מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

• $tan(x) < 0$

$tan(x)={sin(x) \over cos(x)}$ לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: $-{\pi \over 2} + \pi k < x < \pi k$

• $sin(x)<cos(x)$

מתקיים שוויון כאשר $x={\pi \over 4} + \pi k$. עד $\pi \over 4$ הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד $5\pi \over 4$ בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של $2\pi$. לכן אי השוויון מתקיים עבור $-{3\pi \over 4}+2\pi k < x < {\pi \over 4} +2\pi k$

• $e^{sin(x)} < 1$

נסמן $y=sin(x)$ ונבדוק מתי $e^y<1$. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור $sin(x)=y<0$. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור $-\pi + 2\pi k < x < 2\pi k$

• $(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0$

נפתח סוגריים ונקבל: $sin(x)^2-cos(x)^2>0$. ניעזר בזהות $sin(x)^2+cos(x)^2=1$ ונגיע לאי השוויון: $2sin(x)^2-1>0$. מכאן נעביר אגפים ונקבל $sin(x)^2>{1 \over 2}$ והפתרון שלו הוא $sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}$ או $sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}$. זה מתקיים עבור: ${\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k$

• $sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0$

נציב $y=\pi \cdot cos(x)$ ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור $2\pi k < y < \pi + 2\pi k$. לכן $2k<cos(x)<1+2k$.

אם $k>0$: נקבל $2 < cos(x)$ וזה לא יתכן.

$k<0$: נקבל $cos(x)<-1$ וזה גם לא יתכן.

עבור $k=0$: אי השוויון הוא $0<cos(x)<1$ וזה מתקיים לכל $-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k$