הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/14"

גרסה מ־08:43, 30 באוגוסט 2012

תוכן עניינים

1 שיטות הוכחה

שיטות הוכחה

הוכחה בשלילה

הוכחה בשלילה מבוססת על הטאוטולוגיה $(\sim p \rightarrow F)\rightarrow p$ . בהוכחה בשלילה אנו מניחים את השלילה של מה שצריך להוכיח ומגיעים לסתירה.

שימו לב שאנו לא שוללים את הנתון אלא את הצ"ל.

דוגמא:

תרגיל תהיינה A,B קבוצות המקיימות $A\backslash B=B\backslash A$ . הוכח כי $A=B$

הוכחה בשלילה:

נתון:

A\backslash B=B\backslash A

צ"ל:

A=B

נניח בשלילה כי $A\neq B$ .

לכן קיים $a\in A$ כך ש $a\notin B$ (או ההפך)

לכן לפי ההגדרה $a\in A\backslash B$ אבל $a\notin B\backslash A$ (או ההפך)

לכן $A\backslash B\neq B\backslash A$

בסתירה.

דוגמא. תהיינה A,B קבוצות כך ש $(A\backslash B)\cup B = (A\cup B)\backslash B$ הוכח כי $A\cap B = \phi$

הכלה דו כיוונית

בשיטה זו אנו מוכיחים שיוויון בין קבוצות. על מנת להוכיח כי $A=B$ מספיק להוכיח כי $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq A$

דוגמא. תהיינה קבוצות A,B המקיימות $A\cup B = A \cap B$ . הוכח כי $A=B$

הוכחה באמצעות הכלה דו כיוונית:

מהנתון ניתן להסיק כי $A\cup B \subseteq A \cap B$

לכן בפרט $A\cup B \subseteq A$ וגם $A\cup B \subseteq B$

לכן $A\subseteq B$ וגם $B\subseteq A$

וביחד לפי הכלה דו-כיוונית $A=B$

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

על מנת להוכיח טענת לכל, אנו לוקחים איבר כללי ללא תנאים ומראים כי הטענה נכונה לגביו. הוכחות כאלו מתחילות במילה 'יהי'.

על מנת להוכיח טענת קיים, אנו מספקים דוגמא מסויימת, או מוכיחים שדוגמא כזו קיימת (מבלי לספק אותה במפורש).

שימו לב שעל מנת להפריך טענת לכל יש לספק דוגמא נגדית, ועל מנת להפריך טענת קיים יש להוכיח שכל האיברים הכלליים אינם מקיימים את הטענה.

דוגמא

הוכח כי לכל ממשי חיובי x קיים מספר טבעי n כך ש $\frac{1}{n} < x$

הוכחת הכמת לכל:

יהי מספר טבעי חיובי כלשהו x.

צריך למצוא מספר n כך ש $\frac{1}{n} < x$

לכן, מספיק למצוא מספר n כך ש $\frac{1}{x} < n$

כיוון שאין סוף למספרים הטבעיים, ניתן לבחור מספר n כלשהו הגדול מ $\frac{1}{x}$ .

דוגמא

תהי קבוצה B. הוכח כי קיימת קבוצה A שאינה ריקה כך ש $A\cap B = B$

הוכחת הכמת קיים:

על מנת להוכיח קיום, מספיק למצוא דוגמא אחת. למשל, אם ניקח A=B נקבל את מה שרצינו.

הערה: הוכחת קיום זו נקראת קונסטרוקטיבית כיוון שלא רק שהראנו שקיימת קבוצה בהתאם לנדרש, אלא ממש מצאנו אותה. ישנן הוכחות המוכיחות קיום מבלי למצוא דוגמא מפורשת.

@@ שורה 67: / שורה 67: @@
 ===הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים===
+על מנת להוכיח טענת '''לכל''', אנו לוקחים איבר כללי ללא תנאים ומראים כי הטענה נכונה לגביו. הוכחות כאלו מתחילות במילה 'יהי'.
+על מנת להוכיח טענת '''קיים''', אנו מספקים דוגמא מסויימת, או מוכיחים שדוגמא כזו קיימת (מבלי לספק אותה במפורש).
+שימו לב שעל מנת להפריך טענת '''לכל''' יש לספק דוגמא נגדית, ועל מנת להפריך טענת '''קיים''' יש להוכיח שכל האיברים הכלליים אינם מקיימים את הטענה.
 '''דוגמא'''

הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/14"

גרסה מ־08:43, 30 באוגוסט 2012

תוכן עניינים

שיטות הוכחה

הוכחה בשלילה

הכלה דו כיוונית

הוכחת פסוק עם כמתים- לכל או קיים

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים