הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־08:49, 9 באוגוסט 2012

משפט דה-מואבר

מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:

r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2) = r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)

כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.

הוכחה:

$r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2)=r_1r_2[(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)]=$

$=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+ i(sin\theta_1cos\theta_2+sin\theta_2cos\theta_1)]=$

$=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)$

מסקנה: משפט דה-מואבר

\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)

מציאת השורשים למשוואה מהצורה:

z^n=rcis\theta

נוסחא: כל השורשים הם מהצורה $\sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})$

כאשר $k=0,1,2,...,n-1$

תרגיל:

מצא את כל הפתרונות למשוואה $z^4=1$

פתרון:

נסמן $z=rcis\theta$ . עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:

\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)

r^4cis(4\theta)=cis(0)

לכן $r=\sqrt[4]{1}=1$ . ו- $\theta$ היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.

הזויות המקיימות את זה הן: $0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$

כיצד ניתן לחשב את כולן?

נסמן $cis(0)=cis(0+2\pi k)$

ולכן $3\theta = 2\pi k$

ולכן $\theta = \frac{2\pi k}{3}$ כאשר $k=0,1,2,3$

תרגיל:

הוכח כי $sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)$

פתרון:

cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3=

=cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta)

השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.

תרגיל: פתרו את המשוואה $z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0$

תרגיל: חשב את הביטוי $(1+i)^{2012}$

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מכינה_למחלקת_מתמטיקה/מערכי_שיעור/5&oldid=25398