הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/11"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־12:07, 23 באוגוסט 2012

חזרה למערכי השיעור

פירוק פולינומים

לכל פולינום $p(x)$ , אם $p(a)=0$ אזי הפולינום מתחלק ב $(x-a)$

פירוק פולינום ריבועי:

ax^2+bx+c = a\Big(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)\Big(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)

לפולינומים אחרים נשתמש בנוסחאות כפל מקוצר או ננחש שורש, ואם נצליח נחלק בו.

דוגמא:

$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$

חילוק פולינומים

נביט בפולינום $p(x)=x^3-4x^2+2x+1$ ונשים לב כי $p(1)=0$ ולכן נחלק ב $x-1$

אלגוריתם לחילוק פולינומים

א. חלק את המונום הגבוה של הפולינום המחולק במונום הגבוה של הפולינום המחלק

\frac{x^3}{x}=x^2

ב. כפול את התוצאה בפולינום המחלק, וחסר מהפולינום המחולק

x^3-4x^2+2x+1 - x^2[x-1]= -3x^2+2x+1

ג. חזור לשלב א' כאשר הפולינום המחולק הוא התוצאה מסעיף ב'. סכום חלוקות המונומים מסעיף א' הוא המנה

\frac{-3x^2}{x}=-3x

-3x^2+2x+1 - (-3x)[x-1]= -x+1

\frac{-x}{x}=-1

-x+1 - (-1)[x-1] = 0

ביחד מתקיים: $x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)$

פירוק לשברים חלקיים

חשב את האינטגרל $\int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx$

על מנת לחשב את האינטגרל נפרק לשברים חלקיים:

\frac{1}{x(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}

נבצע מכנה משותף

\frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}

נשווה את המונים בין שני השברים כיוון שהמכנים שווים:

1 = (A+B+C)x^2 + (-3A-2B-C)x + 2A

ולכן מהשוואת המקדמים של החזקות השונות של x מקבלים את המשוואות הבאות:

A+B+C=0

-3A-2B-C=0

2A=1

לאחר חישוב הקבועים אנו יכולים לחשב את האינטגרל.

\int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx=\int\Big(\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}\Big)dx= A\cdot ln(x) +B\cdot ln(x-1) + C\cdot ln(x-2) + D

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/11&oldid=26199