הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"

גרסה מ־01:57, 13 באוגוסט 2012

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

$tan(x) < 0$

$tan(x)={sin(x) \over cos(x)}$ לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: $-{\pi \over 2} + \pi k < x < \pi k$

$sin(x)<cos(x)$

מתקיים שוויון כאשר $x={\pi \over 4} + \pi k$ . עד $\pi \over 4$ הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד $5\pi \over 4$ בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של $2\pi$ . לכן אי השוויון מתקיים עבור $-{3\pi \over 4}+2\pi k < x < {\pi \over 4} +2\pi k$

$e^{sin(x)} < 1$

נסמן $y=sin(x)$ ונבדוק מתי $e^y<1$ . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור $sin(x)=y<0$ . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור $-\pi + 2\pi k < x < 2\pi k$

$(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0$

נפתח סוגריים ונקבל: $sin(x)^2-cos(x)^2>0$ . ניעזר בזהות $sin(x)^2+cos(x)^2=1$ ונגיע לאי השוויון: $2sin(x)^2-1>0$ . מכאן נעביר אגפים ונקבל $sin(x)^2>{1 \over 2}$ והפתרון שלו הוא $sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}$ או $sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}$ . זה מתקיים עבור: ${\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k$

$sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0$

נציב $y=\pi \cdot cos(x)$ ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור $2\pi k < y < \pi + 2\pi k$ . לכן $2k<cos(x)<1+2k$ .

אם $k>0$ : נקבל $2 < cos(x)$ וזה לא יתכן.

$k<0$ : נקבל $cos(x)<-1$ וזה גם לא יתכן.

עבור $k=0$ : אי השוויון הוא $0<cos(x)<1$ וזה מתקיים לכל $-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k$

@@ שורה 16: / שורה 16: @@
 *<math>(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0</math>
+נפתח סוגריים ונקבל: <math>sin(x)^2-cos(x)^2>0</math>. ניעזר בזהות <math>sin(x)^2+cos(x)^2=1</math> ונגיע לאי השוויון: <math>2sin(x)^2-1>0</math>. מכאן נעביר אגפים ונקבל <math>sin(x)^2>{1 \over 2}</math> והפתרון שלו הוא <math>sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}</math> או <math>sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}</math>. זה מתקיים עבור: <math>{\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k</math>
 *<math>sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0</math>
+נציב <math>y=\pi \cdot cos(x)</math> ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור <math>2\pi k < y < \pi + 2\pi k</math>. לכן <math>2k<cos(x)<1+2k</math>.
+אם <math>k>0</math>: נקבל <math>2 < cos(x)</math> וזה לא יתכן.
+<math>k<0</math>: נקבל <math>cos(x)<-1</math> וזה גם לא יתכן.
+עבור <math>k=0</math>: אי השוויון הוא <math>0<cos(x)<1</math> וזה מתקיים לכל <math>-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"

גרסה מ־01:57, 13 באוגוסט 2012

1

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים