הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3"

גרסה מ־22:52, 17 באוגוסט 2012

1

חשב את הסכום $1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n}$

[רמז: סכום סדרה הנדסית $1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ , ומשפט דה-מואבר]

נסמן $z=\frac{cis(1)}{2}$

לפי דה מואבר: $z^n = \frac{cis(n)}{2^n}$

לכן: $1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big)$

לכן הסכום המבוקש שווה $Im(1+z+...+z^n)$ . נחשב:

$Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}})$

בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: $\frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)}$

מצא את כל הפתרונות של המשוואה $z^5=1-i$

נמצא את ההצגה הפולארית של $1-i$ :

$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4}$

לכן המשוואה היא: $z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k)$

לכן לפי דה מואבר נקבל: $z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5})$

הפתרונות מתקבלים כאשר נציב $k=0...4$

2

מצא את ההיטל של הוקטור $(1,2)$ על הישר הנפרש על ידי הוקטור $(2,2)$

נסמן את הוקטור הרצוי ב $t(2,2)$ . ההפרש בין וקטור זה לבין $(1,2)$ צריך להיות מאונך ל $(2,2)$ לכן נקבל:

$0 = (2,2) \cdot ((1,2)-t(2,2)) = (2,2) \cdot (1-2t,2-2t) = 2-4t+4-4t = 6-8t$

נקבל $t=\frac{3}{4}$ ואז הוקטור הוא $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$

מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו $3x-1=y$

נסדר את המשוואה לצורה $3x-y=1$ . לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא $(3,-1)$ .

מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים $(1,2,3),(1,4,5)$

נסמן ב $(x,y,z)$ . הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: $x+2y+3z=x+4y+5z=0$ .

נבחר $x=1$ ונקבל $y=1,z=-1$ . לכן התשובה היא $(1,1,-1)$

מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור $(1,2,2)$

נסמן ב $t(1,2,2)$ . נחשב את האורך:

$1=\sqrt{(t)^2+(2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{9t^2}=3t$ . לכן $t=\frac{1}{3}$ לכן הוקטור הוא: $(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור $u$

נסמן את הוקטור הרצוי ב $t \cdot u$ . נחשב את האורך: $1=|t \cdot u| = t \cdot |u|$ .

לכן $t=\frac{1}{|u|}$ לכן הוקטור הרצוי הוא $\frac{1}{|u|} \cdot u$

מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור $(1,-1,5)$ ועובר בנקודה $(1,1,1)$

כל מישור המאונך לוקטור $(1,-1,5)$ הוא מהצורה $x-y+5z=D$ . נציב את הוקטור $(1,1,1)$ ונקבל:

$D=5$ . לכן המישור הרצוי הוא $x-y+5z=5$ .

מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור $(1,4)$ הינה $\frac{\pi}{3}$ . כמה כאלה יש?

הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון $u\cdot v \leq |u||v|$ (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

[רמז: השתמש בזהות הידועה $(a-b)^2 = a^2+b^2-2ab$ ]

@@ שורה 70: / שורה 70: @@
 *מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> ועובר בנקודה <math>(1,1,1)</math>
+כל מישור המאונך לוקטור <math>(1,-1,5)</math> הוא מהצורה <math>x-y+5z=D</math>. נציב את הוקטור <math>(1,1,1)</math> ונקבל:
+<math>D=5</math>. לכן המישור הרצוי הוא <math>x-y+5z=5</math>.

הבדלים בין גרסאות בדף "מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3"

גרסה מ־22:52, 17 באוגוסט 2012

1

2

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים