הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/14"

גרסה מ־08:26, 30 באוגוסט 2012

הוכחה בשלילה מבוססת על הטאוטולוגיה $(\sim p \rightarrow F)\rightarrow p$ . בהוכחה בשלילה אנו מניחים את השלילה של מה שצריך להוכיח ומגיעים לסתירה.

שימו לב שאנו לא שוללים את הנתון אלא את הצ"ל.

דוגמא:

תרגיל תהיינה A,B קבוצות המקיימות $A\backslash B=B\backslash A$ . הוכח כי $A=B$

הוכחה בשלילה:

נתון:

A\backslash B=B\backslash A

צ"ל:

A=B

נניח בשלילה כי $A\neq B$ .

לכן קיים $a\in A$ כך ש $a\notin B$ (או ההפך)

לכן לפי ההגדרה $a\in A\backslash B$ אבל $a\notin B\backslash A$ (או ההפך)

לכן $A\backslash B\neq B\backslash A$

בסתירה.

דוגמא. תהיינה A,B קבוצות כך ש $(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B$ הוכח כי $A\cap B = \phi$

בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי $A=B$ מספיק להוכיח כי $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq A$

דוגמא. תהיינה קבוצות A,B המקיימות $A\cup B = A \cap B$ . הוכח כי $A=B$

הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית:

מהנתון ניתן להסיק כי $A\cup B \subseteq A \cap B$

לכן בפרט $A\cup B \subseteq A$ וגם $A\cup B \subseteq B$

לכן $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq A$

וביחד לפי הכלה דו-כיוונית $A=B$

@@ שורה 40: / שורה 40: @@
 '''דוגמא'''. תהיינה A,B קבוצות כך ש <math>(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B</math>  הוכח כי <math>A\cap B = \phi</math>
+===הכלה דו כיוונית===
+בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי <math>A=B</math> מספיק להוכיח כי <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>
+'''דוגמא'''. תהיינה קבוצות A,B המקיימות <math>A\cup B = A \cap B</math>. הוכח כי <math>A=B</math>
+'''הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית''':
+מהנתון ניתן להסיק כי <math>A\cup B \subseteq A \cap B</math>
+לכן בפרט <math>A\cup B \subseteq A </math> וגם <math>A\cup B \subseteq B</math>
+לכן <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>
+וביחד לפי הכלה דו-כיוונית <math>A=B</math>