הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(שיטות לחישוב אינטגרלים)
(שיטות לחישוב אינטגרלים)
שורה 37: שורה 37:
  
  
'''דוגמאות:'''
+
'''תרגילים:'''
  
 
*<math>\int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C</math>
 
*<math>\int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C</math>
שורה 43: שורה 43:
  
 
*<math>\int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C</math>
 
*<math>\int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C</math>
 +
 +
 +
*<math>I=\int sin(x)e^xdx=sin(x)e^x - \int cos(x)e^xdx = sin(x)e^x - [cos(x)e^x+\int sin(x)e^xdx] = e^x[sin(x)+cos(x)] - I</math>
 +
 +
 +
::לכן ביחד <math>I=\frac{e^x}{2}[sin(x)+cos(x)]+C</math>
 +
 +
 +
*<math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=ln^2(x) -\int \frac{ln(x)}{x}dx </math>
 +
 +
 +
::ביחד <math>\int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C</math>

גרסה מ־08:27, 22 באוגוסט 2012

חזרה למערכי השיעור

אינטרגלים

נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.

האינטגרל המסויים \int_a^bf(x)dx מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע [a,b] כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.

האינטגרל הלא מסויים \int f(x)dx הוא פונקציה קדומה F(x), כלומר פונקציה המקיימת F'(x)=f(x).


במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) כאשר F קדומה ל f.


שיטות לחישוב אינטגרלים

אינטגרציה בחלקים

נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:

(fg)'=f'g+g'f

כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי

fg= \int (fg)'


ביחד נקבל:

fg=\int f'g +\int g'f


ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:

\int f'(x) g(x) dx = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)g'(x)dx



תרגילים:

  • \int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C


  • \int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C


  • I=\int sin(x)e^xdx=sin(x)e^x - \int cos(x)e^xdx = sin(x)e^x - [cos(x)e^x+\int sin(x)e^xdx] = e^x[sin(x)+cos(x)] - I


לכן ביחד I=\frac{e^x}{2}[sin(x)+cos(x)]+C


  • \int\frac{ln(x)}{x}dx=ln^2(x) -\int \frac{ln(x)}{x}dx


ביחד \int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C