מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/5/פתרון 5

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מצא את נגזרות הפונקציות הבאות:

  • x^2+cos(x)

לפי נגזרות של פונקציות אלמנטריות: f'(x)=2x-sin(x)


  • e^{cos(x)}

f'(x)=e^{cos(x)}\cdot\Big(cos(x)\Big)'=-e^{cos(x)}sin(x)


  • (x^2+1)^2

f'(x)=2(x^2+1)\cdot(2x)=4x^3+4x


  • (x^2+1)^{10}

f'(x)=10(x^2+1)^9\cdot(2x)=20x(x^2+1)^9


  • \Big(sin(x)+cos(x)\Big)^{11}

f'(x)=11\Big(sin(x)+cos(x)\Big)^{10}\cdot\Big(cos(x)-sin(x)\Big)


  • arctan\Big(\frac{sin(e^x)\cdot ln(cos(x))}{e^x\cdot x^e}\Big)

לאט ובזהירות: פיתרון כאן


  • |x| (זכרו כי באפס הפונקציה אינה גזירה, וחלקו למקרים)

לכל x>0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה f(x)=x. לכן f'(x)=1

לכל x<0: קיימת סביבה של x בה הפונקציה שווה f(x)=-x. לכן f'(x)=-1

סה"כ: f'(x)=\begin{cases}1 & x>0 \\ -1 & x<0\end{cases} (והנגזרת לא מוגדרת בx=0)


  • ln(ln\Big(e^{e^x}\Big))

e^x וln(x) הן פונקציות הופכיות. לכן: ln(e^{f(x)})=f(x).

לכן: ln(ln\Big(e^{e^x}\Big))=ln(e^x)=x. לכן הנגזרת היא 1.


  • x^x (רמז: הוכיחו קודם כי f^g=e^{g\cdot ln(f)})

f^g=(e^{ln(f)})^g=e^{g\cdot ln(f)}. לכן:

x^x=e^{x\cdot ln(x)}. לכן הנגזרת היא:

f'(x)=e^{x\cdot ln(x)} \cdot (x\cdot ln(x))'=e^{x\cdot ln(x)} \cdot(ln(x)+1)=x^x\cdot \Big(ln(x)+1\Big)