הבדלים בין גרסאות בדף "מרחב ניצב"

מתוך Math-Wiki

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

גרסה מ־12:13, 25 בדצמבר 2012

תוכן עניינים

1 הגדרה
2 תרגילים

הגדרה

יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים $S\subseteq V$ . אזי הקבוצה

S^\perp :=\{v\in V|\forall s\in S:<v,s>=0\}

הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל $S^\perp$ המרחב הניצב ל-S

תרגילים

משפט הפירוק הניצב

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי $U\subseteq V$ תת מרחב הוכיחו כי $U\oplus U^\perp = V$

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:

א. $\{0\}^\perp=V$

ב. $V^\perp = \{0\}$

ג. אם $S_1\subseteq S_2\subseteq V$ אזי $S_2^\perp\subseteq S_1^\perp$

ד. לכל קבוצה $S\subseteq V$ מתקיים $\Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp$

פתרון:

א.

$\{0\}^\perp = \{v\in V|<v,0>=0\}=V$

ב.

$V^\perp = \{w\in V|\forall v\in V:<w,v>=0\}$

אם כך, נניח $w\in V^\perp$ , כיוון $w\in V$ מתקיים ביחד $<w,w>=0$ ולפי אי שליליות $w=0$

לכן סה"כ $V^\perp=\{0\}$

ג.

נניח $w\in S_2^\perp$ לכן לכל $s\in S_2$ מתקיים $<s,w>=0$ .

לכן בפרט, לכל $s\in S_1$ מתקיים $s\in S_2$ ולכן $<s,w>=0$ ולכן $w\in S_1^\perp$

ד.

כיוון ש $S\subseteq span(S)$ , לפי סעיף קודם ברור כי $span(S)^\perp \subseteq S^\perp$ .

כעת, אם $w\in S^\perp$ אזי לכל צירוף לינארי $a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S)$ מתקיים

<a_1s_1+...+a_kS_k,w>=a_1<s_1,w>+...+a_k<s_k,w>=0

כלומר $w\in span(S)^\perp$ ולכן גם $span(S)^\perp \supseteq S^\perp$

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו $U,W\subseteq V$ תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:

א. $(U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp$

ב. $(U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp$

ג. $(U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp$

3

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו $U,W\subseteq V$ תתי מרחבים כך ש $U\oplus W = V$ . הוכיחו/הפריכו $U^\perp = W$

הפרכה: $U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\}$

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=מרחב_ניצב&oldid=30359