מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3

1

• חשב את הסכום $1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n}$

[רמז: סכום סדרה הנדסית $1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$, ומשפט דה-מואבר]

• מצא את כל הפתרונות של המשוואה $z^5=1-i$

2

• מצא את ההיטל של הוקטור $(1,2)$ על הישר הנפרש על ידי הוקטור $(2,2)$

• מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו $3x-1=y$

• מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים $(1,2,3),(1,4,5)$

• מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור $(1,2,2)$

• מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור $u$

• מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור $(1,-1,5)$ ועובר בנקודה $(1,1,1)$

• מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור $(1,4)$ הינה $\frac{\pi}{3}$. כמה כאלה יש?

• הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון $u\cdot v \leq |u||v|$ (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

[רמז: השתמש בזהות הידועה $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$]