שינויים
__תוכן__
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
* <math>f,g</math> פונקציות.
* <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> אורתונורמלית ו־<math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> אורתוגונלית.
* '''אי־שוויון הולדר:''' אם <math>x\in\ell_p\ \and\ y\in\ell_q</math> כאשר <math>\frac1p+\frac1q=1</math> (כלומר, <math>\ell_p,\ell_q</math> צמודים) אזי <math>\sum_{n=1}^\infty|x_n\cdot y_n|\le\|x\|_p\cdot\|y\|_q</math>.
* אם <math>\mathbf u=\sum_{k=1}^n a_k\mathbf e_k</math> אזי <math>\forall k:\ a_k=\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle</math>.
* '''פולינומי לז׳נדר:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n</math> או <math>P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}</math>, והם מקיימים <math>\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}</math>.
* '''פולינומי צבישב:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}</math> (נוסחת רודריגז) או <math>T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x)</math>, והם מקיימים <math>\|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}</math>.
== טורי פורייה ==
* '''פונקציה רציפה למקוטעין''' היא פונקציה רציפה למעט במספר סופי של נקודות אי־רציפות שאינן מסוג שני. הפונקציות הרציפות למקוטעין בקטע <math>[a,b]</math> יוצרות מרחב מכפלה פנימית <math>E[a,b]</math> עם <math>\langle f,g\rangle=q\int\limits_a^b f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math>. מכפלה פנימית שימושית נוספת היא <math>\tfrac12\langle\cdot,\cdot\rangle</math>.
:* <math>E</math> הוא סימון מקוצר ל־<math>E[-\pi,\pi]</math>.
:* אם <math>f</math> זוגית זה טור קוסינוסים, ואם היא אי־זוגית זה טור סינוסים.
:* מתקיים <math>\frac{|a_0|^2}2+\sum_{n=1}^\infty\left(|a_n|^2+|b_n|^2\right)\le\|f\|^2</math>.
* טור פורייה המרוכב של <math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> הוא <math>\sum_{n\to-\infty}^\infty c_n\mathrm e^{\mathrm iq_nx}</math> כאשר <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n:=\tfrac12\left\langle f,\mathrm e^{\mathrm iq_nx}\right\rangle=\hat f(q_n)</math>.
:* מתקיים <math>\forall n\in\mathbb Z:\ c_n=\frac{a_{|n|}-\mathrm i\cdot\sgn(n)b_{|n|}}2</math> וכן <math>a_n=c_n+c_{-n}\ \and\ b_n=\mathrm i(c_n-c_{-n})</math>.
* אם <math>f\in E[a,b]</math> ו־<math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה (מרוכב או ממשי) של <math>f</math>, אזי <math>\lim_{N\to\infty}\|f-S_N\|=0</math>.
* אם <math>f\in E[a,b]</math> אזי ניתן לבצע אינטגרציה איבר־איבר על טור פורייה. בנוסף, לכל <math>x\in[a,b]</math> ולכל <math>m\in[a,b)</math> מתקיים{{left|<math>\begin{align}\int\limits_m^x f(t)\mathrm dt&=\frac{a_0}2(x-m)+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}(\sin(q_nx)-\sin(q_nm))-\frac{b_n}{q_n}(\cos(q_nx)-\cos(q_nm))\right)\\&=c_0(x-m)+\sum_{n\ne0}\frac{c_n}{\mathrm iq_n}\left(\mathrm e^{\mathrm iq_nx}-\mathrm e^{\mathrm iq_nm}\right)\end{align}</math>}}והטורים מתכנסים במ״ש.
:* אם <math>F</math> קדומה ל־<math>f</math> ב־<math>[a,b]</math> אזי <math>F(x)=\frac{a_0}2x+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{a_n}{q_n}\sin(q_nx)-\frac{b_n}{q_n}\cos(q_nx)\right)+\frac q2\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.
== התמרות פורייה ==* <math>G(\mathbb R)</math> הוא המרחב הלינארי של כל הפונקציות המוגדרות מ־<math>\mathbb R</math> ל־<math>\mathbb C</math> שהן רציפות למקוטעין ואינטגרביליות בהחלט ב־<math>\mathbb R</math>.* '''התמרת פורייה:''' <math>\hat f=\mathcal F(f):\mathbb R\to\mathbb C</math> נקראת "התמרת פורייה של <math>f</math>" ומוגדרת ע״י <math>\hat f(\omega):=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math>.* אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי <math>\hat f</math> מוגדרת ורציפה בכל נקודה <math>\omega\in\mathbb R</math>. בנוסף, <math>\lim_{\omega\to\pm\infty}\hat f(\omega)=0</math>.* לכל <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ולכל <math>a,b\in\mathbb C</math> מתקיים::* <math>\mathcal F(af+bg)=a\mathcal F(f)+b\mathcal F(g)</math>:* אם <math>f</math> ממשית אזי <math>\hat f(-\omega)=\overline{\hat f(\omega)}</math>.::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית וזוגית אזי <math>\hat f(\omega)=\hat f(-\omega)</math> והיא פונקציה ממשית.::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f</math> ממשית ואי־זוגית אזי <math>\hat f(-\omega)=-\hat f(\omega)</math> והיא פונקציה מדומה.:* אם <math>f</math> מדומה אזי <math>\hat f(-\omega)=-\overline{\hat f(\omega)}</math>.:* אם <math>a\ne0</math> אזי <math>\mathcal F(f(ax+b))(\omega)=\frac1{|a|}\exp\!\left(\frac{\mathrm ib\omega}2\right)\mathcal F(f)\left(\frac\omega a\right)</math>.:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F\!\left(\mathrm e^{\mathrm iax}f(x)\right)(\omega)=\mathcal F(f)(\omega-a)</math>.:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F(\cos(ax)f(x))(\omega)=\frac{\mathcal F(f)(\omega-a)-\mathcal F(f)(\omega+a)}2</math>.:* אם <math>a\in\mathbb R</math> אזי <math>\mathcal F(\sin(ax)f(x))(\omega)=\frac{\mathcal F(f)(\omega-a)-\mathcal F(f)(\omega+a)}{2\mathrm i}</math>.:* אם <math>f,f',\dots,f^{(n)}\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}=0</math> אזי <math>\mathcal F\!\left(f^{(n)}\right)(\omega)=(\mathrm i\omega)^n\mathcal F(f)(\omega)</math>.::* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f,f'\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\lim_{x\to\pm\infty}=0</math> אזי <math>\mathcal F(f')(\omega)=\mathrm i\omega\mathcal F(f)(\omega)</math>.:* אם <math>\int\limits_{-\infty}^\infty x|f(x)|\mathrm dx</math> מתכנס אזי <math>\hat f</math> גזירה ברציפות ומתקיים <math>\mathcal F\!\left(x^n f(x)\right)(\omega)=\mathrm i^n\frac{\mathrm d^n}{\mathrm d\omega^n}\mathcal F(f)(\omega)</math>.* '''התמרת פורייה ההפוכה:''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> אזי בכל נקודה <math>x_0</math> שבה קיימות הנגזרות החד־צדדיות מתקיים <math>\frac{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)}2=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^R\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>.:* {{הערה|מקרה פרטי:}} אם <math>f'\in E(\mathbb R)</math> אזי <math>f(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega</math>.* '''עקרון הדואליות של ההתמרה וההתמרה ההפוכה:''' תהי <math>f</math> המקיימת <math>f'\in E(\mathbb R)</math>, ונרצה למצוא את התמרת פורייה של ההתמרה <math>\hat f</math> שלה. נוכל להציב <math>x:=-\omega,\ \omega:=x</math> ב־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\mathrm e^{\mathrm i\omega x}\mathrm d\omega=f(x)</math>, לחלק את שני האגפים ב־<math>2\pi</math> ולקבל <math>\hat\hat f(\omega)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(x)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=\frac{f(-\omega)}{2\pi}</math>.* אם <math>f,g\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\hat f(\omega)\overline{\hat g(\omega)}\mathrm d\omega</math>.:* {{הערה|מקרה פרטי:}} '''נוסחת פלנרשל (Plancherel):''' אם <math>f\in G(\mathbb R)</math> ו־<math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx</math> ו־<math>\int\limits_{\infty}^\infty \left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math> מתכנסים אזי <math>\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\mathrm dx=2\pi\int\limits_{-\infty}^\infty\left|\hat f(\omega)\right|^2\mathrm d\omega</math>.* '''קונבולוציה:''' יהיו <math>f,g:\mathbb R\to\mathbb R</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ (f*g)(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\mathrm dt</math>.* <math>f*g=g*f</math>* <math>(f*g)*h=f*(g*h)</math>* <math>f*(g+h)=f*g+f*h</math>* אם <math>f,g</math> אינטגרביליות בהחלט אז <math>f*g</math> מוגדרת עבורן בכל <math>\mathbb R</math> וגם היא אינטגרבילית בהחלט.* '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\forall f,g\in G(\mathbb R):\ \mathcal F(f*g)=2\pi\mathcal F(f)\mathcal F(g)</math>.:* {{הערה|שימוש חשוב:}} נניח שידועות <math>f,g,\hat f,\hat g</math> ונרצה למצוא <math>h</math> כך ש־<math>\hat h=\hat f\cdot\hat g</math>. אזי <math>h=\frac1{2\pi}f*g</math>.* === התמרות פורייה שימושיות ===* <math>\mathcal F\left(\mathrm e^{-|x|}\right)(\omega)=\frac1{\pi(1+\omega^2)}</math>* <math>\mathcal F\left(\mathrm e^{-x^2}\right)(\omega)=\frac1{2\sqrt\pi}\mathrm e^{-\omega^2/4}</math> (הוכחה ע״י חישוב הנגזרת של ההתמרה ופתרון המד״ר המתקבלת: <math>\hat f'(\omega)=-\frac\omega2\hat f(\omega)</math>).* עבור <math>a>0</math>: <math>\mathcal F(1_{[-a,a]})=\frac{\sin(a\omega)}{\pi\omega}</math> (כאשר <math>1_A</math> היא הפונקציה המציינת של קבוצה <math>A</math> ומוגדרת ע״י <math>1_A(x)=\begin{cases}1,&x\in A\\0,&\text{else}\end{cases}</math>). == מד״ח ==* '''מעבר חום:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>\forall -L\le x\le L:\ u(x,0)=f(x)</math> ותנאי השפה <math>\forall t\ge0:\ u(-L,t)=u(L,t)\ \and\ \frac{\partial u}{\partial x}(-L,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(L,t)</math>. :* ''שיטת הפרדת משתנים'': נניח שניתן להציג את הפתרון <math>u(x,t)</math> כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (זו ''שיטת הפרדת משתנים''). אזי <math>\frac{T'}{k T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> כאשר <math>\lambda</math> מספר חיובי (אם אי־חיובי תנאי השפה לא יתקיימו). מקבלים שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T'+\lambda T=0\end{cases}</math>. לגבי המד״ר הראשונה, תנאי השפה דורשים ש־<math>\lambda=\frac{\pi^2n^2}{L^2}</math> עבור <math>n\in\mathbb N\cup\{0\}</math> ולכן, עבור <math>n</math> נתון, <math>X_n(x)=a_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> פתרון עבור <math>a_n,b_n</math> כרצוננו. לגבי המד״ר השנייה, <math>T_n(t)=\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)</math> הוא פתרון עבור <math>n</math> נתון. הפתרון הכללי של <math>u</math> הוא צירוף לינארי של פתרונות הבסיס: <math>u(x,t)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\exp\!\left(-k\frac{\pi^2n^2}{L^2}t\right)\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi n}L x\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\right)</math>, כאשר מתנאי ההתחלה נובע ש־<math>a_n,b_n</math> מקדמי טור פורייה של <math>f</math> ב־<math>[-L,L]</math>.:* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right)(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)</math>. פתרונה של המד״ר הזו הוא <math>\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}</math>, והצבה של <math>t=0</math> תתן <math>A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)</math>. עתה נחפש פונקציה <math>g</math> כך שהתמרת פורייה שלה לפי <math>x</math> תהא <math>\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}</math>. לפי ההתמרה של <math>\mathrm e^{-x^2}</math> וכמה מתכונות ההתמרה נקבל <math>g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)</math> ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, <math>u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds</math>.
* '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>.
