תוכן עניינים

1 משפט 10
- 1.1 הוכחה
- 1.2 הערות ודוגמאות
2 אינטגרל לא אמיתי מסוג שני

משפט 10

הוכחה

לכל N מתקיים $\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n-1})+S_Nb_N$ . נשאיף $N\to\infty$ אזי $\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0$ . נותר להוכיח ש- $\lim_{n=1}^\infty s_n(b_n-b_{n-1})$ מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט. נסמן c כ-1 אם $\{b_n\}/math> יורדת ו-<math>-1$ אחרת: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sum_{n=1}^\infty |S_n||b_n-b_{n+1}|\le\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})|c|=|\pm1|M\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})=M(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n})=Mb_1\in\mathbb R

כלומר הסכום מתכנס.  $\blacksquare$

הערות ודוגמאות

משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר $a_n=(-1)^{n+1}$ (ולכן הסכומים החלקיים חסומים) ולכן עבור $b_n$ מונוטונית יורדת שואפת לאפס מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sum_{n=1^\infty a_n b_n

, שהוא טור לייבניץ, הטור מתכנס.

נניח ש- $\{b_n\}$ יורדת לאפס ונראה שהטור $\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n$ מתכנס. נגדיר $a_n=\cos(n)$ ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים $\sum_{n=1}^N a_n$ חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש- $\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)$ . לפי זה לכל n מתקיים $\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)$ . לכן $\sum_{n=1}^\infty\cos(n)=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^\infty\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))=\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}-\frac12\le\frac12\frac1{\sin(1/2)}+\frac12$ .

תזכורת: עד כאן דיברנו רק על אינטגרלים מהסוג $\int\limits_a^\infty f$ . כמובן שיש מקבילית גמורה לאינטגרלים האלה: $\int\limits_{-\infty}^b f$ . כאשר f אינטגרבילית מקומית ב- $(-\infty,b]$ מגדירים $\int\limits_{-\infty}^b f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_{-R}^b f$ ואפשר לתרגם את כל המשפטים שלנו למקרה זה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בכל $\mathbb R$ . נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי $[a,b]$ . למשל אם f רציפה למקוטעין ב- $\mathbb R$ אז היא אינטגרבילית מקומית.

הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- $\mathbb R$ . נגדיר $\int\limits_{-\infty}^\infty f$ להיות $\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f$ בתנאי ששני האינטגרלים התכנסים. אם אפילו אחד מהם מתבדר נאמר ש- $\int\limits_{-\infty}\infty f$ מתבדר. נבדוק שההגדרה בלתי תלוייה ב-a. ובכן בה"כ נבחר $b>a$ ונבדוק:

שני האינטגרלים $\int\limits_{-\infty}^a f,\int\limits_a^\infty f$ מתכנסים אם"ם שני האינטגרלים $\int\limits_{-\infty}^b f,\int\limits_b^\infty f$ מתכנסים. אבל עפ"י משפט 2 $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם $\int\limits_b^\infty f$ מתכנס. באותו אופן $\int\limits_{-\infty}^b f$ מתכנס אם"ם $\int\limits_{-\infty}^a f$ מתכנס, לכן הטענה מתקיימת.
נוכיח שבמקרה שהאינטגרלים מתכנסים $\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f$ אז הם שווים ל- $\int\limits_{-\infty}^b f+\int\limits_{-\infty}^b f$ . ובכן עפ"י משפט 2 $\int\limits_{-\infty}^b f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^b f$ וגם $\int\limits_b^\infty f=\int\limits_a^\infty f-\int\limits_a^b f$ . נחבר את התוצאות ונקבל את הטענה.

אינטגרל לא אמיתי מסוג שני

מדובר באינטגרל על קטע סגור של פונקציה לא חסומה.

הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע $(a,b]$ . נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל c כך ש- $a<c<b$ f אינטגרבילית בקטע $[c,b]$ (למשל אם f רציפה למקוטעין ב- $(a,b]$ ).

אז נגדיר $\int\limits_a^b f=\lim_{R\to a^+}\int\limits_R^b f$ אם הגבול קיים. אם כן אומרים שהאינטגרל $\int\limits_a^b f$ מתכנס או ש-f אינטגרבילית בקטע $(a,b]$ . אם אין גבול אומרים ש- $\int\limits_a^b f$ מתבדר.

דוגמאות

נקח $p>0$ ונתבונן באינטגרל הלא אמיתי $\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{x^p}$ . עבור $p=1$ נקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}x=\lim_{R\to0^+}[\ln|x|]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}-\ln(R)=\infty$ והאינטגרל מתבדר. עבור $p\ne1$ נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \lim_{R\to0^+}\int\limits_R^1\frac{\mathrm dx}{x^p}=\lim_{R\to0^+}[\frac{x^{-p+1}}{x^{-p+1}}]_{x\to R^+}^1=\lim_{R\to0^+}\frac1{1-p}-\frac{R^{-p+1}}{-p+1}=\begin{cases}\frac1{1-p}&p<1\\\infty&\text{else}

.

$\int\limits_0^\frac12\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^2}$ . נציב $y=\ln(x)$ וכן $\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}x$ לקבל $\lim_{R\to0^+}\int\limits_{\ln(R)}^\frac12\frac{\mathrm dy}{y^2}=\lim_{R\to^+}-\frac1{\ln(1/2)}+\frac1{\ln(R)}=-\frac1{\ln(1/2)}$ כלומר מתכנס.
דרך קצרה: $\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}\sqrt x=\int\limits_0^1 x^{-\frac12}\mathrm dx=\left[\frac{x^{1/2}}{1/2}\right]_0^1=2$ .