גרסה מ־14:24, 5 במאי 2011

את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

תוכן עניינים

1 אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)
2 אינטגרל לא אמיתי, סוג II

אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג $\int\limits_a^\infty f$ . כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: $\int\limits_{-\infty}^b f$ . כמובן שאפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל $\mathbb R$ . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי $[a,b]$ . למשל, אם f רציפה למקוטעין ב- $\mathbb R$ אז היא אינטגרבילית מקומית.

תזכורת: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית. הגדרנו $\int\limits_{-\infty}^\infty f$ להיות $\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f$ בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש- $\int\limits_{-\infty}^\infty f$ מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר $b>a$ ונבדוק את שתי הטענות הבאות:

שני האינטגרלים $\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f$ מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים $\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f$ מתכנסים.
עפ"י משפט 2 $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם $\int\limits_b^\infty f$ מתכנס. באותו אופן $\int\limits_{-\infty}^b f$ מתכנס אם"ם $\int\limits_{-\infty}^a f$ מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים $\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f$ אז הם שווים ל- $\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f$ .
ובכן עפ"י משפט 2 $\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f$ וגם $\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f$ . נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי, סוג II

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע $(a,b]$ . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש- $a<c<b$ f אינטגרבילית בקטע $[c,b]$ (למשל, אם f רציפה למקוטעין ב- $(a,b]$ ). לכן נגדיר $\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f$ אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל $\int\limits_a^b f$ מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע $(a,b]$ . אם אין גבול אומרים ש- $\int\limits_a^b f$ מתבדר.

דוגמאות

נקח $p>0$ ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי $\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}$ . עבור $p=1$ נקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty$ והאינטגרל מתבדר. עבור $p\ne1$ נקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_{x=R}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}\end{cases}$ .
$\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}$ . נציב $y=\ln(x)$ וכן $\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x$ לקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^{\ln\left(\frac12\right)}\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to0^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}$ כלומר מתכנס.
דרך כתיבה מקוצרת: $\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_{x=0}^1=2$ .

לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.

הנחה קבועה: למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב- $(a,b]$ .

משפט 1

אם f ו-g אינטגרביליות ב- $(a,b]$ ואם c קבוע אז $f+cg$ אינטגרבילית בקטע $(a,b]$ ומתקיים $\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$ .

משפט 2

עבור $a<c<b$ f אינטגרבילית בקטע $(a,b]$ אם"ם היא אינטגרבילית בקטע $(a,c]$ ואם כן $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$ .

משפט 3

תהי f מוגדרת ומונוטונית בקטע $(a,b]$ אזי $\lim_{x\to a^+} f(x)$ קיים אם"ם f חסומה בקטע $(a,b]$ .

משפט 4

אם $f(x)\ge0$ אז האינטגרל $\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_c^b f$ חסומים כאשר $c\to a^+$ .

משפט 5 (מבחן ההשוואה)

נניח שב- $(a,b]$ מתקיים $0\le f(x)\le g(x)$ .

אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.
אם $\int\limits_a^b f$ מתבדר אז $\int\limits_a^b g$ מתבדר.

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)

נניח ש- $f(x),g(x)\ge0$ ונניח שקיים ממש $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}$ . אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

מסקנה

אם בפרט $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0$ אז $\int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f$ מתכנסים ומתבדרים יחדיו.

משפט 7

האינטגרל $\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon$

משפט 8

אם $\int\limits_a^b f$ מתכנס בהחלט אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה $[a,b)$ (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים $\int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f$ ). כמו כן, אם f מוגדרת ב- $(a,b)$ ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדרים $\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$ עבור $c\in(a,b)$ כלשהו ונאמר ש- $\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם שני האינטגרלים $\int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f$ מתכנסים.

אם f מוגדרת ב- $[a,b]$ למעט איזו נקודת בייניים $c\in(a,b)$ שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר $\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$ כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

@@ שורה 26: / שורה 26: @@
 לגבי משפטי התכנסות יש אנלוגיות למשפטים שהוכחנו עבור אינטגרל לא אמיתי מסוג ראשון. נרשום אותם ללא הוכחה.
+'''הנחה קבועה:''' למעט במשפטים 1,3 הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית ב-<math>(a,b]</math>.
 ==משפט 1==
 אם f ו-g אינטגרביליות ב-<math>(a,b]</math> ואם c קבוע אז <math>f+cg</math> אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^bf+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g</math>.
 ==משפט 2==
-נניח ש-<math>a<c<b</math> ו-f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math>. אזי f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
+עבור <math>a<c<b</math> f אינטגרבילית בקטע <math>(a,b]</math> אם"ם היא אינטגרבילית בקטע <math>(a,c]</math> ואם כן <math>\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math>.
 ==משפט 3==
@@ שורה 36: / שורה 38: @@
 ==משפט 4==
-עבור f אינטגרבילית מקומית ב-<math>(a,b]</math> כך ש-<math>f(x)\ge0</math> האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
+אם <math>f(x)\ge0</math> אז האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_c^b f</math> חסומים כאשר <math>c\to a^+</math>.
 ==משפט 5 {{הערה|(מבחן ההשוואה)}}==
-נניח שב-<math>(a,b]</math> הפונקציות f,g אינטגרביליות מקומית וכן <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
+נניח שב-<math>(a,b]</math> מתקיים <math>0\le f(x)\le g(x)</math>.
 * אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
 * אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתבדר אז <math>\int\limits_a^b g</math> מתבדר.
+<span id="continue"><!--נא לא למחוק span זה--></span>{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11|הרצאה שאחריה]]:}}
+==משפט 6 {{הערה|(מבחן ההשוואה הגבולי)}}==
+נניח ש-<math>f(x),g(x)\ge0</math> ונניח שקיים ממש <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}</math>. אם <math>\int\limits_a^b g</math> מתכנס אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
+===מסקנה===
+אם בפרט <math>\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}>0</math> אז <math>\int\limits_a^b g,\int\limits_a^b f</math> מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
+==משפט 7==
+האינטגרל <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי: <math>\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon</math>
+==משפט 8==
+אם <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס בהחלט אז <math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס.
+----
+באופן דומה יש אנלוגיות לכל המשפטים האלה עבור קטעים מהצורה <math>[a,b)</math> (ז"א הפונקציה לא חסומה בסביבת b במקום בסביבת a. במקרה כזה מגדירים <math>\int\limits_a^b f:=\lim_{R\to b^-}\int\limits_a^R f</math>). כמו כן, אם f מוגדרת ב-<math>(a,b)</math> ולא חסומה בסביבת שני הקצוות מגדרים <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> עבור <math>c\in(a,b)</math> כלשהו ונאמר ש-<math>\int\limits_a^b f</math> מתכנס אם"ם שני האינטגרלים <math>\int\limits_a^c f,\int\limits_c^b f</math> מתכנסים.
+אם f מוגדרת ב-<math>[a,b]</math> למעט איזו נקודת בייניים <math>c\in(a,b)</math> שסביבה f אינה חסומה, אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f:=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f</math> כך ששני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11"

גרסה מ־14:24, 5 במאי 2011

תוכן עניינים

אינטגרל לא אמיתי, סוג I (המשך)

אינטגרל לא אמיתי, סוג II

דוגמאות

משפט 1

משפט 2

משפט 3

משפט 4

משפט 5 (מבחן ההשוואה)

משפט 6 (מבחן ההשוואה הגבולי)

מסקנה

משפט 7

משפט 8

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים