הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10"
(←אינטגרציה בחלקים) |
(←אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)) |
||
שורה 76: | שורה 76: | ||
::<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C</math> | ::<math>\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
שורה 99: | שורה 101: | ||
::<math>\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C</math> | ::<math>\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\int\sqrt{1-x^2}dx</math> | ||
+ | |||
+ | נבצע את החלפת המשתנים | ||
+ | |||
+ | ::<math>x=sin(t)</math> | ||
+ | |||
+ | נגזור את שני הצדדים | ||
+ | |||
+ | ::<math>dx=cos(t)dt</math> | ||
+ | |||
+ | ביחד | ||
+ | |||
+ | ::<math>\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sqrt{1-sin^2(t)}cos(t)dt=\int cos^2(t)dt = \int \frac{cos(2t)+1}{2}dt=\frac{1}{4}sin(2t)+\frac{1}{2}t + C = </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math> |
גרסה מ־10:32, 22 באוגוסט 2012
תוכן עניינים
אינטרגלים
נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.
האינטגרל המסויים מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.
האינטגרל הלא מסויים הוא פונקציה קדומה , כלומר פונקציה המקיימת .
במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים כאשר F קדומה ל f.
שיטות לחישוב אינטגרלים
אינטגרציה בחלקים
נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:
כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי
ביחד נקבל:
ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:
תרגילים:
- לכן ביחד
- ביחד
אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)
לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:
ולכן מתקיים
נבצע את החלפת המשתנים:
נגזור את שני הצדדים לקבל
ולכן
(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה )
ביחד
נבצע את החלפת המשתנים
נגזור את שני הצדדים
ביחד