הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.3.11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏אינטגרלים עם שורשים)
מ
שורה 6: שורה 6:
 
==דוגמאות==
 
==דוגמאות==
 
#<math>\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx</math>: נציב t כנ"ל ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}&=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt\end{align}</math>}}ומכאן פותרים בשברים חלקיים.<br />''גישה יותר חכמה:'' מתקיים <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> ולכן נגדיר <math>t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. האינטגרל הוא <math>\int\frac{8\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
 
#<math>\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx</math>: נציב t כנ"ל ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}&=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt\end{align}</math>}}ומכאן פותרים בשברים חלקיים.<br />''גישה יותר חכמה:'' מתקיים <math>R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))</math> ולכן נגדיר <math>t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. האינטגרל הוא <math>\int\frac{8\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}</math>. שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
−
# <math>\int\sec(x)\mathrm dx</math> ועם <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-t}+\frac{1/2}{1+t}\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln|1-t|+\frac12\ln|1+t|+c\\&=\frac12\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|+c\end{align}</math>}}''גישה אחרת:'' <math>\int=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c</math>.<br />''דרך המלך:'' <math>\int=\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math>.
+
# <math>\int\sec(x)\mathrm dx</math> ועם <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> נקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-t}+\frac{1/2}{1+t}\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln|1-t|+\frac12\ln|1+t|+c\\&=\frac12\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|+c\end{align}</math>}}''גישה אחרת:'' <math>\int=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx</math> נציב <math>y=\sin(x)</math> והאינטגרל הוא <math>\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c</math>.<br />''דרך המלך:'' <math>\int=\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c</math> כי <math>\frac\mathrm d{\mathrm dx}(\sec(x)+\tan(x))=\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))</math>.
−
# <math>\int\sec^3(x)\mathrm dx</math> נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ונקבל <math>\int\frac{\left(1+t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=2\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{\left(1-t^2\right)^3}\mathrm dt</math> וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים.<br />''דרך אחרת:'' <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx</math> ונציב <math>y=\sin(x)</math>. נקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}</math> וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.<br />''עוד דרך:''{{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sec(x)\left(1+\tan^2(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\sin(x)</math> ושוב הגענו ל-<math>\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}</math>.<br />''ניסיון אחרון:''{{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)\mathrm dx-\int\sec(x)\mathrm dx\end{align}</math><br /><math>\begin{array}{l l l}\implies&2\int\sec^3(x)\mathrm dx&=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx\\&&=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c\end{array}</math>}}
+
# <math>\int\sec^3(x)\mathrm dx</math> נציב <math>t=\tan\left(\frac x2\right)</math> ונקבל <math>\int\frac{\left(1+t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=2\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{\left(1-t^2\right)^3}\mathrm dt</math>. ניתן לעשות זאת בשברים חלקיים, אבל זה לא נעים.<br />''דרך אחרת:'' <math>\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx</math> ונציב <math>y=\sin(x)</math>. נקבל <math>\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}</math> וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.<br />''עוד דרך:''{{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sec(x)\left(1+\tan^2(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\frac1{\cos(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^3(x)}\right)\mathrm dx\end{align}</math>}} נציב <math>y=\sin(x)</math> ושוב הגענו ל-<math>\int\left(\frac1{1-y^2}+\frac{y^2}{\left(1-y^2\right)^2}\right)\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}</math>.<br />''ניסיון אחרון:''{{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\Big(\tan(x)\sec(x)\Big)\tan(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\mathrm dx\end{align}</math><br /><math>\begin{array}{l l l}\implies&2\displaystyle\int\sec^3(x)\mathrm dx&=\sec(x)\tan(x)+\displaystyle\int\sec(x)\mathrm dx\\&&=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c\end{array}</math>}}
  
 
==אינטגרלים עם שורשים==
 
==אינטגרלים עם שורשים==
שורה 16: שורה 16:
 
# <math>\int\sqrt[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x</math> נציב <math>t^3=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז <math>x=\frac{1-t^3}{1+t^3}</math> וכך <math>\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt</math> לכן <math>\int=\int t\frac{1+t^3}{1-t^3}\cdot\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^3\mathrm dt}{1-t^6}</math> נציב <math>y=t^2</math> ואז <math>\int=\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}</math> ופותרים בשברים חלקיים.
 
