הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"

גרסה מ־01:57, 13 באוגוסט 2012

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

$tan(x) < 0$

$tan(x)={sin(x) \over cos(x)}$ לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: $-{\pi \over 2} + \pi k < x < \pi k$

$sin(x)<cos(x)$

מתקיים שוויון כאשר $x={\pi \over 4} + \pi k$ . עד $\pi \over 4$ הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד $5\pi \over 4$ בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של $2\pi$ . לכן אי השוויון מתקיים עבור $-{3\pi \over 4}+2\pi k < x < {\pi \over 4} +2\pi k$

$e^{sin(x)} < 1$

נסמן $y=sin(x)$ ונבדוק מתי $e^y<1$ . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור $sin(x)=y<0$ . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור $-\pi + 2\pi k < x < 2\pi k$

$(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0$

נפתח סוגריים ונקבל: $sin(x)^2-cos(x)^2>0$ . ניעזר בזהות $sin(x)^2+cos(x)^2=1$ ונגיע לאי השוויון: $2sin(x)^2-1>0$ . מכאן נעביר אגפים ונקבל $sin(x)^2>{1 \over 2}$ והפתרון שלו הוא $sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}$ או $sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}$ . זה מתקיים עבור: ${\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k$

$sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0$

נציב $y=\pi \cdot cos(x)$ ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור $2\pi k < y < \pi + 2\pi k$ . לכן $2k<cos(x)<1+2k$ .

אם $k>0$ : נקבל $2 < cos(x)$ וזה לא יתכן.

$k<0$ : נקבל $cos(x)<-1$ וזה גם לא יתכן.

עבור $k=0$ : אי השוויון הוא $0<cos(x)<1$ וזה מתקיים לכל $-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k$

2

הוכח:

$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$

$|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$

$Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2}$

$Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}$

@@ שורה 27: / שורה 27: @@
 עבור <math>k=0</math>: אי השוויון הוא <math>0<cos(x)<1</math> וזה מתקיים לכל <math>-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k</math>
+==2==
+הוכח:
+*<math>\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}</math>
+*<math>|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|</math>
+*<math>Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2}</math>
+*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2"

גרסה מ־01:57, 13 באוגוסט 2012

1

2

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים