הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3"

גרסה מ־03:12, 15 באוגוסט 2012

1

חשב את הסכום $1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n}$

[רמז: סכום סדרה הנדסית $1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ , ומשפט דה-מואבר]

נסמן $z=\frac{cis(1)}{2}$

לפי דה מואבר: $z^n = \frac{cis(n)}{2^n}$

לכן: $1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big)$

לכן הסכום המבוקש שווה $Im(1+z+...+z^n)$ . נחשב:

$Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}})$

בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: $\frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)}$

מצא את כל הפתרונות של המשוואה $z^5=1-i$

נמצא את ההצגה הפולארית של $1-i$ :

$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4}$

לכן המשוואה היא: $z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k)$

לכן לפי דה מואבר נקבל: $z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5})$

הפתרונות מתקבלים כאשר נציב $k=0...4$

@@ שורה 4: / שורה 4: @@
 ['''רמז''': סכום סדרה הנדסית <math>1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>, ומשפט דה-מואבר]
+נסמן <math>z=\frac{cis(1)}{2}</math>
+לפי דה מואבר: <math>z^n = \frac{cis(n)}{2^n}</math>
+לכן: <math>1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big)</math>
+לכן הסכום המבוקש שווה <math>Im(1+z+...+z^n)</math>. נחשב:
+<math>Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}})</math>
+בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: <math>\frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)}</math>
 * מצא את כל הפתרונות של המשוואה <math>z^5=1-i</math>
+נמצא את ההצגה הפולארית של <math>1-i</math>:
+<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>
+<math>\varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4}</math>
+לכן המשוואה היא: <math>z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k)</math>
+לכן לפי דה מואבר נקבל: <math>z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5})</math>
+הפתרונות מתקבלים כאשר נציב <math>k=0...4</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3"

גרסה מ־03:12, 15 באוגוסט 2012

1

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים