הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11"

גרסה מ־11:13, 2 במאי 2011

תוכן עניינים

1 משפט 7
2 =הוכחה
- 2.1 מסקנה
  - 2.1.1 הוכחה
3 משפט 8
- 3.1 הוכחה
4 דוגמאות
5 משפט 9 (מבחן דיריכלה)
- 5.1 הוכחה
6 משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)

משפט 7

תהי F מוגדרת בקטע $[a,\infty)$ אז $\lim_{x\to\infty}F(x)$ קיים ממש אם"ם F מקיימת את תנאי קושי ב- $[a,\infty)$ .

=הוכחה

אם ידוע ש- $\lim_{x\to\infty}F(x)=L\in\mathbb R$ קל לקיים את תנאי קושי וכבר עשינו זאת. לצד השני נניח שתנאי קושי מתקיים עבור F. תחילה נראה ש-F חסומה ב- $[a,\infty)$ . מתנאי קושי נובע שקיים $b>a$ כך שלכל $x_2\ge b$ , $|F(x_2)-F(b)|<1$ . מכאן שלכל $x_2>b$ $|F(x_2)|\le|F(b)|+1$ . לכן F חסומה בקטע $[b,\infty)$ . כעת נתבונן בסדרת הערכים $F(b),F(b+1),F(b+2),\dots$ . זאת סדרה חסומה. עפ"י בולצאנו וירשטרס קיימת לה תת סדרה מתכנסת $F(b+n_k)_{k=1}$ כאשר $\lim_{k\to\infty}F(b+n_k)$ קיים ונקרא לו L. טענה: $\lim_{x\to\infty}F(x)$ קיים ושווה ל-L. הוכחה: יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש- $L=\lim_{k\to\infty}F(b+n_k)$ קיים $k_0\in\mathbb N$ כך שלכל $k>k_0$ , $|F(b+n_k)|<\varepsilon/2$ . כמו כן, עפ"י תנאי קושי קיים $c>a$ כך שאם $x_2>x_1>c$ אז $|F(x_2)-F(x_1)|<\varepsilon/2$ . נגדיר $d=\max\{c,n_{k_0}\}$ . צ"ל: לכל $x>d$ , $|F(x)-L|\varepsilon/2$ , מה שגורר $\lim_{x\to\infty}F(x)=L$ . ובכן אם $x>d$ נוכל לבחור $k>k_0$ כך ש- $b+n_k>x>d$ (כי $b+n_k\xleftarrow[k\to\infty]{}\infty$ ). כעת לפי הבניה שלנו $|f(x)-L|\le|F(x)-F(b+n_k)|+|F(b+n_k)-L|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$ . נובע ש- $\lim_{x\to\infty}F(x)=L$ . $\blacksquare$

מסקנה

תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- $[a,\infty)$ . אזי האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \in\limits_a^\infty f

מתכנס אם"ם האינטגרל מקיים את תנאי קושי: לכל  $\varepsilon>0$  קיים  $x_0>a$  כך שאם  $x_2>x_1>x_0$  אז  $|\int\limits_{x_1}^{x_2} f|<\varepsilon$ .

הוכחה

לכל $x>a$ נגדיר $F(x)=\int\limits_a^x f$ . לפי ההגדרה $\lim_{x\to\infty}F(x)$ מתכנס אם"ם $\int\limits_a^x f$ מתכנס...

הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב- $[a,\infty)$ נאמר ש- $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס בהחלט אם $\int\limits_a^\infty|f|$ מתכנס. אם האינטגרל מתכנס לא בהחלט נאמר שהוא מתכנס בתנאי.

משפט 8

תהי f מוגדר ואינטגרבילית מקומית ב- $[a,\infty)$ . אם $\int\limits_a^\infty|f|$ אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס. במילים: אם f אינטגרבילית בהחלט ב- $[a,\infty)$ אז f אינטגרבילית שם.

הוכחה

לפי המסקנה למשפט 7 מספיק להוכיח ש- $\int\limits_a^\infty f$ מקיים את תנאי קושי. לצורך זה יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש- $\int\limits_a^\infty|f|$ מתכנס אז הוא מקיים את תנאי קושי וקיים $x_0<a$ כך שאם $x_2>x_1>x_0$ אז $\int\limits_{x_1}^{x_2}|f|<\varepsilon$ . נובע מיד ש- $\left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|\le\int\limits_{x_1}^{x_2}|f|<\varepsilon$ . קיימנו את תנאי קושי ל- $\int\limits_{x_1}^{x_2}f$ ולכן הוא מתכנס. $\blacksquare$ גישה אחרת: נגדיר $f^+(x)=\begin{cases}f(x)&f(x)\ge0\\0&\text{else}\end{cases}$ וכן $f^-(x)=\begin{cases}0&-f(x)>0\\f(x)&\text{else}\end{cases}$ . לכן $f^+(x),f^-(x)$ לא שליליות. בודקים שלכל x $f(x)=f^+(x)-f^-(x)$ וכן $|f(x)|=f^+(x)+f^-(x)$ . (גאומטרית: $\int\limits_a^b f^+$ השטח שמעל ציר ה-x ו- $\int\limits_a^b f^-$ השטח שמתחת) כעת אם נתון ש-עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty|f|

מתכנס. מבחן ההשוואה אומר שכיוון ש- $0\le f^+(x),f^-(x)\le|f(x)|$  ...

עכשיו נובע ממשפט 1 ש- $\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^\infty(f^+-f^-)=\int\limits_a^\infty f^+-\int\limits_a^\infty f^-$ ...

דוגמאות

...
נבנה דוגמאות של f מוגדרת ורציפה ב- $[1,\infty)$ כך ש- $\int\limits_1^\infty f$ מתכנס אעפ"י ש- $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ , ולהיפך: $\sum_{n=1}^\infty f(n)$ מתכנס ואילו $\int\limits_1^\infty f$ מתבדר. ובכן אם $f(x)=\sin(\pi x)$ אז $\int\limits_0^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_0^R\sin(\pi x)\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}\left[\frac{-\cos(\pi x)}\pi\right]_{x=0}^R$ ואין גבול. לכל האינטגרל מתבדר. לעומת זאת, $\sum_{n=0}^\infty\sin(\pi n)=\sum_{n=0}^\infty 0=0$ , שבוודאי מתכנס. לצד השני נגדיר f ע"י גרף (יטופל בהמשך) moveTo(1/2,0);lineTo(1,1);lineTo(3/2,0);lineTo(7/4,0);lineTo(2,1);lineTo(9/4,0);lineTo(25/8,0);...

משפט 9 (מבחן דיריכלה)

נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב- $[a,\infty)$ ונניח שהאינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^b f$ חסומים כאשר $b\to\infty$ . ז"א קיים $M>0$ כך שלכל $b>a$ $|\int\limits_a^b f|\le M$ . עוד נניח ש-g מוגדרת, מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב- $[a,\infty)$ ו- $\lim_{x\to\infty} g(x)=0$ אזי $\int\limits_a^\infty f(x)g(x)\mathrm dx$ מתכנס.

הוכחה

לכל $x>a$ נגדיר $F(x)=\int\limits_a^x f$ . כיוון ש-f רציפה המשפט היסודי אומר ש- $F'(x)=f(x)$ לכל $x>a$ . יתר על כן, הנתונים שלנו גוררים שלכל $x>a$ $|f(x)|\le M$ . כעת $\int\limits_a^\infty f\cdot g=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^Rf\cdot g=\lim_{R\to\infty}\left[F(x)g(x)\right]_{x=a}^R-\int\limits_a^\infty F\cdot g'$ . נראה שלכל אחד מהביטויים הנ"ל יש גבול כאשר $R\to\infty$ . ובכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \lim_{R\to\infty} [F(x)g(x)]_{x=a]^R=\lim_{R\to\infty} \underbrace{F(R)}_\text{bounded}\underbrace{g(R)}_{\to0}-\underbrace{F(a)}_0g(a)=0 . נותר להוכיח שקיים $\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R F\cdot g'$ . ז"א צריך להוכיח שהאינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limit_a^\infty F\cdot g'

מתכנס עפ"י משפט 8 מספיק להראות שהאינטגרל הזה מתכנס בהחלט. נתון ש-g מונוטונית ולכן  $g'(x)\ge0$  לכל  $x\ge a$  או  $x\le0$  לכל  $x\ge a$ . כמקרה ראשון נניח ש- $\forall x\ge a:\ g'(x)\ge0$ . יוצא שלכל  $x>a$  מתקיים  $0\le|F(x)g'(x)|=|F(x)|g'(x)\le Mg'(x)$  ושהאינטגרל של  $Mg'(x)$  הוא  $\int\limits_a^\infty Mg'=[Mg'(x)]_{x=a}^\infty=0-Mg(a)$  כי נתון ש- $\lim_{x\to\infty} g(x)=0$  בסיכון הראנו ש- $\int\limits_a^\infty Mg'$  מתכנס. ממבחן ההשוואה נסיק שמתכנס  $\int\limits_a^\infty |F|g'$  ולכן מתכנס  $\int\limits_a^\infty Fg'$ . לכן קיים  $\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R Fg'$  וסיימנו את ההוכחה.  $\blacksquare$

דוגמה: לכל $\alpha>0$ $\int\limits_1^\infty\frac{\sin(x)}{x^\alpha}\mathrm dx$ . הוכחה: נגדיר $f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=\frac1{x^\alpha}$ . אז ל-f יש אינטגרלים חלקיים חסומים: $|\int\limits_1^b f|=|\int\limits_1^b \sin|=|[-\cos(x)]_{x=1}^b|=|-\cos(b)+\cos(1)|\le2$ . יתר על כן $g(x)=\frac1{x^\alpha}$ פונקציה מונוטונית יורדת ובעלת נגזרת רציפה עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \alphax לא מוכרת): -\alphax^{-\alpha-1}

בקטע  $[1,\infty)$  מתקיים  $\lim_{x\to\infty} g(x)=...$

ז"א $\int\limits_1^\infty\left|\frac{\sin(x)}x\right|\mathrm dx=\infty$ אבל לכל $1\le x$ $0\le\frac{\sin^2(x)}x\le\left|\frac{\sin(x)}x\right|$ כי $|\sin(x)|\le1$ ולכן $\sin^2(x)\le|\sin(x)|$ ואילו $x>1$ ולא מושפע ע"י הערך המוחלט. עפ"י מבחן ההשוואה מספיק להוכיח ש- $\int\limits_1^\infty \frac{\sin^2(x)}x\mathrm dx$ מתבדר. אמנם $\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2$ ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \limit לא מוכרת): \int\limits_1^\infty\frac{\sin^2(x)}x\mathrm dx=\int\limit_1^\infty\frac{1-\cos(2x)}{2x}\mathrm dx

שמתכנס עפ"י דיריכלה באותו נימוק כמו זה שהבאנו לאינטגרל  $\int\limits_1^\infty\frac{\sin(x)}x\mathrm dx$  וכידוע  $\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{2x}$  מתבדר ל- $+\infty$ .

נוכיח בדרך השלילה שהאינטגרל שלנו $\int\limits_1^\infty\frac{1-\cos(2x)}{2x}\mathrm dx$ מתבדר. ובכן אם הוא מתכנס אז משפט אחד אומר ש- $\int\limits_1^\infty\left(\frac{1-\cos(x)}{2x}+\frac{\cos(2x)}{2x}\right)\mathrm dx$ הוא סכום של אינטגרלים מתכנסים ולכן מתכנס. אבל סכום זה הוא $\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{2x}$ שמתבדר. הסתירה מוכיחה את הטענה.

כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום $\sum_{n=1}^N a_nb_n$ ונגדיר סכומים חלקיים $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$ אז $\forall n:\ a_n=S_n-S_{n-1}$ . אם כן $\sum_{n=1}^N a_nb_n=S_1b_1+(S_2-S_1)b_2+(S_3-S_2)b_3+\dots+(S_N-S_{N-1})b_N=S_1(b_1-b_2)+S_2(b_2-b_3)+\dots+S_{N-1}(b_{N-1}-b_N)+S_nb_N$ . ז"א $\sum_{n=1}^Na_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N$ - סכימה בחלקים.

משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)

נניח שלטור $\sum_{n=1}^N a_n$ יש סכומים חלקיים $S_N$ חסומים (כלומר $|S_N|\le M$ ). עוד נניח ש- $\{b_n\}$ סדרה מונוטונית כך ש- $b_n\to0$ . אז $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ מתכנס.

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

הוכחה

לכל N מתקיים $\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N$ . נשאיף $N\to\infty$ אזי $\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0$ . נותר להוכיח ש- $\sum_{n=1}^\infty S_n(b_n-b_{n+1})$ מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט.

נסמן c כ-1 אם $\{b_n\}$ יורדת ו- $-1$ אחרת:	$\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})c$	$\le$	$\sum_{n=1}^\infty\vert S_n\vert\vert b_n-b_{n+1}\vert$
	$cM\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})$	$=$
הטור טלסקופי.	$cM(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n)$	$=$
	$cMb_1$	$=$

כלומר הסכום מתכנס. $\blacksquare$

הערה

משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר $a_n=(-1)^{n+1}$ (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור $b_n$ מונוטונית יורדת שואפת לאפס הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ , שהוא טור לייבניץ, מתכנס.

דוגמה

נניח ש- $\{b_n\}$ יורדת לאפס ונראה שהטור $\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n$ מתכנס. נגדיר $a_n=\cos(n)$ ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים $\sum_{n=1}^N a_n$ חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש- $\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)$ . לפי זה לכל n מתקיים $\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)$ . לכן

	$\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^N\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))$	$=$	$\sum_{n=1}^N\cos(n)$
הטור טלסקופי, לכן:	$-\frac12\frac{\sin(1-1/2)}{\sin(1/2)}+\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}$	$=$
	$-\frac12+\frac12\frac1{\sin(1/2)}$	$\le$

\blacksquare

@@ שורה 35: / שורה 35: @@
 כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n</math> ונגדיר סכומים חלקיים <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math> אז <math>\forall n:\ a_n=S_n-S_{n-1}</math>. אם כן <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=S_1b_1+(S_2-S_1)b_2+(S_3-S_2)b_3+\dots+(S_N-S_{N-1})b_N=S_1(b_1-b_2)+S_2(b_2-b_3)+\dots+S_{N-1}(b_{N-1}-b_N)+S_nb_N</math>. ז"א <math>\sum_{n=1}^Na_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> - סכימה בחלקים.
 ==משפט 10 {{הערה|(משפט דיריכלה לטורים)}}==
-נתון <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math>. נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים חסומים <math>|S_N|\le M</math> עוד נניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אז <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
+נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים <math>S_N</math> חסומים (כלומר <math>|S_N|\le M</math>). עוד נניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אז <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math> מתכנס.
+{{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11|הרצאה שאחריה]]:}}
+===הוכחה===
+לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math>. נשאיף <math>N\to\infty</math> אזי <math>\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0</math>. נותר להוכיח ש-<math>\sum_{n=1}^\infty S_n(b_n-b_{n+1})</math> מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט.
+{|
+{{=|l=\sum_{n=1}^\infty\vert S_n\vert\vert b_n-b_{n+1}\vert
+   |o=\le
+   |r=\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})c
+   |c=נסמן c כ-1 אם <math>\{b_n\}</math> יורדת ו-<math>-1</math> אחרת:
+}}
+{{=|r=cM\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})
+}}
+{{=|r=cM(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n)
+   |c=הטור טלסקופי.
+}}
+{{=|r=cMb_1
+}}
+|}
+כלומר הסכום מתכנס. {{משל}}
+===הערה===
+משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור <math>b_n</math> מונוטונית יורדת שואפת לאפס הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n b_n</math>, שהוא טור לייבניץ, מתכנס.
+===דוגמה===
+נניח ש-<math>\{b_n\}</math> יורדת לאפס ונראה שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty\cos(n)b_n</math> מתכנס. נגדיר <math>a_n=\cos(n)</math> ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-<math>\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)</math>. לפי זה לכל n מתקיים <math>\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)</math>. לכן
+{|
+{{=|l=\sum_{n=1}^N\cos(n)
+   |r=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^N\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))
+}}
+{{=|r=-\frac12\frac{\sin(1-1/2)}{\sin(1/2)}+\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)}
+   |c=הטור טלסקופי, לכן:
+}}
+{{=|r=-\frac12+\frac12\frac1{\sin(1/2)}
+   |o=\le
+}}
+|}{{משל}}

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/12.4.11"

גרסה מ־11:13, 2 במאי 2011

תוכן עניינים

משפט 7

=הוכחה

מסקנה

הוכחה

משפט 8

הוכחה

דוגמאות

משפט 9 (מבחן דיריכלה)

הוכחה

משפט 10 (משפט דיריכלה לטורים)

הוכחה

הערה

דוגמה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים