מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

$tan(x) < 0$

$tan(x)={sin(x) \over cos(x)}$ לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: $-{\pi \over 2} + \pi k < x < \pi k$

$sin(x)<cos(x)$

מתקיים שוויון כאשר $x={\pi \over 4} + \pi k$ . עד $\pi \over 4$ הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד $5\pi \over 4$ בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של $2\pi$ . לכן אי השוויון מתקיים עבור $-{3\pi \over 4}+2\pi k < x < {\pi \over 4} +2\pi k$

$e^{sin(x)} < 1$

נסמן $y=sin(x)$ ונבדוק מתי $e^y<1$ . יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור $sin(x)=y<0$ . מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור $-\pi + 2\pi k < x < 2\pi k$

$(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0$

נפתח סוגריים ונקבל: $sin(x)^2-cos(x)^2>0$ . ניעזר בזהות $sin(x)^2+cos(x)^2=1$ ונגיע לאי השוויון: $2sin(x)^2-1>0$ . מכאן נעביר אגפים ונקבל $sin(x)^2>{1 \over 2}$ והפתרון שלו הוא $sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}$ או $sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}$ . זה מתקיים עבור: ${\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k$

$sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0$

נציב $y=\pi \cdot cos(x)$ ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור $2\pi k < y < \pi + 2\pi k$ . לכן $2k<cos(x)<1+2k$ .

אם $k>0$ : נקבל $2 < cos(x)$ וזה לא יתכן.

$k<0$ : נקבל $cos(x)<-1$ וזה גם לא יתכן.

עבור $k=0$ : אי השוויון הוא $0<cos(x)<1$ וזה מתקיים לכל $-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k$

2

הוכח:

$\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}$

נסמן $z_1=x_1+y_1 \cdot i , z_2=x_2+y_2 \cdot i$ . נחשב את אגף שמאל:

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{(x_1+y_1 \cdot i) \cdot (x_2+y_2 \cdot i)} = \overline{(x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i}=(x_1 x_2 - y_1 y_2) - (x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i$

נחשב את אגף ימין: $\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(x_1-y_1 \cdot i) \cdot (x_2-y_2 \cdot i) = (x_1 x_2 - y_1 y_2)-(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i$

בשני המקרים קיבלנו את אותו ביטוי לכן מתקיים שוויון.

$|z_1\cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$

$|z_1\cdot z_2|=|(x_1 x_2 -y_1 y_2)+(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i| =\sqrt{ (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 +x_2 y_1)^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}$