מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/3/פתרון 3

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

  • חשב את הסכום 1+\frac{sin(1)}{2} + \frac{sin(2)}{4}+\frac{sin(3)}{8}+...+\frac{sin(n)}{2^n}

[רמז: סכום סדרה הנדסית 1+q+...+q^{n} = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}, ומשפט דה-מואבר]

נסמן z=\frac{cis(1)}{2}

לפי דה מואבר: z^n = \frac{cis(n)}{2^n}

לכן: 1+z+...+z^n = 1+\frac{cis(1)}{2} + ... + \frac{cis(n)}{2^n}= \Big(1+\frac{cos(1)}{2} + ... + \frac{cos(n)}{2^n} \Big)+i \cdot \Big(1+\frac{ sin(1)}{2} + ... + \frac{sin(n)}{2^n} \Big)

לכן הסכום המבוקש שווה Im(1+z+...+z^n). נחשב:

Im(1+z+...+z^n)=Im(\frac{1-z^{n+1}}{1-z})=Im(\frac{1-\frac{cis(n+1)}{2^{n+1}}}{1-\frac{cis(1)}{2}})


בשלב זה ניתן לכפול בצמוד של המכנה, לפשט את הביטוי ולקבל את החלק המדומה שהוא התשובה הסופית: \frac{\frac{sin(n)}{2^n}-\frac{sin(n+1)}{2^{n-1}}+2sin(1)}{5-4cos(1)}


  • מצא את כל הפתרונות של המשוואה z^5=1-i

נמצא את ההצגה הפולארית של 1-i:

r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

\varphi=arctan(-1/1)=-\frac{\pi}{4}

לכן המשוואה היא: z^5=\sqrt{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{4}+2\pi k)

לכן לפי דה מואבר נקבל: z=\sqrt[10]{2} \cdot cis(-\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5})

הפתרונות מתקבלים כאשר נציב k=0...4


2

  • מצא את ההיטל של הוקטור (1,2) על הישר הנפרש על ידי הוקטור (2,2)

נסמן את הוקטור הרצוי בt(2,2). ההפרש בין וקטור זה לבין (1,2) צריך להיות מאונך ל(2,2) לכן נקבל:

0 = (2,2) \cdot ((1,2)-t(2,2)) = (2,2) \cdot (1-2t,2-2t) = 2-4t+4-4t = 6-8t

נקבל t=\frac{3}{4} ואז הוקטור הוא (\frac{3}{2},\frac{3}{2})


  • מצא וקטור המתחיל בראשית בצירים ומאונך לישר שמשוואתו 3x-1=y

נסדר את המשוואה לצורה 3x-y=1. לפי המקדמים נקבל שהוקטור המאונך הוא (3,-1).


  • מצא וקטור מאונך למישור הנפרש על ידי שני הוקטורים (1,2,3),(1,4,5)

נסמן ב(x,y,z). הוקטור מאונך לשני הוקטורים הנתונים לכן מתקיים: x+2y+3z=x+4y+5z=0.

נבחר x=1 ונקבל y=1,z=-1. לכן התשובה היא (1,1,-1)


  • מצא וקטור מאורך אחד, בכיוון הוקטור (1,2,2)

נסמן בt(1,2,2). נחשב את האורך:

1=\sqrt{(t)^2+(2t)^2+(2t)^2}=\sqrt{9t^2}=3t. לכן t=\frac{1}{3} לכן הוקטור הוא: (\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3})


  • מצא נוסחא כללית לוקטור מאורך אחד בכיוון הוקטור u

נסמן את הוקטור הרצוי בt \cdot u. נחשב את האורך: 1=|t \cdot u| = t \cdot |u|.

לכן t=\frac{1}{|u|} לכן הוקטור הרצוי הוא \frac{1}{|u|} \cdot u


  • מצא את משוואת המישור המאונך לוקטור (1,-1,5) ועובר בנקודה (1,1,1)

כל מישור המאונך לוקטור (1,-1,5) הוא מהצורה x-y+5z=D. נציב את הוקטור (1,1,1) ונקבל:

D=5. לכן המישור הרצוי הוא x-y+5z=5.


  • מצא את כל הוקטורים מאורך אחד אשר הזוית בינם לבין הוקטור (1,4) הינה \frac{\pi}{3}. כמה כאלה יש?

נסמן את הוקטור ב(x,y). לפי הנוסחה לזווית בין וקטורים:

cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}=\frac{(x,y)(1,4)}{1\cdot |(1,4)|}=\frac{x+4y}{\sqrt{17}}

נבודד את x: x=-4y+\sqrt{17} /2. ידוע שאורך הוקטור 1 לכן: 1=(-4y+\sqrt{17}/2)^2+y^2=17y^2-4\sqrt{17}y+17/4

יש שני פתרונות: y=\frac{4\pm \sqrt{3}}{2\sqrt{17}}. נמצא את הערכים המתאימים של x:

(\frac{1+4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4-\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})

(\frac{1-4\sqrt{3}}{2\sqrt{17}},\frac{4+\sqrt{3}}{2\sqrt{17}})


  • הוכח עבור וקטורים במישור כי מתקיים אי השיוויון u\cdot v \leq |u||v| (ישירות לפי ההגדרה של מכפלה סקלרית ואורך וקטור).

[רמז: השתמש בזהות הידועה (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab]

ניעזר ברמז: 0 \leq (a-b)^2 = a^2+b^2-2ab לכן לכל a,b ממשיים מתקיים: 2ab \leq a^2+b^2.

נפתח את הביטוי |u \cdot v|^2:

|u \cdot v|^2 = |(u_1,u_2)(v_1,v_2)|^2=|(u_1v_1+u_2v_2)|^2=u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2

נסמן a=u_1v_2,b=u_2v_1 ולפי הרמז נקבל:

u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+2u_1u_2v_1v_2 \leq u_1^2v_1^2+u_2^2v_2^2+u_1^2v_2^2+u_2^2v_1^2=(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)=|u|^2|v|^2

סה"כ קיבלנו: |u \cdot v|^2 \leq |u|^2|v|^2. נוציא שורש משני האגפים ונקבל: |u \cdot v| \leq |u| \cdot |v|

אי שוויון קושי-שוורץ