שינויים

תהי <math>a_n</math> סדרה חיובית, מונוטונית, השואפת לאפס. אזי: *הטור <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n</math> מתכנס*השארית <math>R_k=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^na_n-\sum_{n=1}^k (-1)^na_n</math> מקיימת <math>|R_k|\leq le |a_{k+1}|</math>

נוכיח כי סדרה הסכומים החלקיים של הטור הינה הנה סדרת קושי, ועל כן הטור מתכנס.

יהי אפסילון גדול מאפס<math>\epsilon>0</math>, צריך למצוא מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים אברים קטן מאפסילוןמ- <math>\epsilon</math> .

*<math>\Big|S_m-S_n\Big|=\bigg|(-1)^ma_m+...\cdots+(-1)^{n+1}a_{n+1}\bigg|=\bigg|a_m-a_{m-1}+a_{m-2}-...\cdots\bigg| </math> נראה כי כל איבר "בולע" את קודמיו, לפי המונוטוניות של הסדרה: ::<math>-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}<0</math>

 ::<math>a_{m-2}-a_{m-1}<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}+0</math> 

 ::<math>0<a_m-a_{m-1}+a_{m-2}<a_{m-2}</math> 

::<math>|S_mוכיון ש-S_n|<a_{n+1}</math>  וכיוון ש<math>a_n</math> שואפת לאפס, החל ממקום מסויים מסוים זה קטן מאפסילון מ- <math>\epsilon</math> (ללא תלות ב-<math>m</math>).

לפי טיעון דומה, :<math>|R_k|=\displaystyle\sum_lim_{K\to\infty}\left|\sum\limits_{n=k+1}^K (-1)^na_n|=|a_{k+1}-a_{k+2}+a_{k+3}-...\right|\leq le a_{k+1}</math> ולכן

::כפי שרצינו. <math>|R_k|=\lim_{K\rightarrow \infty}|\sum_{n=k+1}^K (-1)^na_n|\leq a_{k+1}blacksquare</math>