דוגמה נוספת ל- $\int R(\cos(x),\sin(x))\mathrm dx$ : $\int\frac{7\cos^3(x)\sin^2(x)-5\sin^4(x)}{2\cos^5(x)\sin^4(x)+4}\mathrm dx$

יש הצבה אוניברסלית: מציבים $t=\tan\left(\frac x2\right)$ לכן $\mathrm dx=\frac{2\mathrm dt}{t^2+1}$ וכן $\cos(x)=\frac{t^2-1}{t^2+1}$ ו- $\sin(x)=\frac{2t}{t^2+1}$ . האינטגרל הופך לאינטגרל של פונקציה רציונלית של t (שאפשר לחשב עם שברים חלקיים).

תוכן עניינים

1 דוגמאות=
2 בחזרה לאינטגרל המסויים
- 2.1 אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים
  - 2.1.1 דוגמאות

דוגמאות=

$\int\frac{8\sin(x)-\cos(x)}{\sin(x)+2\cos(x)}\mathrm dx$ : נציב t כנ"ל ונקבל $\int\frac{8\frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+2\frac{1-t^2}{1+t^2}}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=\int\frac{16t-1+t^2}{2t+2-2t^2}\cdot\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}=-\int\frac{t^2+16t-1}{(t^2-t-1)(1+t^2)}\mathrm dt$ ומכאן פותרים בשברים חלקיים. גישה יותר חכמה: מתקיים $R(-\cos(x),-\sin(x))=R(\cos(x),\sin(x))$ ולכן נגדיר $t=\tan(x)\implies \mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{1+t^2}$ . האינטגרל הוא $\int\frac{t\tan(x)-1}{\tan(x)+2}\mathrm dx=\int\frac{8t-1}{t+2}\cdot\frac{\mathrm dt}{1+t^2}$ . פותרים שברים חלקיים, אלא שהפעם זה יותר פשוט.
$\int\sec(x)\mathrm dx$ ועם $t=\tan\left(\frac x2\right)$ זה שווה ל- $\int\frac{1+t^2}{1-t^2}\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\int\left(\frac1{1-t}+\frac1{1+t}\right)\mathrm dt=-\ln|1-t|+\ln|1+t|+c=\ln\left|\frac{1+\tan\left(\frac x2\right)}{1-\tan\left(\frac x2\right)}\right|$ . גישה אחרת: $\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx$ נציב $y=\sin(x)$ והאינטגרל הוא $\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy=\frac12\ln\left|\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right|+c$ . דרך המלך: $\int\frac{\sec(x)(\sec(x)+\tan(x))}{\sec(x)+\tan(x)}\mathrm dx=\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c$ .
$\int\sec^3(x)\mathrm dx$ נציב $t=\tan(x/2)$ ונקבל $\int\frac{(1+t^2)^3}{(1-t^2)^3}\frac{2\mathrm dt}{1+t^2}$ וניתן לעשות זאת, אבל זה לא נעים. דרך אחרת: $\int\frac{\cos(x)}{\cos^4(x)}\mathrm dx$ ונציב $y=\sin(x)$ . נקבל $\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}$ וקל לפתור זאת ע"י שברים חלקיים. דרך המלך: $\int\sec^3(x)\mathrm dx=\int\sec(x)(1+\tan^2(x))\mathrm dx=\int\sec(x)\mathrm dx+\int\sec(x)\tan(x)\mathrm dx$ נציב $y=\sin(x)$ ושוב הגענו ל- $\int\frac{\mathrm dy}{(1-y^2)^2}$ . ניסיון אחרון: $\int\sec(x)\sec^2(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\tan(x)\sec(x)\tan(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)-\int\sec(x)(\sec^2(x)-1)\mathrm dx$ . $2\int\sec^3(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\int\sec(x)\mathrm dx=\sec(x)\tan(x)+\ln|\sec(x)+\tan(x)|+c$ .

אינטגרלים עם שורשים

לאינטגרל מהסוג עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int R\left(x,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac nm\right),\dots,\left(\frac{ax+b}{cx+d}\right)^\frac km\right)\mathrm dx . תועיל הצבה: $\frac{ax+b}{cx+d}=t^m$

=דוגמאות

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dx}{x(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2})}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x^\frac 5{10}+x^\frac^4{10})}

נציב  $x=t^10$  אזי נקבל  $\int\frac{10t^9\mathrm dt}{t^{10}(t^5+t^4)}=\int\frac{10\mathrm dt}{t^5(t+1)}$  ופותרים בשברים חלקיים. דרך אחרת:  $(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)=1+t^5$  (כי  $1-t+t^2-t^3+t^4$  טור הנדסי). לפי זה נקבל עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \int\frac{\mathrm dt}{t^5(t+1)}=\int\frac{(1+t)(1-t+t^2-t^3+t^4)}{t^5(t+1)}\frac{-t^5}{(1+t)t^5}\mathrm dt=\int(t^{-5}-t^{-4}+t^{-3}-t^[-2}+t^{-1})\mathrm dt=\dots

.

$\int\frac[3]\frac{1-x}{1+x}\frac{\mathrm dx}x$ נציב $t^3=\frac{1-x}{1+x}$ ואז $x=\frac{1-t^3}{1+t^3}$ וכך $\mathrm dx=\frac{(1+t^3)(-3t^2)-(1-t^3)(3t^2)}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2}{(1+t^3)^2}\mathrm dt=$ לכן $\int\frac{t(-6t^2)}{(1+t^3)(1-t^3)}\mathrm dt=\int\frac{-6t^2\cdot t\mathrm dt}{1-t^6}$ נציב $y=t^2$ והאינטגרל הוא $\int\frac{-3y\mathrm dy}{1-y^3}=\int\frac{-3y\mathrm dy}{(1-y)(1+y+y^2)}=\dots$ .

לאינטגרלים מהסוג $\int x^m(a+bx^n)^p\mathrm dx$ עבור $a,b\int\mathbb R\ \and\ m,n,p\int\mathbb Q$ : אם $p\in\mathbb Z$ אז תועיל הצבה $x=t^q$ עבור q המכנה המשותף של n,m. למשל:

$\int \sqrt x(1+\sqrt[3]x)^4\mathrm dx$ נציב $x=t^6$ ונקבל $\int t^3(1+t^2)^4 6t^5\mathrm dt$ , שזה אינטגרל של פולינום (ארוך).

אם $\frac{m+1}n\in\mathbb Z$ אז תועיל הצבה $b+ax^n=t^q$ עבור q המכנה של p. לדוגמה: $\int x^5(1+x^3)^\frac23\mathrm dx$ ולכן נציב $1+x^3=t^3\implies x^5\mathrm dx=3t^2\frac{t^3-1}3\mathrm dt$ נקבל $\int t^2(3t^2\frac{t^3-1}3)\mathrm dt=\int(t^7-t^4)\mathrm dt=\dots$ .

דוגמאות נוספות

$\int x^2\sqrt{4-x^2}\mathrm dx$ נציב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \implis לא מוכרת): x=2\sin(t)\implis \mathrm dx=2\cos(t)\mthrm dt

ונקבל  $\int4\sin^2(t)\sqrt{4-4\sin^2(t)}2\cos(t)\mathrm dt=\int16\sin^2(t)\cos^2(t)\mathrm dt=4\int(2\sin(t)\cos(t))^2\mathrm dt=4\int\sin^2(2t)\mathrm dt=4\int\frac{1-\cos(4t)}2\mathrm dt=2t-\frac{\sin(4t)}2$

$\int\sqrt{x^2+a^2}\mathrm dx$ עבור $a>0$ קבוע נציב <\math>x=a\tan(\theta)\implies \mathrm dx=a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta</math> ונקבל $\int\sqrt{a^2\tan^2(\theta)+a^2}\mathrm d\theta=\int a\sec(\theta)a\sec^2(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec^3(\theta)\mathrm dt$ . תשובה סופית: $\frac{a^2}2\frac xa\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac{a^2}2\ln\left|\sqrt{1+\left(\frac xa\right)^2}+\frac xa\right|+c=\frac x2\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}2\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+c$ .
$\int\sqrt{x^2-a^2}\mathrm dx$ נציב $x=a\sec(\theta)$ ונקבל עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \mahrm לא מוכרת): \int\sqrt{a^2\sec^2(\theta)-a^2}a\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm d\theta=\int a^2\sec(\theta)\tan^2(\theta)\mahrm d\theta=a^2\int (\sec^2(\theta)-\sec(\theta))\mathrm d\theta

.

בחזרה לאינטגרל המסויים

כזכור, אם f רציפה ב- $[a,b]$ אז קיימת לה פונקציה קדומה F בקטע זה, ומתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b$ .

אינטגרציה בחלקים באינטגרל המסויים

כזכור מתחילים עם הזהות $(fg)'=f'g+fg'$ ונקבל $\int\limits_a^b f'g+\int\limits_a^b fg'=[fg(x)]_{x=a}^b$ . נעביר אגף לקבל $\int\limits_a^b fg=[fg(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'g$ . בכל אינטגרציה בחלקים באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות עד שנמצא פונקציה קדומה באינטגרל לא מסויים, ובסוף נחזיר את הגבול.
להשתמש בנוסחה זו.

דוגמאות

$\int\limits_0^\pi x\cos(x)\mathrm dx$ . נקבל $[x\sin(x)-\int\sin(x)\mathrm dx]_{x=0}^\pi=[x\sin(x)-\cos(x)]_{x=0}^\pi=-2$
$\int\limits_0^1 x^{17}(1-x)^{13}\mathrm dx=[\frac{(1-x)^{13}x^{18}}{18}]_{x=0}^1+\int\limits_0^1\frac{x^{18}}{18}13(1-x)^{12}\mathrm dx=\frac{13}{18}\int\limits_0^1 x^{18}(1-x)^{12}\mathrm dx=[\frac{13}{18}\frac{x^19}{19}\dots]+\int\dots=\dots=\frac{13\cdot12\cdot11\cdot\dots1}{18\cdot19\cdot20\cdot\dots\cdot30}\int\limits_0^1\dots$

גם באינטגרציה ע"י הצבה באינטגרל מסויים יש שתי דרכים:

להתעלם מהגבולות ולפתור אינטגרל מסויים, ואח"כ להציב גבולות.
להחליף את הגבולות כאשר מחליפים משתנים. נסביר זאת:

בהצבה מתחילים כלל השרשרת $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(\phi(x))=F'(\phi(x))\phi'(x)$ אם F קדומה ל-f אז זה שווה ל- $f(\phi(x))\phi'(x)$ לכן $\int\limits_a^b f(\phi(x))\phi'(x)\mathrm dx=[F(\phi(x))]_{x=a}^b=\int\limits_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(t)\mathrm dt$