מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למערכי השיעור

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

ניתן להגדיר פונקציה הופכית רק כאשר לכל איבר בתמונה קיים מקור יחיד. לכל פונקציה טריגונומטרית נבחר את התחום המתאים.


arcsin(x):[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]


arccos(x):[-1,1]\rightarrow [0,\pi]


arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]


תרגיל: הוכח כי sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}

תרגילים

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

  • |cos(x)|\leq \frac{1}{\sqrt{2}}


  • sin(x^2+1)<0


  • sin(ax)>0


  • arcsin(|x-1|)>\frac{\pi}{4}


  • sin(2x) < 2sin(x)


  • \sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0


מספרים מרוכבים

נביט באוסף האיברים מהצורה

a+b\cdot i


כאשר a,b\in\mathbb{R} והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה מספרים מרוכבים.


נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:


(a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i


(a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i


שימו לב כי i^2 = -1


בנוסף לכל מספר מרוכב z=a+bi נגדיר את הצמוד המרוכב:

\overline{z}=a-bi


תרגיל חשב את z\cdot \overline{z}

פתרון z\cdot \overline{z} = a^2+b^2


הערה: נסמן |z|=\sqrt{a^2+b^2}


תרגיל הוכח שלכל מספר מרוכב z קיים מספר מרוכב z^{-1} כך ש z\cdot z^{-1} = 1.

פתרון: z^{-1}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}


הערה: באופן כללי נסמן z^{-1}=\frac{1}{z}



תרגיל חשב את הביטוי \frac{5+2i}{2-3i}



הגדרה: עבור מספר מרוכב z=a+bi

החלק הממשי Re(z)=a
החלק המדומה Im(z)=b


לדוגמא:


Im(a-bi) = -b


תרגיל: הוכח כי |z|\geq |Re(z)|


תרגיל: הוכח את אי-שיוויון המשולש |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|


המישור המרוכב

Complex plane.png


כל מספר מרוכב a+bi מתאים לנקודה (a,b) במישור המרוכב.

ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס.


מתקיים:


r=|z|
אם a>0 אזי \varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)
אם a<0אזי \varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi
אם a=0 וגם b>0 אזי \varphi=\frac{\pi}{2}
אם a=0 וגם b<0 אזי \varphi=-\frac{\pi}{2}


z=a+bi=r(cos(\varphi) + i\cdot sin(\varphi)) = rcis(\varphi)


הצורה rcis(\varphi) נקראת הצורה הפולארית של המספר המרוכב, ואילו a+bi היא הצורה הקרטזית.