גרסה מ־22:45, 17 במרץ 2011

תוכן עניינים

1 שיטות אינטגרציה (המשך)

שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמה נוספת ל- $\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx$ (לא עלינו): $\int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx$

יש הצבה אוניברסלית: מציבים $t=\tan\left(\frac x2\right)$ לכן $\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1}$ וכן $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ ו- $\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1}$ . האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).

דוגמאות

$\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx$ : נציב t כנ"ל ונקבל
$\begin{align}\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}&=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt\end{align}$
ומכאן פותרים בשברים חלקיים.
גישה יותר חכמה: מתקיים $R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))$ ולכן נגדיר $t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}$ . האינטגרל הוא $\int\frac{8\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}$ . שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
$\int\sec(x)\mathrm dx$ ועם $t=\tan\left(\frac x2\right)$ נקבל
$\begin{align}\int&=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-t}+\frac{1/2}{1+t}\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln|1-t|+\frac12\ln|1+t|+c\\&=\frac12\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|+c\end{align}$
גישה אחרת: $\int=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx$ נציב $y=\sin(x)$ והאינטגרל הוא $\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c$ .
דרך המלך: $\int=\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c$ .
$\int\sec^3(x)\mathrm dx$ נציב $t=\tan\left(\frac x2\right)$ ונקבל $\int\frac{\left(1+t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=2\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{\left(1-t^2\right)^3}\mathrm dt$ וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים.
דרך אחרת: $\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx$ ונציב $y=\sin(x)$ . נקבל $\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}$ וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.
עוד דרך:
$\begin{align}\int&=\int\sec(x)\left(1+\tan^2(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx\end{align}$
נציב $y=\sin(x)$ ושוב הגענו ל- $\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}$ .
ניסיון אחרון:
$\begin{align}\int&=\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)\mathrm dx-\int\sec(x)\mathrm dx\end{align}$
$\begin{array}{l l l}\implies&2\int\sec^3(x)\mathrm dx&=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx\\&&=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c\end{array}$

אינטגרלים עם שורשים

לאינטגרל מהסוג $\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm,\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx$ . תועיל הצבה: $\frac{ax+b}{cx+d}=t^m$

דוגמאות

$\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}=\int\frac{\mathrm dx}{x\left(x^\frac 5{10}+x^\frac 4{10}\right)}$ נציב $x=t^{10}$ אזי נקבל $\int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}$ ופותרים בשברים חלקיים.
דרך אחרת: $(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5$ (כי $1-t+t^2-t^3+t^4$ טור הנדסי). לפי זה נקבל
$\begin{align}\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}&=\int\left((1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)-t^5\right)\frac{10\mathrm dt}{(1+t)t^5}\\&=10\int\left(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^{-2}+t^{-1}-(t+1)^{-1}\right)\mathrm dt\\&=\dots\end{align}$
$\int\sqrt[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x$ נציב $t^3=\frac{1-x}{1+x}$ ואז $x=\frac{1-t^3}{1+t^3}$ וכך $\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt$ לכן $\int=\int t\frac{1+t^3}{1-t^3}\cdot\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^3\mathrm dt}{1-t^6}$ נציב $y=t^2$ ואז $\int=\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}$ ופותרים בשברים חלקיים.

לאינטגרלים מהסוג $\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx$ עבור $a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q$ :

אם $p\in\mathbb Z$ אז תועיל הצבה $x=t^{\gcd(n,m)}$ (כאשר $\gcd(n,m)$ הוא המספר הגדול ביותר עבורו $\frac n{\gcd(n,m)},\frac m{\gcd(n,m)}\in\mathbb Z$ ). למשל, עבור $\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx$ נציב $x=t^6$ ונקבל $\int t^3\left(1+t^2\right)^4\cdot6t^5\mathrm dt$ , שהוא אינטגרל של פולינום.
אם $\frac{m+1}n\in\mathbb Z$ אז תועיל הצבה $b+ax^n=t^q$ עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל- $\int x^5\left(1+x^3\right)^\frac23\mathrm dx$ נציב $1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt$ ונקבל $\int t^2\left(3t^2\frac{t^3-1}3\right)\mathrm dt=\int\left(t^7-t^4\right)\mathrm dt=\dots$ .

דוגמאות נוספות

$\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx$ נציב $x=2\sin(t)\implies\mathrm dx=2\cos(t)\mathrm dt$ ונקבל
$\begin{align}\int&=\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt\\&=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt\\&=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt\\&=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt\\&=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt\\&=2t-\frac{\sin(4t)}2+c\\&=2\arcsin\left(\frac x2\right)-\frac{\sin\left(4\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}2+c\end{align}$
$\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx$ עבור $a$ קבוע: נציב $x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta$ ונקבל
$\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\left(\frac12\sec(\theta)\tan(\theta)+\frac12\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|\right)+c\\&=\frac{a^2}2\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}\cdot\frac xa+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}$
$\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx$ עבור $a$ קבוע: נציב $x=a\sec(\theta)$ ונקבל
$\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\int \left(\sec^3(\theta)-\sec(\theta)\right)\mathrm d\theta\\&=\frac{a^2}2(\sec(\theta)\tan(\theta)+\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|)-a^2\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|+c\\&=\frac{a^2}2\frac xa\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a-\frac{a^2}2\ln\left|\frac xa+\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}$

בחזרה לאינטגרל המסויים

כזכור, אם f רציפה ב- $[a,b]$ אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b$ .

אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים

כזכור מתחילים עם הזהות $(fg)'=f'g+fg'$ ונקבל $\int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[fg(x)]_{x=a}^b$ . נעביר אגף לקבל $\int\limits_a^b fg=[fg(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g$ . בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
להשתמש בנוסחה הנ"ל.

דוגמאות

$\begin{align}\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx&=[x\sin(x)]_{x=0}^\pi-\int\limits_0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\&=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi\\&=-2\end{align}$
$\begin{align}\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx&=\left[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}\right]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=0+\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=\frac{13}{18}\left[\frac{(1-x)^{12}x^{19}}{19}\right]_{x=0}^1+\frac{13}{18}\int\limits_0^1\frac{x^{19}}{19}12(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=0+\frac{13\cdot12}{18\cdot19}\int\limits_0^1x^{19}(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\frac{13\cdot12\cdot11\cdots1}{18\cdot19\cdot20\cdots30}\int\limits_0^1 x^{30}\\&=\frac{13!17!}{30!}\left[\frac{x^{31}}{31}\right]_{x=0}^1\\&=\frac1{31\binom{30}{13}}=\frac1{3\;712\;555\;350}\end{align}$

גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:

בהצבה מתחילים עם כלל השרשרת $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(\varphi(x))=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x)$ (כאשר F קדומה ל-f). לכן נציב $t=\varphi(x)$ ונקבל $\int\limits_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx=[F(\varphi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\mathrm dt$ .

