הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(פתרון)
 
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות)
שורה 123: שורה 123:
 
::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>
 
::<math>=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C</math>
  
 +
 +
 +
 +
 +
 +
*<math>\int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
*<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx</math>
 +
 +
נבצע החלפת משתנים
 +
 +
::<math>t=ln(x)</math>
 +
 +
נגזור את שני הצדדים לקבל
 +
 +
::<math>dt=\frac{1}{x}dx</math>
 +
 +
וביחד
 +
 +
::<math>\int\frac{1}{xln(x)}dx=\int\frac{1}{t}dt = ln(t)+C = ln(ln(x)) + C</math>
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
*<math>\int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx= -ln(cos(x)) + C </math>
  
 
==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==
 
==חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים==
  
==דוגמה 1==
+
===דוגמה 1===
 
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
 
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
 
===פתרון===
 
===פתרון===
 
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
 
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>.
+
* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין  
* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math>
+
 
 +
:<math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math>  
 +
 
 +
וכן  
 +
 
 +
:<math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>.  
 +
 
 +
קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x)  
 +
 
 +
ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>.
 +
 
 +
* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת.  
 +
 
 +
לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math>
  
==דוגמה 2==
+
===דוגמה 2===
 
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
 
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
 
===פתרון===
 
===פתרון===

גרסה אחרונה מ־11:44, 3 בספטמבר 2014

חזרה למערכי השיעור

אינטרגלים

נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.

האינטגרל המסויים \int_a^bf(x)dx מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע [a,b] כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.

האינטגרל הלא מסויים \int f(x)dx הוא פונקציה קדומה F(x), כלומר פונקציה המקיימת F'(x)=f(x).


במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) כאשר F קדומה ל f.


שיטות לחישוב אינטגרלים

אינטגרציה בחלקים

נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:

(fg)'=f'g+g'f

כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי

fg= \int (fg)'


ביחד נקבל:

fg=\int f'g +\int g'f


ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:

\int f'(x) g(x) dx = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)g'(x)dx



תרגילים:

  • \int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C


  • \int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C


  • I=\int sin(x)e^xdx=sin(x)e^x - \int cos(x)e^xdx = sin(x)e^x - [cos(x)e^x+\int sin(x)e^xdx] = e^x[sin(x)+cos(x)] - I


לכן ביחד I=\frac{e^x}{2}[sin(x)+cos(x)]+C


  • \int\frac{ln(x)}{x}dx=ln^2(x) -\int \frac{ln(x)}{x}dx


ביחד \int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C


אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)

לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:


  • \int sin\Big(e^x\Big)e^xdx

נבצע את החלפת המשתנים

t=e^x

נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:

dt = e^xdx

ולכן מתקיים

\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C



  • \int sin(\sqrt{x})dx

נבצע את החלפת המשתנים:

t=\sqrt{x}

נגזור את שני הצדדים לקבל

dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx

ולכן

2tdt=dx

(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה t^2=x)


ביחד

\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C



  • \int\sqrt{1-x^2}dx

נבצע את החלפת המשתנים

x=sin(t)

נגזור את שני הצדדים

dx=cos(t)dt

ביחד

\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sqrt{1-sin^2(t)}cos(t)dt=\int cos^2(t)dt = \int \frac{cos(2t)+1}{2}dt=\frac{1}{4}sin(2t)+\frac{1}{2}t + C =


=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C




  • \int\frac{dx}{1+e^x}=\int\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}dx=-ln(1+e^{-x})+C



  • \int\frac{1}{xln(x)}dx

נבצע החלפת משתנים

t=ln(x)

נגזור את שני הצדדים לקבל

dt=\frac{1}{x}dx

וביחד

\int\frac{1}{xln(x)}dx=\int\frac{1}{t}dt = ln(t)+C = ln(ln(x)) + C




  • \int tan(x)dx = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx= -ln(cos(x)) + C

חישוב שטחים באמצעות אינטגרלים

דוגמה 1

חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה y^2=4x והישר y=2x-4.

פתרון

נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: (2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4.

  • דרך 1: נסובב את מערכת הצירים ב-90^\circ ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין
y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4

וכן

y=2x-4\implies x=\frac12y+2.

קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם -2,4 (לפי שיעורי ה-x)

ולכן השטח הוא \left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9.

  • דרך 2: נפרק לשלושה שטחים: השטח S_1 בין x=1 ל-4 ושני שטחים שווים S_2=S_3 בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת.

לפיכך השטח הכולל הוא S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9

דוגמה 2

חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1.

פתרון

נקודות חיתוך:

  • y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0
  • y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)
  • ברור כי ל-y=e^x,\ y=0 אין נקודת חיתוך.

לכן השטח הוא \left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e.