הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
מ |
מ (←דוגמאות) |
||
שורה 21: | שורה 21: | ||
לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q</math>: | לאינטגרלים מהסוג <math>\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx</math> עבור <math>a,b\in\mathbb R\ \and\ m,n,p\in\mathbb Q</math>: | ||
* אם <math>p\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>x=t^{1/\gcd(n,m)}</math> (כאשר <math>\gcd(n,m)</math> הוא המספר הגדול ביותר עבורו <math>\frac n{\gcd(n,m)},\frac m{\gcd(n,m)}\in\mathbb Z</math>). למשל, עבור <math>\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx</math> נציב <math>x=t^6</math> ונקבל <math>\int t^3\left(1+t^2\right)^4\cdot6t^5\mathrm dt</math>, שהוא אינטגרל של פולינום. | * אם <math>p\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>x=t^{1/\gcd(n,m)}</math> (כאשר <math>\gcd(n,m)</math> הוא המספר הגדול ביותר עבורו <math>\frac n{\gcd(n,m)},\frac m{\gcd(n,m)}\in\mathbb Z</math>). למשל, עבור <math>\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx</math> נציב <math>x=t^6</math> ונקבל <math>\int t^3\left(1+t^2\right)^4\cdot6t^5\mathrm dt</math>, שהוא אינטגרל של פולינום. | ||
− | * אם <math>\frac{m+1}n\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math> | + | * אם <math>\frac{m+1}n\in\mathbb Z</math> אז תועיל הצבה <math>a+bx^n=t^q</math> עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל-<math>\int x^5\left(1+x^3\right)^\frac23\mathrm dx</math> נציב <math>1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt</math> ונקבל <math>\int t^2\left(3t^2\frac{t^3-1}3\right)\mathrm dt=\int\left(t^7-t^4\right)\mathrm dt=\dots</math>. |
===דוגמאות נוספות=== | ===דוגמאות נוספות=== |
גרסה אחרונה מ־11:55, 29 באוגוסט 2011
תוכן עניינים
שיטות אינטגרציה (המשך)
דוגמה נוספת ל- (לא עלינו):
יש הצבה אוניברסלית: מציבים לכן וכן ו-. האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).
דוגמאות
- : נציב t כנ"ל ונקבל ומכאן פותרים בשברים חלקיים.
גישה יותר חכמה: מתקיים ולכן נגדיר . האינטגרל הוא . שוב פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט. - ועם נקבל גישה אחרת: נציב והאינטגרל הוא .
דרך המלך: כי . - נציב ונקבל . ניתן לעשות זאת בשברים חלקיים, אבל זה לא נעים.
דרך אחרת: ונציב . נקבל וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים.
עוד דרך: נציב ושוב הגענו ל-.
ניסיון אחרון:
אינטגרלים עם שורשים
לאינטגרל מהסוג תועיל הצבה .
דוגמאות
- נציב אזי נקבל ופותרים בשברים חלקיים.
דרך אחרת: (כי טור הנדסי). לפי זה נקבל - נציב ואז וכך לכן נציב ואז ופותרים בשברים חלקיים.
לאינטגרלים מהסוג עבור :
- אם אז תועיל הצבה (כאשר הוא המספר הגדול ביותר עבורו ). למשל, עבור נציב ונקבל , שהוא אינטגרל של פולינום.
- אם אז תועיל הצבה עבור q המכנה של p. לדוגמה, ל- נציב ונקבל .
דוגמאות נוספות
- נציב ונקבל
- עבור קבוע: נציב ונקבל
- עבור קבוע: נציב ונקבל
בחזרה לאינטגרל המסויים
כזכור, אם f רציפה ב- אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ .
אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים
כזכור מתחילים עם הזהות ונקבל . נעביר אגף לקבל . בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
- להשתמש בנוסחה הנ"ל.
דוגמאות
גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:
- להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
- להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:
בהצבה מתחילים עם כלל השרשרת (כאשר F קדומה ל-f). לכן נציב ונקבל .