כהשלמה לאינפי 1 נביא את משפט דיריכלה להתכנסות טורים. בהוכחה נשתמש בסכימה בחלקים, שהיא דומה לאינטגרציה בחלקים. ובכן נתבונן בסכום <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n</math> ונגדיר סכומים חלקיים <math>S_n=\sum_{k=1}^n a_k</math> אז <math>\forall n:\ a_n=S_n-S_{n-1}</math>. אם כן <math>\sum_{n=1}^N a_nb_n=S_1b_1+(S_2-S_1)b_2+(S_3-S_2)b_3+\dots+(S_N-S_{N-1})b_N=S_1(b_1-b_2)+S_2(b_2-b_3)+\dots+S_{N-1}(b_{N-1}-b_N)+S_nb_N</math>. ז"א <math>\sum_{n=1}^Na_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> - סכימה בחלקים.
==משפט 10 {{הערה|(משפט דיריכלה לטורים)}}==
נתון נניח שלטור <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> יש סכומים חלקיים <math>S_N</math> חסומים (כלומר <math>|S_N|\le M</math>). עוד נניח ש-<math>\{b_n\}</math> סדרה מונוטונית כך ש-<math>b_n\to0</math>. אז <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n</math>מתכנס. נניח שלטור {{הערה|את ההמשך עשינו ב[[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11|הרצאה שאחריה]]:}} ===הוכחה===לכל N מתקיים <math>\sum_{n=1}^N a_na_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1} S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N</math> יש סכומים חלקיים חסומים . נשאיף <math>|N\to\infty</math> אזי <math>\lim_{N\to\infty} \underbrace{S_N}_\text{bounded}\underbrace{b_N}_{\to0}=0</math>. נותר להוכיח ש-<math>\sum_{n=1}^\infty S_n(b_n-b_{n+1})</math> מתכנס, ונעשה זאת ע"י כך שנראה שהוא מתכנס בהחלט.{|{{=|l=\sum_{n=1}^\infty\vert S_n\vert\vert b_n-b_{n+1}\vert |o=\le |r=\sum_{n=1}^\infty M(b_n-b_{n+1})c |c=נסמן c כ-1 אם <math>\{b_n\}</math> עוד נניח שיורדת ו-<math>-1</math> אחרת:}}{{=|r=cM\sum_{n=1}^\infty (b_n-b_{n+1})}}{{=|r=cM(b_1-\lim_{n\to\infty}b_n) |c=הטור טלסקופי.}}{{=|r=cMb_1}}|}כלומר הסכום מתכנס. {{משל}}===הערה===משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של משפט דיריכלה: נגדיר <math>a_n=(-1)^{n+1}</math> סדרה (ולכן הסכומים החלקיים חסומים). מכאן נובע שעבור <math>b_n</math> מונוטונית כך יורדת שואפת לאפס הטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_n b_n</math>, שהוא טור לייבניץ, מתכנס.===דוגמה===נניח ש-<math>\{b_n\to0}</math>. אז יורדת לאפס ונראה שהטור <math>\sum_{n=1}^\infty a_nb_n\cos(n)b_n</math> מתכנס.נגדיר <math>a_n=\cos(n)</math> ולכן מספיק להראות שהסכומים החלקיים <math>\sum_{n=1}^N a_n</math> חסומים. נסתמך על זהות טריגונומטרית האומרת ש-<math>\cos(\alpha)\sin(\beta)=\frac12\sin(\alpha+\beta)-\frac12\sin(\alpha-\beta)</math>. לפי זה לכל n מתקיים <math>\cos(n)\sin\left(\frac12\right)=\frac12\sin(n+1/2)-\frac12\sin(n-1/2)</math>. לכן{|{{=|l=\sum_{n=1}^N\cos(n) |r=\frac1{\sin(1/2)}\sum_{n=1}^N\frac12(\sin(n+1/2)-\sin(n-1/2))}}{{=|r=-\frac12\frac{\sin(1-1/2)}{\sin(1/2)}+\frac12\frac{\sin(N+1/2)}{\sin(1/2)} |c=הטור טלסקופי, לכן:}}{{=|r=-\frac12+\frac12\frac1{\sin(1/2)} |o=\le}}|}{{משל}}