הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5"

גרסה מ־08:25, 9 באוגוסט 2012

מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:

r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2) = r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)

כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.

הוכחה:

$r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2)=r_1r_2[(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)]=$

$=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+ i(sin\theta_1cos\theta_2+sin\theta_2cos\theta_1)]=$

$=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)$

מסקנה: משפט דה-מואבר

\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)

תרגיל:

מצא את כל הפתרונות למשוואה $z^3=1$

פתרון:

נסמן $z=rcis\theta$ . עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:

\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)

r^4cis(4\theta)=cis(0)

לכן $r=\sqrt[4]{1}=1$ . ו- $\theta$ היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.

הזויות המקיימות את זה הן: $0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$

כיצד ניתן לחשב את כולן?

נסמן $cis(0)=cis(0+2\pi k)$

ולכן $3\theta = 2\pi k$

ולכן $\theta = \frac{2\pi k}{3}$ כאשר $k=0,1,2,3$

@@ שורה 27: / שורה 27: @@
 מסקנה: '''משפט דה-מואבר'''
-::<math>\Big(r_1cis\theta\Big)^n=r_1^ncis(n\theta)</math>
+::<math>\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)</math>
+'''תרגיל''':
+מצא את '''כל''' הפתרונות למשוואה <math>z^3=1</math>
+'''פתרון''':
+נסמן <math>z=rcis\theta</math>. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:
+::<math>\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)</math>
+::<math>r^4cis(4\theta)=cis(0)</math>
+לכן <math>r=\sqrt[4]{1}=1</math>. ו-<math>\theta</math> היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.
+הזויות המקיימות את זה הן: <math>0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}</math>
+כיצד ניתן לחשב את כולן?
+נסמן <math>cis(0)=cis(0+2\pi k)</math>
+ולכן <math>3\theta = 2\pi k</math>
+ולכן <math>\theta = \frac{2\pi k}{3}</math> כאשר <math>k=0,1,2,3</math>