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-דוגמה נוספת ל-<math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math>: <math>\int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx</math>
+=שיטות אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
+דוגמה נוספת ל-<math>\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx</math> (לא עלינו): <math>\int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx</math>
-יש הצבה אוניברסלית: מציבים <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> לכן <math>\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1}</math> וכן <math>\cos(x)=\frac{t^2-1}{t^2+1}</math> ו-<math>\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1}</math>. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
+יש הצבה אוניברסלית: מציבים <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> לכן <math>\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1}</math> וכן <math>\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}</math> ו-<math>\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1}</math>. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
-==דוגמאות===
+==דוגמאות==
-#<math>\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx</math>: נציב t כנ"ל ונקבל <math>\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt</math> ומכאן פותרים בשברים חלקיים. '''גישה יותר חכמה:''' מתקיים <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> ולכן נגדיר <math>t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. האינטגרל הוא <math>\int\frac{t\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
+#<math>\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx</math>: נציב t כנ"ל ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}&=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt\end{align}</math>}}ומכאן פותרים בשברים חלקיים.<br />''גישה יותר חכמה:'' מתקיים <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> ולכן נגדיר <math>t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. האינטגרל הוא <math>\int\frac{8\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
-#<math>\int\sec(x)\mathrm dx</math> ועם <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> זה שווה ל-<math>\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\int\left(\frac1{1-t}+\frac1{1+t}\right)\mathrm dt=-\ln|1-t|+\ln|1+t|+c=\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|</math>. גישה אחרת: <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c</math>. דרך המלך: <math>\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
+# <math>\int\sec(x)\mathrm dx</math> ועם <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-t}+\frac{1/2}{1+t}\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln|1-t|+\frac12\ln|1+t|+c\\&=\frac12\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|+c\end{align}</math>}}''גישה אחרת:'' <math>\int=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c</math>.<br />''דרך המלך:'' <math>\int=\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
-#<math>\int\sec^3(x)\mathrm dx</math> נציב <math>t=\tan(x/2)</math> ונקבל <math>\int\frac{(1+t^2)^3}{(1-t^2)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}</math> וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים. דרך אחרת: <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx</math> ונציב <math>y=\sin(x)</math>. נקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}</math> וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים. דרך המלך: <math>\int\sec^3(x)\mathrm dx=\int\sec(x)(1+\tan^2(x))\mathrm dx=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> ושוב הגענו ל-<math>\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}</math>. ניסיון אחרון: <math>\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx</math>. <math>2\int\sec^3(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
+# <math>\int\sec^3(x)\mathrm dx</math> נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ונקבל <math>\int\frac{\left(1+t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=2\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{\left(1-t^2\right)^3}\mathrm dt</math> וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים.<br />''דרך אחרת:'' <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx</math> ונציב <math>y=\sin(x)</math>. נקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}</math> וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.<br />''עוד דרך:''{{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sec(x)\left(1+\tan^2(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\sin(x)</math> ושוב הגענו ל-<math>\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}</math>.<br />''ניסיון אחרון:''{{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)\mathrm dx-\int\sec(x)\mathrm dx\end{align}</math><br /><math>\begin{array}{l l l}\implies&2\int\sec^3(x)\mathrm dx&=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx\\&&=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c\end{array}</math>}}
-===אינטגרלים עם שורשים===
+==אינטגרלים עם שורשים==
-לאינטגרל מהסוג <math>\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm\right),\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx</math>. תועיל הצבה: <math>\frac{ax+b}{cx+d}=t^m</math>
+לאינטגרל מהסוג <math>\int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm,\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx</math>. תועיל הצבה: <math>\frac{ax+b}{cx+d}=t^m</math>
-====דוגמאות===
+===דוגמאות===
-<math>\int\frac{\mathrm dx}{x(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2})}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x^\frac 5{10}+x^\frac^4{10})}</math> נציב <math>x=t^10</math> אזי נקבל <math>\int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}</math> ופותרים בשברים חלקיים. דרך אחרת: <math>(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5</math> (כי <math>1-t+t^2-t^3+t^4</math> טור הנדסי). לפי זה נקבל <math>\int\frac{\mathrm dt}{t^5(t+1)}=\int\frac{(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)}{t^5(t+1)}\frac{-t^5}{(1+t)t^5}\mathrm dt=\int(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^[-2}+t^{-1})\mathrm dt=\dots</math>.
+# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}=\int\frac{\mathrm dx}{x\left(x^\frac 5{10}+x^\frac 4{10}\right)}</math> נציב <math>x=t^{10}</math> אזי נקבל <math>\int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}</math> ופותרים בשברים חלקיים.<br />''דרך אחרת:'' <math>(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5</math> (כי <math>1-t+t^2-t^3+t^4</math> טור הנדסי). לפי זה נקבל {{left|<math>\begin{align}\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}&=\int\left((1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)-t^5\right)\frac{10\mathrm dt}{(1+t)t^5}\\&=10\int\left(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^{-2}+t^{-1}-(t+1)^{-1}\right)\mathrm dt\\&=\dots\end{align}</math>}}
-#<math>\int\frac[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x</math> נציב <math>t^3=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז <math>x=\frac{1-t^3}{1+t^3}</math> וכך <math>\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=</math> לכן <math>\int\frac{t(-6t^2)}{(1+t^3)(1-t^3)}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2\cdot t\mathrm dt}{1-t^6}</math> נציב <math>y=t^2</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}=\dots</math>.
+# <math>\int\sqrt[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x</math> נציב <math>t^3=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז <math>x=\frac{1-t^3}{1+t^3}</math> וכך <math>\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt</math> לכן <math>\int=\int t\frac{1+t^3}{1-t^3}\cdot\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^3\mathrm dt}{1-t^6}</math> נציב <math>y=t^2</math> ואז <math>\int=\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}</math> ופותרים בשברים חלקיים.
-לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\int\mathbb R\ \and\ m,n,p\int\mathbb Q</math>: אם <math>p\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>x=t^q</math> עבור q המכנה המשותף של n,m. למשל:
+----
-<math>\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx</math> נציב <math>x=t^6</math> ונקבל <math>\int t^3(1+t^2)^4 6t^5\mathrm dt</math>, שזה אינטגרל של פולינום (ארוך).
+לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q</math>:
+* אם <math>p\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>x=t^{\gcd(n,m)}</math> (כאשר <math>\gcd(n,m)</math> הוא המספר הגדול ביותר עבורו <math>\frac n{\gcd(n,m)},\frac m{\gcd(n,m)}\in\mathbb Z</math>). למשל, עבור <math>\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx</math> נציב <math>x=t^6</math> ונקבל <math>\int t^3\left(1+t^2\right)^4\cdot6t^5\mathrm dt</math>, שהוא אינטגרל של פולינום.
-אם <math>\frac{m+1}n\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>b+ax^n=t^q</math> עבור q המכנה של p. לדוגמה:
+* אם <math>\frac{m+1}n\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>b+ax^n=t^q</math> עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל-<math>\int x^5\left(1+x^3\right)^\frac23\mathrm dx</math> נציב <math>1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt</math> ונקבל <math>\int t^2\left(3t^2\frac{t^3-1}3\right)\mathrm dt=\int\left(t^7-t^4\right)\mathrm dt=\dots</math>.
-<math>\int x^5(1+x^3)^\frac23\mathrm dx</math> ולכן נציב <math>1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt</math> נקבל <math>\int t^2(3t^2\frac{t^3-1}3)\mathrm dt=\int(t^7-t^4)\mathrm dt=\dots</math>.
 ===דוגמאות נוספות===
-#<math>\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=2\sin(t)\implis \mathrm dx=2\cos(t)\mthrm dt</math> ונקבל <math>\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt=2t-\frac{\sin(4t)}2</math>
+# <math>\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=2\sin(t)\implies\mathrm dx=2\cos(t)\mathrm dt</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt\\&=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt\\&=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt\\&=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt\\&=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt\\&=2t-\frac{\sin(4t)}2+c\\&=2\arcsin\left(\frac x2\right)-\frac{\sin\left(4\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}2+c\end{align}</math>}}
-#<math>\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a>0</math> קבוע נציב <\math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל <math>\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\mathrm d\theta=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm dt</math>. תשובה סופית: <math>\frac{a^2}2\frac xa\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c</math>.
+# <math>\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\left(\frac12\sec(\theta)\tan(\theta)+\frac12\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|\right)+c\\&=\frac{a^2}2\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}\cdot\frac xa+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
-#<math>\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=a\sec(\theta)</math> ונקבל <math>\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mahrm d\theta=a^2\int (\sec^2(\theta)-\sec(\theta))\mathrm d\theta</math>.
+# <math>\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\sec(\theta)</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\int \left(\sec^3(\theta)-\sec(\theta)\right)\mathrm d\theta\\&=\frac{a^2}2(\sec(\theta)\tan(\theta)+\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|)-a^2\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|+c\\&=\frac{a^2}2\frac xa\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a-\frac{a^2}2\ln\left|\frac xa+\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
-=בחזרה לאינטגרל המסויים=
+==בחזרה לאינטגרל המסויים==
 כזכור, אם f רציפה ב-<math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b</math>.
-==אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים==
+===אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים===
 כזכור מתחילים עם הזהות <math>(fg)'=f'g+fg'</math> ונקבל <math>\int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[fg(x)]_{x=a}^b</math>. נעביר אגף לקבל <math>\int\limits_a^b fg=[fg(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g</math>. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
 # להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
-# להשתמש בנוסחה זו.
+# להשתמש בנוסחה הנ"ל.
-===דוגמאות===
-#<math>\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx</math>. נקבל <math>[x\sin(x)-\int\sin(x)\mathrm dx]_{x=0}^\pi=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi=-2</math>
-# <math>\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx=[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx=\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx=[\frac{13}{18}\frac{x^19}{19}\dots]+\int\dots=\dots=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot\dots1}{18\cdot19\cdot20\cdot\dots\cdot30}\int\limits_0^1\dots</math>
+====דוגמאות====
+{{left|
+# <math>\begin{align}\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx&=[x\sin(x)]_{x=0}^\pi-\int\limits_0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\&=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi\\&=-2\end{align}</math>
+# <math>\begin{align}\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx&=\left[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}\right]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=0+\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=\frac{13}{18}\left[\frac{(1-x)^{12}x^{19}}{19}\right]_{x=0}^1+\frac{13}{18}\int\limits_0^1\frac{x^{19}}{19}12(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=0+\frac{13\cdot12}{18\cdot19}\int\limits_0^1x^{19}(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\frac{13\cdot12\cdot11\cdots1}{18\cdot19\cdot20\cdots30}\int\limits_0^1 x^{30}\\&=\frac{13!17!}{30!}\left[\frac{x^{31}}{31}\right]_{x=0}^1\\&=\frac1{31\binom{30}{13}}=\frac1{3\;712\;555\;350}\end{align}</math>
+}}
 גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
 # להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
 # להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:
-בהצבה מתחילים כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(\phi(x))=F'(\phi(x))\phi'(x)</math> אם F קדומה ל-f אז זה שווה ל-<math>f(\phi(x))\phi'(x)</math> לכן <math>\int\limits_a^b f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm dx=[F(\phi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\mathrm dt</math>
+בהצבה מתחילים עם כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(\varphi(x))=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x)</math> (כאשר F קדומה ל-f). לכן נציב <math>t=\varphi(x)</math> ונקבל <math>\int\limits_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx=[F(\varphi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\mathrm dt</math>.
-פורמלית: באינטגרל <math>\int\limits_a^b (f\circle \phi)\cdot\phi'</math> מציבים <math>t=\phi(x)</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.3.11"

גרסה מ־22:45, 17 במרץ 2011

תוכן עניינים

שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמאות

אינטגרלים עם שורשים

דוגמאות

דוגמאות נוספות

בחזרה לאינטגרל המסויים

אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים

דוגמאות

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים