מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/5

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה

משפט דה-מואבר

מסתבר שקל יותר לבצע כפל בין מספרים מרוכבים בצורתן הפולרית:


r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2) = r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)


כלומר כופלים את האורכים וסוכמים את הזויות.


הוכחה:

r_1cis(\theta_1) \cdot r_2cis(\theta_2)=r_1r_2[(cos\theta_1+isin\theta_1)(cos\theta_2+isin\theta_2)]=


=r_1r_2[(cos\theta_1cos\theta_2-sin\theta_1sin\theta_2)+ i(sin\theta_1cos\theta_2+sin\theta_2cos\theta_1)]=


=r_1r_2[cos(\theta_1+\theta_2)+isin(\theta_1+\theta_2)]=r_1r_2cis(\theta_1+\theta_2)


מסקנה: משפט דה-מואבר

\Big(rcis\theta\Big)^n=r^ncis(n\theta)


מציאת השורשים למשוואה מהצורה:

z^n=rcis\theta


נוסחא: כל השורשים הם מהצורה \sqrt[n]{r}\cdot cis(\frac{\theta+2\pi k}{n})

כאשר k=0,1,2,...,n-1



תרגיל:

מצא את כל הפתרונות למשוואה z^4=1


פתרון:

נסמן z=rcis\theta. עלינו למצוא זוית ואורך כך שיתקיים:


\Big(rcis\theta\Big)^4=cis(0)


r^4cis(4\theta)=cis(0)


לכן r=\sqrt[4]{1}=1. ו-\theta היא זוית כך שכפול ארבע נגיע לזוית האפס.


הזויות המקיימות את זה הן: 0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}


כיצד ניתן לחשב את כולן?


נשים לב כי cis(0)=cis(0+2\pi k)


ולכן 4\theta = 2\pi k


ולכן \theta = \frac{2\pi k}{4} כאשר k=0,1,2,3


תרגיל:

הוכח כי sin(3\theta)=3cos^2(\theta)sin(\theta)-sin^3(\theta)


פתרון:


cis(3\theta)=(cis\theta)^3=cos^3\theta+3cos^2\theta\cdot isin\theta + 3cos\theta(isin\theta)^2+(isin\theta)^3=


=cos^3\theta -3cos\theta sin^2\theta + i(3cos^2\theta sin\theta - sin^3\theta)


השוואה בין החלקים המדומים מוכיחה את הזהות.


תרגיל: פתרו את המשוואה z^4+2+2\sqrt{3}\cdot i =0


תרגיל: חשב את הביטוי (1+i)^{2012}