מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־10:32, 22 באוגוסט 2012 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים))

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למערכי השיעור

אינטרגלים

נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.

האינטגרל המסויים \int_a^bf(x)dx מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע [a,b] כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.

האינטגרל הלא מסויים \int f(x)dx הוא פונקציה קדומה F(x), כלומר פונקציה המקיימת F'(x)=f(x).


במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) כאשר F קדומה ל f.


שיטות לחישוב אינטגרלים

אינטגרציה בחלקים

נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:

(fg)'=f'g+g'f

כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי

fg= \int (fg)'


ביחד נקבל:

fg=\int f'g +\int g'f


ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:

\int f'(x) g(x) dx = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)g'(x)dx



תרגילים:

  • \int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C


  • \int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C


  • I=\int sin(x)e^xdx=sin(x)e^x - \int cos(x)e^xdx = sin(x)e^x - [cos(x)e^x+\int sin(x)e^xdx] = e^x[sin(x)+cos(x)] - I


לכן ביחד I=\frac{e^x}{2}[sin(x)+cos(x)]+C


  • \int\frac{ln(x)}{x}dx=ln^2(x) -\int \frac{ln(x)}{x}dx


ביחד \int\frac{ln(x)}{x}dx=\frac{1}{2}ln^2(x)+C


אינטגרציה בהצבה (החלפת משתנים)

לעיתים ניתן לפתור את האינטגרל לאחרי שינוי של המשתנה. הנוסחאות להחלפת המשתנים נובעות מכלל הגזירה של פונקציה מורכבת. נלמד על ידי דוגמאות:


  • \int sin\Big(e^x\Big)e^xdx

נבצע את החלפת המשתנים

t=e^x

נגזור את צד שמאל לפי t ואת צד ימין לפי x ונקבל:

dt = e^xdx

ולכן מתקיים

\int sin\Big(e^x\Big)e^xdx= \int sin(t)dt = -cos(t) +C = -cos(e^x) + C



  • \int sin(\sqrt{x})dx

נבצע את החלפת המשתנים:

t=\sqrt{x}

נגזור את שני הצדדים לקבל

dt=\frac{1}{2\sqrt{x}}dx

ולכן

2tdt=dx

(שימו לב שניתן היה להגיע לכך גם מההחלפה השקולה t^2=x)


ביחד

\int sin(\sqrt{x})dx=\int 2t\cdot sin(t)dt = -2t\cdot cos(t) +\int 2cos(t) = -2t\cdot cos(t) + 2sin(t) +C=-2\sqrt{x}cos(\sqrt{x})+2sin(\sqrt{x}) +C



  • \int\sqrt{1-x^2}dx

נבצע את החלפת המשתנים

x=sin(t)

נגזור את שני הצדדים

dx=cos(t)dt

ביחד

\int\sqrt{1-x^2}dx=\int\sqrt{1-sin^2(t)}cos(t)dt=\int cos^2(t)dt = \int \frac{cos(2t)+1}{2}dt=\frac{1}{4}sin(2t)+\frac{1}{2}t + C =


=\frac{1}{2}sin(t)cos(t)+\frac{1}{2}t + C=\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}+\frac{1}{2}arcsin{x} + C