'\\c_2'\\\vdots\\c_n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\f(x)\end{pmatrix}</math>. באופן שקול: <math>c_k'(x)=\frac{W_k(x)}{W(x)}</math>, כאשר <math>W_k(x)=\begin{vmatrix}y_1(x)&\cdots&y_{k-1}(x)&0&y_{k+1}(x)&\cdots&y_n(x)\\y_1'(x)&\cdots&y_{k-1}'(x)&0&y_{k+1}'(x)&\cdots&y_n'(x)\\\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\y_1^{(n-1)}(x)&\cdots&y_{k-1}^{(n-1)}(x)&f(x)&y_{k+1}^{(n-1)}(x)&\cdots&y_n^{(n-1)}(x)\end{vmatrix}</math>.
+* תהי <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=0</math> מד״ר לינארית־הומוגנית עם מקדמים קבועים. אזי נציב <math>y=\mathrm e^{rx}</math>, ואז <math>y^{(k)}=r^k\mathrm e^{rx}</math> וכן <math>\sum_{k=0}^n a_k r^k=0</math>. אם השורשים השונים זה מזה הם <math>r_1,\dots,r_m</math> והריבויים שלהם <math>d_1,\dots,d_m</math> בהתאמה אזי הפתרון הכללי הוא <math>y=\sum_{k=1}^m\mathrm e^{r_kx}P_{d_k}(x)</math> (כאשר המקדמים בפולינמים <math>P_{d_k}</math> הם מספרים כרצוננו). אם <math>r_k</math> אינו ממשי ניתן לכתוב <math>r_k=\alpha+\mathrm i\beta</math> ואז, כיוון שגם <math>\overline{r_k}</math> שורש, נעזר ב־<math>C_1\mathrm e^{r_kx}+C_2\mathrm e^{\overline{r_k}x}=\mathrm e^{\alpha x}\Big(c_1\sin(\beta x)+c_2\cos(\beta x)\Big)</math>.
+* תהי <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=P_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math> מד״ר לינארית עם מקדמים קבועים. <math>\lambda</math> קבוע כלשהו (יכולה להיות גם 0), והריבוי של <math>\lambda</math> ב־<math>P_m(x)</math> הוא <math>d</math> (במידה ו־<math>\lambda</math> לא שורש נאמר <math>d=0</math>). אזי קיים פתרון פרטי מהצורה <math>x^dQ_m(x)\mathrm e^{\lambda x}</math> כאשר <math>\deg P_m=\deg Q_m</math>.<br>''הערה:'' אם <math>y^{(n)}+\sum_{k=0}^{n-1}a_k y^{(k)}=f(x)+g(x)</math> נוכל לפתור עבור <math>f(x),g(x)</math> בנפרד ולסכום את הפתרונות הפרטיים.

הבדלים בין גרסאות בדף "מדר קיץ תשעב/סיכומים/תקציר"

גרסה מ־20:40, 12 באוגוסט 2012

תוכן עניינים

סימונים

משפטים חשובים

שיטות לפתרון מד״ר

מד״ר מסדר 1

מד״ר מסדר 2

מד״ר מכל סדר

מד"ר לינארית

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים