שינויים
להבא, אלא אם צוין אחרת, נסמן:
* <math>f,g,h</math> פונקציות.
* בהנתן <math>a,b</math> נסמן <math>q=\frac2{b-a}</math> ו־<math>q_n=\pi nq</math>.
* <math>a_n,b_n</math> הם מקדמי פורייה של <math>\cos(q_nx),\sin(q_nx)</math> (בהתאמה) בטור פורייה של <math>f</math>, ו־<math>c_n</math> מקדמי פורייה של <math>\mathrm e^{\mathrm iq_nx}</math> בטור פורייה המרוכב.
* אם <math>S=\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> בסיס אורתוגונלי אזי הקירוב הטוב ביותר ל־<math>\mathbf u</math> ב־<math>\mbox{span}(S)</math> הוא <math>\tilde\mathbf u=\sum_{k=1}^n\mbox{proj}_{\mathbf b_k}(\mathbf u)</math>, כלומר <math>\min_{\mathbf v\in W}\|\mathbf u-\mathbf v\|=\|\mathbf u-\tilde\mathbf u\|</math>.
* '''אי־שוויון בסל:''' <math>\|\mathbf u\|^2\ge\sum_{k=1}^n|\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle|^2</math>.
* '''תהליך גרם־שמידטגרם–שמידט:''' בהנתן בסיס <math>\{\mathbf u_1,\dots,\mathbf u_n\}</math> נוכל להגדיר בסיס אורתוגונלי <math>\{\mathbf b_1,\dots,\mathbf b_n\}</math> ובסיס אורתונורמלי <math>\{\mathbf e_1,\dots,\mathbf e_n\}</math> באופן הבא: {{left|<math>\begin{array}{ll}\mathbf b_1:=\mathbf u_1,&\displaystyle\mathbf e_1:=\frac{\mathbf b_1}{\|\mathbf b_1\|}\\\mathbf b_2:=\mathbf u_2-\mbox{proj}_{\mathbf b_1}(\mathbf u_2),&\mathbf e_2:=\displaystyle\frac{\mathbf b_2}{\|\mathbf b_2\|}\\\vdots&\vdots\\\displaystyle\mathbf b_k:=\mathbf u_k-\sum_{i=1}^{k-1}\mbox{proj}_{\mathbf b_i}(\mathbf u_k),&\displaystyle\mathbf e_k:=\frac{\mathbf b_k}{\|\mathbf b_k\|}\\\vdots&\vdots\end{array}</math>}}
* מרחב הפולינומים ממעלה <math>n</math> או פחות מסומן <math>P_n[x]</math>.
* '''פולינומי לז׳נדר:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1 f(x)g(x)\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט גרם–שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}P_0(x)=1\\P_1(x)=x\\\displaystyle P_2(x)=\frac{3x^2-1}2\\\displaystyle P_3(x)=\frac{5x^3-3x}2\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>P_n(x)=\frac1{2^n\cdot n!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(x^2-1\right)^n</math> או <math>P_{n+1}(x)=\frac{(2n+1)x\cdot P_n(x)-n\cdot P_{n-1}(x)}{n+1}</math>, והם מקיימים <math>\|P_n\|^2=\frac2{2n+1}</math>.* '''פולינומי צבישב:''' בהנתן המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\int\limits_{-1}^1\frac{f(x)g(x)}\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math> על מרחב הפולינומים <math>P_n[x]</math>, הפולינומים האורתוגונליים הנוצרים בתהליך גרם־שמידט גרם–שמידט מהבסיס <math>\{1,x,x^2,\dots,x^n\}</math> הם {{left|<math>\begin{array}{l}T_0(x)=1\\T_1(x)=x\\T_2(x)=2x^2-1\\T_3(x)=4x^3-3x\\\vdots\end{array}</math>}}ניתן לחשב אותם גם ע״י <math>T_n(x)=\frac{\sqrt{1-x^2}}{(-1)^n(2n-1)!!}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}\left(1-x^2\right)^{n-\frac12}</math> (נוסחת רודריגז) או <math>T_{n+1}(x)=2x\cdot T_n(x)-T_{n-1}(x)</math>, והם מקיימים <math>\|T_n\|^2=\begin{cases}\pi,&n=0\\\frac\pi2,&\text{else}\end{cases}</math>.
== טורי פורייה ==
:* אם <math>x_0</math> נקודת אי־רציפות אזי הטור מתכנס ל־<math>\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)+\lim_{x\to x_0^-}f(x)\over2</math>.
::* '''תופעת גיבס:''' נניח שבנוסף <math>f'\in E[a,b]</math> ו־<math>x_0</math> נקודת אי־רציפות מסוג ראשון של <math>f</math> כך ש־<math>a<x_0<b</math>. כמו כן, <math>S_N</math> הסכום החלקי ה־<math>N</math>־י של טור פורייה של <math>f</math>. אזי קיימת סדרת נקודות <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> המקיימת <math>x_n\to x_0\ \and\ \forall n:\ x_n>x_0</math> וכן <math>\lim_{N\to\infty}\frac{S_N(x_N)-f(x_N)}{\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)-\lim_{x\to x_0^-}f(x)}\approx0.0895\dots</math>, וזו השגיאה המקסימלית.
* '''למת רימן־לבגרימן–לבג:''' אם <math>f</math> אינטגרבילית בהחלט אזי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0</math> כאשר <math>n\in\mathbb R</math> (זה גבול של פונקציה, ולא רק של סדרה).
* '''גרעין דיריכלה:''' <math>\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kx)=\frac{\sin\!\left(\left(n+\frac12\right)x\right)}{2\sin\!\left(\frac x2\right)}</math>. בנוסף, האינטגרל של הביטוי ב־<math>(-\pi,\pi)</math> שווה ל־<math>\pi</math>.
* אם <math>f\in E'[a,b]</math> רציפה ב־<math>[a,b]</math> ו־<math>f(a)=f(b)</math> אז טור פורייה של <math>f</math> יתכנס אליה במ״ש על הקטע.
* תהא <math>f\in\Lambda(\mathbb R)</math> ונתונה <math>F(t)=\int\limits_0^t f(x)\mathrm dx</math>. ממשפט הקונבולוציה עם <math>g(t)\equiv1</math> נקבל <math>\mathcal L[F](s)=\frac{\mathcal L[f](s)}s</math>.
* '''פונקציית הביסייד (Heaviside)''' היא <math>H_c(t)=\begin{cases}0,&0\le t\le c\\1,&t\ge c\end{cases}</math>.
* <math>\mathcal L[H_c(t)f(t-c)](s)=\mathrm e^{-cs}\mathcal L[f](s)</math>
* <math>\mathcal L[\sin(at)](s)=\frac a{s^2+a^2},\quad s>0</math>
* <math>\mathcal L[\cos(at)](s)=\frac s{s^2+a^2},\quad s>0</math>
* <math>\mathcal L[H_cH_a](s)=\frac{\mathrm e^{-csas}}s,\quad s>0</math> == דגימה והתמרת פורייה בדידה ==* <math>f\in G(\mathbb R)</math> נקראת "חסומה בתדר" אם <math>\exists L>0:\ \forall |\omega|>L:\ \hat f(\omega)=0</math>. ה־<math>L</math> המינימלי שמקיים זאת נקרא "רוחב הפס" של <math>f</math>.* נניח כי <math>f</math> חסומה בתדר ובעלת רוחב פס <math>L</math>. אזי <math>\forall x\in\mathbb R:\ \sum_{n\to-\infty}^\infty f\!\left(\frac{\pi n}L\right)\frac{\sin(Lx-\pi n)}{Lx-\pi n}</math>.* '''התמרת פורייה בדידה (DFT):''' בהינתן סדרה <math>x=\{x_0,x_1,\dots,x_{N-1}\}</math> של <math>N</math> נקודות, נגדיר את התמרת פורייה הבדידה שלה ע״י <math>\forall k:\ \mathcal F_N(x)_k=X_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m w^{mk}</math> כאשר <math>w:=\mathrm e^{-2\pi\mathrm i/N}</math>. זו התמרה של <math>N</math> נקודות ל־<math>N</math> נקודות אחרות.* '''ההתמרת פורייה הבדידה ההפוכה (IDFT)''' נותנת את ערכי הסדרה המקורית <math>x</math> לפי ערכי התמרת פורייה הבדידה <math>X</math> שלה: <math>\forall k:\ \mathcal F_N^{-1}(X)_k=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} X_m w^{-mk}</math>.* <math>\mathcal F_N(ax+by)=a\mathcal F_N(x)+b\mathcal F_N(y)</math>* <math>X_k=X_{k+N}</math>* '''קונבולוציה:''' בהנתן שתי סדרות <math>x,y</math> בעלות מחזור <math>N</math> הקונבולוציה מוגדרת ע״י <math>(x*y)_k:=\frac1\sqrt N\sum_{m=0}^{N-1} x_m y_{k-m}</math>.* '''משפט הקונבולוציה:''' <math>\mathcal F_N(x*y)=\mathcal F_N(x)\cdot\mathcal F_N(y)=X\cdot Y</math> (כאשר הכפל מתבצע איבר־איבר).* '''מטריצת DFT:''' התמרת פורייה הבדידה הינה לינארית, לכן קל להגדיר אותה באמצעות מטריצה <math>W</math> שתקיים <math>X=Wx</math>. המטריצה מוגדרת כ־<math>W=\frac1\sqrt N\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots&1\\1&w&w^2&\dots&w^{N-1}\\1&w^2&w^{2\cdot2}&\cdots&w^{2(N-1)}\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&w^{N-1}&w^{2(N-1)}&\cdots&w^{(N-1)^2}\end{pmatrix}=\left(\frac{w^{(i-1)\cdot(j-1)}}\sqrt N\right)_{1\le i,j\le N}</math>, וזו מטריצה יוניטרית (כלומר <math>W^{-1}=\overline W^\top</math>) וסימטרית.* '''FFT – Fast Fourier Transform:''' בעוד שחישוב על פי ההגדרה של התמרת פורייה בדידה הוא בעל סיבוכיות זמן ריצה <math>O(N^2)</math>, תהליכי FFT עושים זאת ב־<math>O(N\log(N))</math>. יש מספר שיטות כאלו, אנו למדנו רק את [http://en.wikipedia.org/wiki/Cooley%E2%80%93Tukey_FFT_algorithm תהליך Cooley–Tukey]. הפירוט אינו מופיע כאן, אלא בקישור הנ״ל לוויקפדיה.
== מד״ח ==
:* ''שימוש בהתמרת פורייה:'' נסמן <math>\hat u(\omega,t)=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty u(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx</math> (כלומר, זו התמרת פורייה של <math>u</math> לפי <math>x</math>). לפי המד״ח <math>\frac{\partial\hat u}{\partial t}(\omega,t)=\frac k{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\mathrm e^{-\mathrm i\omega x}\mathrm dx=k\mathcal F\!\left[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\right]\!(\omega,t)=k(\mathrm i\omega)^2\hat u(\omega,t)</math>. פתרונה של המד״ר הזו הוא <math>\hat u(\omega,t)=A(\omega)\mathrm e^{-k\omega^2t}</math>, והצבה של <math>t=0</math> תתן <math>A(\omega)=\hat u(\omega,0)=\hat f(\omega)</math>. עתה נחפש פונקציה <math>g</math> כך שהתמרת פורייה שלה לפי <math>x</math> תהא <math>\hat g(\omega,t)=\mathrm e^{-k\omega^2 t}</math>. לפי ההתמרה של <math>\mathrm e^{-x^2}</math> וכמה מתכונות ההתמרה נקבל <math>g(x,t)=\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)</math> ולכן, לפי משפט הקונבולוציה, <math>u(x,t)=\frac{g(x,t)*f(x)}{2\pi}=\frac1{2\pi}\int\limits_{-\infty}^\infty f(s)\sqrt\frac\pi{kt}\exp\!\left(-\frac{(x-s)^2}{4kt}\right)\mathrm ds</math>.
* '''משוואות גלים:''' נתונה המד״ח <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=k^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> (<math>k\ne0</math> קבוע) עם תנאי ההתחלה <math>u(x,0)=\varphi(x)</math> ו־<math>\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=\psi(x)</math> ותנאי שפה <math>u(0,t)=u(L,t)=0</math>. נניח כי הפתרון מוצג כמכפלה <math>X(x)\cdot T(t)</math> (''שיטת הפרדת משתנים'') ולכן <math>\frac{T''}{k^2 T}=\frac{X''}X=:-\lambda</math> עבור <math>\lambda</math> מספר חיובי. נקבל שתי מד״ר נפרדות: <math>\begin{cases}X''+\lambda X=0\\T''+k^2\lambda T=0\end{cases}</math>, ובאופן דומה למה שעשינו במשוואות מעבר חום נקבל <math>u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)+b_n\sin\!\left(\frac{\pi kn}L t\right)\right)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)</math> כאשר <math>a_n=\frac2L\int\limits_0^L\varphi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx\ \and\ b_n=\frac2{\pi kn}\int\limits_0^L\psi(x)\sin\!\left(\frac{\pi n}L x\right)\mathrm dx</math>.
* נתונה מד״ר לינארית־הומוגנית לינארית <math>ay''(x)+by'(x)+cy(x)=f(x)</math> עם מקדמים קבועים. נפעיל התמרת לפלס על אגפי המד״ר, נבודד את <math>\mathcal L[y]</math> (תוך שימוש בהתמרת הנגזרת ובנוסחאות אחרות) ונמצא את ההתמרה ההפוכה שלה.
