מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5

חזרה

משפט דה-מואבר

מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:

$r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2) = r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)$

כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.

הוכחה:

$r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2)=r_1r_2[(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)]=$

$=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+ i(sin\theta_1cos\theta_2+sin\theta_2cos\theta_1)]=$

$=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)$

מסקנה: משפט דה-מואבר

$\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)$

מציאת השורשים למשוואה מהצורה:

$z^n=rcis\theta$

נוסחא: כל השורשים הם מהצורה $\sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})$

כאשר $k=0,1,2,...,n-1$

תרגיל:

מצא את כל הפתרונות למשוואה $z^4=1$

פתרון:

נסמן $z=rcis\theta$. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:

$\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)$

$r^4cis(4\theta)=cis(0)$

לכן $r=\sqrt[4]{1}=1$. ו-$\theta$ היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.

הזויות המקיימות את זה הן: $0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$

כיצד ניתן לחשב את כולן?

נסמן $cis(0)=cis(0+2\pi k)$

ולכן $3\theta = 2\pi k$

ולכן $\theta = \frac{2\pi k}{3}$ כאשר $k=0,1,2,3$

תרגיל:

הוכח כי $sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)$

פתרון:

$cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3=$

$=cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta)$

השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.

תרגיל: פתרו את המשוואה $z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0$

תרגיל: חשב את הביטוי $(1+i)^{2012}$

וקטורים

באופן דומה למישור המרוכב, וקטור ניתן להצגה בשתי דרכים: גאומטרית ואלגברית. אלגברית, וקטור הוא נקודה כללית במרחב $(a_1,a_2,...,a_n)$. גאומטרית, וקטור הוא שילוב של אורך וכיוון.

נתחיל מוקטורים במישור, נלמד לחבר באופן גיאומטרי ובאופן אלגברי.

באופן גיאומטרי, החיבור בין שני וקטורים הוא אלכסון המקבילית הנוצרת בינהן. מבחינה אלגברית $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

כל וקטור במישור ניתן לפירוק לרכיבים שלו על כל אחד מהצירים, זה שקול למעבר מהצורה הפולרית לצורה הקרטזית. פירוק זה משמש אותנו בעיקר בפיסיקה, כאשר אנו מעוניינים לדעת כיצד כוח בזוית מסויימת משפיע על גוף בזוית אחרת- למשל כיצד כוח המשיכה משפיע על קרונית במדרון, מהי הזוית הטובה ביותר לזרוק כדור למרחק וכדומה.

הגדרה: המכפלה הסקלרית בין שני וקטורים היא $(a,b)(c,d)=(ac,bd)$.

הזוית בין שני הוקטורים v,u מקיימת

$cos\theta = \frac{v\cdot u}{|v|\cdot |u|}$

כאשר $|v|,|u|$ הם אורכי הוקטורים.