# <math>\int\sqrt[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x</math> נציב <math>t^3=\frac{1-x}{1+x}</math> ואז <math>x=\frac{1-t^3}{1+t^3}</math> וכך <math>\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt</math> לכן <math>\int=\int t\frac{1+t^3}{1-t^3}\cdot\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^3\mathrm dt}{1-t^6}</math> נציב <math>y=t^2</math> ואז <math>\int=\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}</math> ופותרים בשברים חלקיים.
  
−
----
+
 
 +
 
  
 
לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q</math>:
 
לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q</math>:
שורה 24: שורה 25:
 
===דוגמאות נוספות===
 
===דוגמאות נוספות===
 
# <math>\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=2\sin(t)\implies\mathrm dx=2\cos(t)\mathrm dt</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt\\&=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt\\&=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt\\&=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt\\&=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt\\&=2t-\frac{\sin(4t)}2+c\\&=2\arcsin\left(\frac x2\right)-\frac{\sin\left(4\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}2+c\end{align}</math>}}
 
# <math>\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx</math> נציב <math>x=2\sin(t)\implies\mathrm dx=2\cos(t)\mathrm dt</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt\\&=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt\\&=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt\\&=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt\\&=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt\\&=2t-\frac{\sin(4t)}2+c\\&=2\arcsin\left(\frac x2\right)-\frac{\sin\left(4\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}2+c\end{align}</math>}}
−
# <math>\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\left(\frac12\sec(\theta)\tan(\theta)+\frac12\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|\right)+c\\&=\frac{a^2}2\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}\cdot\frac xa+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
+
# <math>\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\cdot a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\left(\frac12\sec(\theta)\tan(\theta)+\frac12\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|\right)+c\\&=\frac{a^2}2\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}\cdot\frac xa+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
 
# <math>\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\sec(\theta)</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\int \left(\sec^3(\theta)-\sec(\theta)\right)\mathrm d\theta\\&=\frac{a^2}2(\sec(\theta)\tan(\theta)+\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|)-a^2\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|+c\\&=\frac{a^2}2\frac xa\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a-\frac{a^2}2\ln\left|\frac xa+\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
 
# <math>\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx</math> עבור <math>a</math> קבוע: נציב <math>x=a\sec(\theta)</math> ונקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\int \left(\sec^3(\theta)-\sec(\theta)\right)\mathrm d\theta\\&=\frac{a^2}2(\sec(\theta)\tan(\theta)+\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|)-a^2\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|+c\\&=\frac{a^2}2\frac xa\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a-\frac{a^2}2\ln\left|\frac xa+\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}</math>}}
  
שורה 30: שורה 31:
 
כזכור, אם f רציפה ב-<math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b</math>.
 
כזכור, אם f רציפה ב-<math>[a,b]</math> אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ <math>\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b</math>.
 
===אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים===
 
===אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים===
−
כזכור מתחילים עם הזהות <math>(fg)'=f'g+fg'</math> ונקבל <math>\int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[fg(x)]_{x=a}^b</math>. נעביר אגף לקבל <math>\int\limits_a^b fg=[fg(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g</math>. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
+
כזכור מתחילים עם הזהות <math>(f\cdot g)'=f'g+fg'</math> ונקבל <math>\int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[(fg)(x)]_{x=a}^b</math>. נעביר אגף לקבל <math>\int\limits_a^b fg=[(fg)(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g</math>. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
 
# להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
 
# להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
 
# להשתמש בנוסחה הנ"ל.
 
# להשתמש בנוסחה הנ"ל.
שורה 36: שורה 37:
 
====דוגמאות====
 
====דוגמאות====
 
{{left|
 
{{left|
−
# <math>\begin{align}\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx&=[x\sin(x)]_{x=0}^\pi-\int\limits_0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\&=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi\\&=-2\end{align}</math>
+
# <math>\begin{align}\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx&=[x\sin(x)]_{x=0}^\pi-\int\limits_0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\&=[x\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\pi\\&=-2\end{align}</math>
 
# <math>\begin{align}\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx&=\left[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}\right]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=0+\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=\frac{13}{18}\left[\frac{(1-x)^{12}x^{19}}{19}\right]_{x=0}^1+\frac{13}{18}\int\limits_0^1\frac{x^{19}}{19}12(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=0+\frac{13\cdot12}{18\cdot19}\int\limits_0^1x^{19}(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\frac{13\cdot12\cdot11\cdots1}{18\cdot19\cdot20\cdots30}\int\limits_0^1 x^{30}\\&=\frac{13!17!}{30!}\left[\frac{x^{31}}{31}\right]_{x=0}^1\\&=\frac1{31\binom{30}{13}}=\frac1{3\;712\;555\;350}\end{align}</math>
 
# <math>\begin{align}\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx&=\left[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}\right]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=0+\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=\frac{13}{18}\left[\frac{(1-x)^{12}x^{19}}{19}\right]_{x=0}^1+\frac{13}{18}\int\limits_0^1\frac{x^{19}}{19}12(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=0+\frac{13\cdot12}{18\cdot19}\int\limits_0^1x^{19}(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\frac{13\cdot12\cdot11\cdots1}{18\cdot19\cdot20\cdots30}\int\limits_0^1 x^{30}\\&=\frac{13!17!}{30!}\left[\frac{x^{31}}{31}\right]_{x=0}^1\\&=\frac1{31\binom{30}{13}}=\frac1{3\;712\;555\;350}\end{align}</math>
 
}}
 
}}

גרסה מ־11:55, 20 ביולי 2011

שיטות אינטגרציה (המשך)

דוגמה נוספת ל-\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx (לא עלינו): \int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx

יש הצבה אוניברסלית: מציבים t=\tan\left(\frac x2\right) לכן \mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1} וכן \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2} ו-\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1}. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).

דוגמאות

  1. \int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx: נציב t כנ"ל ונקבל
    \begin{align}\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}&=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}\\&=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt\end{align}
    ומכאן פותרים בשברים חלקיים.
    גישה יותר חכמה: מתקיים R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x)) ולכן נגדיר t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}. האינטגרל הוא \int\frac{8\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}. שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
  2. \int\sec(x)\mathrm dx ועם t=\tan\left(\frac x2\right) נקבל
    \begin{align}\int&=\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-t}+\frac{1/2}{1+t}\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln|1-t|+\frac12\ln|1+t|+c\\&=\frac12\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|+c\end{align}
    גישה אחרת: \int=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx נציב y=\sin(x) והאינטגרל הוא \int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c.
    דרך המלך: \int=\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c כי \frac\mathrm d{\mathrm dx}(\sec(x)+\tan(x))=\sec(x)(\sec(x)+\tan(x)).
  3. \int\sec^3(x)\mathrm dx נציב t=\tan\left(\frac x2\right) ונקבל \int\frac{\left(1+t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=2\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{\left(1-t^2\right)^3}\mathrm dt. ניתן לעשות זאת בשברים חלקיים, אבל זה לא נעים.
    דרך אחרת: \int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx ונציב y=\sin(x). נקבל \int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2} וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.
    עוד דרך:
    \begin{align}\int&=\int\sec(x)\left(1+\tan^2(x)\right)\mathrm dx\\&=\int\left(\frac1{\cos(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^3(x)}\right)\mathrm dx\end{align}
    נציב y=\sin(x) ושוב הגענו ל-\int\left(\frac1{1-y^2}+\frac{y^2}{\left(1-y^2\right)^2}\right)\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}{\left(1-y^2\right)^2}.
    ניסיון אחרון:
    \begin{align}\int&=\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\Big(\tan(x)\sec(x)\Big)\tan(x)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx\\&=\sec(x)\tan(x)-\int\sec^3(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\mathrm dx\end{align}
    \begin{array}{l l l}\implies&2\displaystyle\int\sec^3(x)\mathrm dx&=\sec(x)\tan(x)+\displaystyle\int\sec(x)\mathrm dx\\&&=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c\end{array}

אינטגרלים עם שורשים

לאינטגרל מהסוג \int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm,\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx תועיל הצבה \frac{ax+b}{cx+d}=t^m.

דוגמאות

  1. \int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}=\int\frac{\mathrm dx}{x\left(x^\frac 5{10}+x^\frac 4{10}\right)} נציב x=t^{10} אזי נקבל \int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)} ופותרים בשברים חלקיים.
    דרך אחרת: (1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5 (כי 1-t+t^2-t^3+t^4 טור הנדסי). לפי זה נקבל
    \begin{align}\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}&=\int\left((1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)-t^5\right)\frac{10\mathrm dt}{(1+t)t^5}\\&=10\int\left(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^{-2}+t^{-1}-(t+1)^{-1}\right)\mathrm dt\\&=\dots\end{align}
  2. \int\sqrt[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x נציב t^3=\frac{1-x}{1+x} ואז x=\frac{1-t^3}{1+t^3} וכך \mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt לכן \int=\int t\frac{1+t^3}{1-t^3}\cdot\frac{-6t^2}{\left(1+t^3\right)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^3\mathrm dt}{1-t^6} נציב y=t^2 ואז \int=\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)} ופותרים בשברים חלקיים.



לאינטגרלים מהסוג \int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx עבור a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q:

  • אם p\in\mathbb Z אז תועיל הצבה x=t^{1/\gcd(n,m)} (כאשר \gcd(n,m) הוא המספר הגדול ביותר עבורו \frac n{\gcd(n,m)},\frac m{\gcd(n,m)}\in\mathbb Z). למשל, עבור \int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx נציב x=t^6 ונקבל \int t^3\left(1+t^2\right)^4\cdot6t^5\mathrm dt, שהוא אינטגרל של פולינום.
  • אם \frac{m+1}n\in\mathbb Z אז תועיל הצבה b+ax^n=t^q עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל-\int x^5\left(1+x^3\right)^\frac23\mathrm dx נציב 1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt ונקבל \int t^2\left(3t^2\frac{t^3-1}3\right)\mathrm dt=\int\left(t^7-t^4\right)\mathrm dt=\dots.

דוגמאות נוספות

  1. \int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx נציב x=2\sin(t)\implies\mathrm dx=2\cos(t)\mathrm dt ונקבל
    \begin{align}\int&=\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt\\&=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt\\&=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt\\&=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt\\&=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt\\&=2t-\frac{\sin(4t)}2+c\\&=2\arcsin\left(\frac x2\right)-\frac{\sin\left(4\arcsin\left(\frac x2\right)\right)}2+c\end{align}
  2. \int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx עבור a קבוע: נציב x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta ונקבל
    \begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\cdot a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\left(\frac12\sec(\theta)\tan(\theta)+\frac12\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|\right)+c\\&=\frac{a^2}2\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}\cdot\frac xa+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|-\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}
  3. \int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx עבור a קבוע: נציב x=a\sec(\theta) ונקבל
    \begin{align}\int&=\int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}\cdot a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta\\&=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mathrm d\theta\\&=a^2\int \left(\sec^3(\theta)-\sec(\theta)\right)\mathrm d\theta\\&=\frac{a^2}2(\sec(\theta)\tan(\theta)+\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|)-a^2\ln|\sec(\theta)+\tan(\theta)|+c\\&=\frac{a^2}2\frac xa\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a-\frac{a^2}2\ln\left|\frac xa+\frac{x\sqrt{1-\left(\frac ax\right)^2}}a\right|+c\\&=\frac x2\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+\underbrace{\frac{a^2}2\ln|a|+c}_\text{constant}\end{align}

בחזרה לאינטגרל המסויים

כזכור, אם f רציפה ב-[a,b] אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ \int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b.

אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים

כזכור מתחילים עם הזהות (f\cdot g)'=f'g+fg' ונקבל \int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[(fg)(x)]_{x=a}^b. נעביר אגף לקבל \int\limits_a^b fg=[(fg)(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g. בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

  1. להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
  2. להשתמש בנוסחה הנ"ל.

דוגמאות

  1. \begin{align}\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx&=[x\sin(x)]_{x=0}^\pi-\int\limits_0^\pi\sin(x)\mathrm dx\\&=[x\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\pi\\&=-2\end{align}
  2. \begin{align}\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx&=\left[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}\right]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=0+\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx\\&=\frac{13}{18}\left[\frac{(1-x)^{12}x^{19}}{19}\right]_{x=0}^1+\frac{13}{18}\int\limits_0^1\frac{x^{19}}{19}12(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=0+\frac{13\cdot12}{18\cdot19}\int\limits_0^1x^{19}(1-x)^{11}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\frac{13\cdot12\cdot11\cdots1}{18\cdot19\cdot20\cdots30}\int\limits_0^1 x^{30}\\&=\frac{13!17!}{30!}\left[\frac{x^{31}}{31}\right]_{x=0}^1\\&=\frac1{31\binom{30}{13}}=\frac1{3\;712\;555\;350}\end{align}

גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

  1. להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
  2. להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:

בהצבה מתחילים עם כלל השרשרת \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}F(\varphi(x))=F'(\varphi(x))\varphi'(x)=f(\varphi(x))\varphi'(x) (כאשר F קדומה ל-f). לכן נציב t=\varphi(x) ונקבל \int\limits_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\mathrm dx=[F(\varphi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(t)\mathrm dt.

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_הרצאה/15.3.11&oldid=11390