מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8

1

קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

• יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

• יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

• לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

• יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

2

הגדרה:

קבוצת וקטורים $v_1,...,v_n$ נקראת תלוייה לינארית אם קיימים סקלרים $a_1,...,a_n\in\mathbb{R}$ כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם $a_1v_1+...+a_nv_n=0$

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים שאינה תלוייה לינארית:

• וקטורים המקיימים $v_1+v_2+...+v_n \neq 0$
  • לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס

• וקטורים המקיימים $0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0$
  • לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)

• וקטורים המקיימים את התנאי- אם $a_1v_1+...+a_nv_n=0$ אזי $a_1=a_2=...=a_n=0$
  • כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים $a_1,...,a_n\in\mathbb{R}$ כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם $a_1v_1+...+a_nv_n=0$, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.

• וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי $a_1v_1+...+a_nv_n=0$
  • לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור $a_1=a_2=...=a_n=0$

3

תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון $C \subseteq A\cup B$.

הוכח/הפרך כל אחת מן הטענות הבאות:

• $C\subseteq A$ או $C \subseteq B$

• אם $C\cap A = \phi$ אזי $C \subseteq B$

• $C\cap A = \phi$ אם ורק אם $C \subseteq B$

• $C\backslash A \subseteq B$

• אם $C=A$ אזי $A\subseteq B$

• $\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B$

• $\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B$