גרסה מ־17:32, 4 במאי 2011

את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

תוכן עניינים

1 האינטגרל לפי רימן (המשך)
- 1.1 משפט 12 (המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)

האינטגרל לפי רימן (המשך)

משפט 12 (המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)

תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע $[a,b]$ .

לכל $x\in[a,b]$ נגדיר $A(x)=\int\limits_a^x f$ . אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב- $[a,b]$ ולכל $x_0\in[a,b]$ שבה f רציפה A גזירה כך ש- $A'(x_0)=f(x_0)$ .
נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-f רציפה בכל הקטע $[a,b]$ . אם F קדומה ל-f אז $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)$ .

הוכחה

כיוון ש-f אינטגרבילית ב- $[a,b]$ משפט 9 נותן שלכל $x\in[a,b]$ f אינטגרבילית בקטע $[a,x_0]$ ולכן $A(x)=\int\limits_a^x f$ מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: $|f(x)|\le M$ לכל $x\in[a,b]$ . כעת אם $x,y\in[a,b]$ אז $|A(y)-A(x)|=\left|\int\limits_a^y f-\int\limits_a^x f\right|=\left|\int\limits_x^y f\right|\le M|y-x|$ ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה $x_0\in[a,b]$ . ר"ל A גזירה שם. ובכן $A(x_0+\Delta x)-A(x_0)=\int\limits_a^{x_0+\Delta x} f-\int\limits_a^{x_0} f=\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f$ ולכן $\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f$ . נעיר ש- $\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0)\Delta x$ (כי $f(x_0)$ פונקציה קבועה). לכן $f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)$ . מכאן ש- $\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big(f(t)-f(x_0)\Big)\mathrm dt$ . נותר להוכיח שכאשר $\Delta x\to0$ אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש-f רציפה ב- $x_0$ קיים $\delta>0$ כך שאם $|t-x_0|<\delta$ אז $|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$ . כעת נניח ש- $|\Delta x|<\delta$ . אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין $x_0$ ל- $x_0+\Delta x$ ולכן כל t בקטע זה מקיים $|t-x_0|<\Delta x$ . נובע שלכל t בקטע $|f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$ . יוצא שאם $|\Delta x|\le\delta$ אז $\left|\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)\right|=\left|\frac1{\Delta x}\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}(f(t)-f(x_0))\mathrm dt\right|<\frac1{|\Delta x|}|\Delta x|\varepsilon$ . הדבר אפשרי לכל $\varepsilon>0$ , לכן $\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}-f(x_0)=0$ ז"א $A'(x_0)$ קיים ושווה ל- $f(x_0)$ . $\blacksquare$
נתון ש-f רציפה בכל $[a,b]$ . לפי החלק הקודם $\forall x\in[a,b]:\ A'(x)=f(x)$ , כלומר A קדומה ל-f ב- $[a,b]$ . קיים קבוע c כך ש- $F(x)=A(x)+c$ לכל $x\in[a,b]$ . מכאן ש- $F(b)-F(a)=A(b)+c-\Big(A(a)+c\Big)=A(b)-A(a)=\int\limits_a^b f-\int\limits_a^a f=\int\limits_a^b f$ . $\blacksquare$

מסקנה

אם f רציפה בקטע $[a,b]$ אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב- $[a,b]$ .

הוכחה

כיוון ש-f רציפה בקטע $[a,b]$ כולו מתקיים $A(x)=\int\limits_a^x f$ קדומה ל-f ב- $[a,b]$ .

דוגמאות

$f(x)=e^{x^2}$ . זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל $\mathbb R$ , ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
$e^{x^n}$ כאשר $1<n\in\mathbb N$
$\frac{\sin(x)}x$
$\sin(x^n)$
$\cos(x^n)$

תרגילים לחידוד

נגדיר $F(x)=\int\limits_2^x e^{t^3}\mathrm dt$ . נמצא את $F'(x)$ : לפי חלק א של משפט 12 מתקיים $F'(x)=e^{x^3}$ . $\blacksquare$
נגדיר $G(x)=\int\limits_{x^2}^{\sin(x)} e^{t^3}\mathrm dt$ . נמצא את $G'(x)$ : נגדיר $F(x)=\int\limits_0^x e^{t^3}\mathrm dt$ ולכן $F'(x)=e^{x^3}$ . לפי זה $G(x)=F(\sin(x))-F(x^2)$ ולפיכך, ע"פ כלל השרשרת, $G'(x)=F'(\sin(x))\cos(x)-F'(x^2)\cdot2x=e^{\sin^3(x)}\cos(x)-2xe^{x^6}$ . $\blacksquare$

גרף (1)

הגדרה: עבור $f(x)\ge0$ רציפה ב- $[a,b]$ נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י $\int\limits_a^b f$ . לפי זה, אם $f(x)\le0$ ב- $[a,b]$ אז $\int\limits_a^b f$ = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" (גרף (2)). אם f מחליפה סימן (גרף (3)) אז $\int\limits_a^b f$ = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לצייר ה-x ולכן $\int\limits_a^b |f|$ = השטח בין הגרף לציר ה-x.

דוגמת חישוב

גרף (4)

כאן ברור שהשטח בין הגרפים הוא $\int\limits_a^b f-g$ , ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש- $f(x)\ge g(x)$ ב- $[a,b]$ .

למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים $y=\sin(x)$ ו- $y=\cos(x)$ בקטע $\left[0,\tfrac\pi2\right]$

גרף (5)

בקטע

\left[0,\tfrac\pi4\right]

מתקיים

\cos(x)\ge\sin(x)

ובקטע

\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]

מתקיים

\cos(x)\le\sin(x)

. לכן השטח הוא

\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}

$\blacksquare$

גרסה מ־14:22, 2 במרץ 2011 (הצגת מקור) 89.139.218.143 (שיחה) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה מ־17:32, 4 במאי 2011 (הצגת מקור) אור שחף (שיחה \| תרומות) מ מעבר להשוואת הגרסאות הבאה ←
שורה 1:		שורה 1:
−	{{הערה\|את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11#~~משפט 11 (תכונות האינטגרל)~~\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}	+	{{הערה\|את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11#continue\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

	=האינטגרל לפי רימן {{הערה\|(המשך)}}=		=האינטגרל לפי רימן {{הערה\|(המשך)}}=

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11"

גרסה מ־17:32, 4 במאי 2011

תוכן עניינים

האינטגרל לפי רימן (המשך)

משפט 12 (המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)

הוכחה

מסקנה

הוכחה

דוגמאות

תרגילים לחידוד

דוגמת חישוב

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים