משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11

תרגיל ברוח מבחן

נניח ש-$f_n\to f$ במ"ש על I וש-$f_n$ חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם $f_n\to f$ נקודתית ב-I.

פתרון

אם $f_n\to f$ במ"ש ב-I אז נוכל לקחת $\varepsilon=1$ ולמצוא n מסויים כך שלכל $x\in I$ מתקיים $|f(x)-f_n(x)|<1$ ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל $x\in I$ מתקיים $|f(x)|-|f_n(x)|<1$. לכן $|f(x)|<|f_n(x)|+1$. נתון ש-$f_n$ חסומה, נניח $|f_n(x)|\le M$ אזי $\forall x\in I:\ |f(x)|<M+1$. $\blacksquare$

לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר $f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases}$ ב-$(0,1)$. אזי $f_n\to f$ נקודתית וכל $f_n$ חסומה ע"י n, אלא ש-$f(x)=\frac1x$, שבוודאי לא חסומה. $\blacksquare$

---

הגדרה: נתונה סדרת פונקציות $\{f_n\}$ בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אז $|f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$ ב-I.

משפט 5

סדרת פונקציות $\{f_n\}$ בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.

הוכחה

תחילה נניח שקיים $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי $\varepsilon>0$ נתון. לפי הנתון ש-$f_n\to f$ במ"ש ב-I, קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>n_0$ אז $|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2$ לכל $x\in I$.

כעת אם $n>m>n_0$ אז לכל $x\in I$ מתקיים $|f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon$.

לצד השני, נניח ש-$\{f_n\}$ מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח $x_0\in I$ כלשהו ונעיר שסדרת המספרים $\{f_n(x_0)\}$ היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אז $|f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon$ לפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול $\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)$. הדבר נכון לכל $x_0\in I$ וכך נוצרת פונקציה גבולית $f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$. נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי $\varepsilon>0$ נתון. עפ"י תנאי קושי יש $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $m>n>n_0$ מתקיים $|f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2$ לכל $x\in I$. כעת נבחר $n>n_0$ מסויים ועבור $x\in I$ כלשהו נשאיף $m\to\infty$ כלומר $|f_n(x)-f_m(x)|\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon$ הדבר נכון לכל $n>n_0$ ולכל $x\in I$. לכן הוכחנו ש-$f_n\to f$ במ"ש ב-I. $\blacksquare$

טורי פונקציות

נאמר שהטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מתכנס ל-$S(x)$ במ"ש על I אם $S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x)$ במ"ש על I.

הגדרה: הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אז $\left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|<\varepsilon$ לכל $x\in I$.

משפט 6

הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מתכנס במ"ש לכל I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.

הוכחה

לפי הגדרה $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים $\{S_N(x)\}$ מתכנס במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם $\{S_N(x)\}$ קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אזי $|S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon$ לכל $x\in I$, שמתקיים אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon$ לכל $x\in I$ וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. $\blacksquare$

משפט 7 (מבחן ה-M של וירשטס, The Weierstrass M test)

נניח שלכל n הפונקציה $f_n(x)$ מוגדרת ב-I וחסומה שם: $|f_n(x)|\le M_n$ לכל $x\in I$. עוד נניח שהסכום $\sum_{n=1}^\infty M_n$ מתכנס ממש. אזי $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מתכנס במ"ש על I.

הוכחה

נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק לומר שמספיק להוכיח שהטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ קושי במ"ש ב-I. לצורך זה יהי $\varepsilon>0$ נתון. כיוון ש-$\sum_{n=1}^\infty M_n$ מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שאם $n>m>n_0$ אזי $\left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon$ או $\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon$ (כי $M_k\ge0$). כעת אם $n>m>n_0$ אז לכל $x\in I$ מתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left|\sum_{k=m}^n f_n\right|\le\left|\sum_{k=m}^n|M_k|\le\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon

ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור $\sum f_n$ במ"ש על I. $\blacksquare$

מסקנה

בתנאים של מבחן וירשטרס לכל $x\in I$ $\sum f_n$ מתכנס בהחלט.

הוכחה

נקח $x\in I$ כלשהו. לפי נתון לכל k $|f_n(x)|\le M_k$ נתון ש- $\sum M_n$ מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה $\sum |f_n|$ מתכנס. $\blacksquare$

דוגמה

נוכיח שהטור ההנדסי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \infyt לא מוכרת): \sum_{n=0}^\infyt x^n

מתכנס נקודתית בקטע $(-1,1)$ אבל לא במ"ש ונוכיח שאם $0<r<1$ הטור מתכנס ב-$[-r,r]$. תשובה: כבר הוכחנו שאם $-1<x<1$ אז $\sum_{n=0}^\infty x^n$ מתכנס ל-$\frac1{1-x}$. ההתכנסות אינה במ"ש כי לכל סכום חלקי $S_N$ חסומה בקטע $(-1,1)$. $|S_N(x)|\le\sum_{n=0}^\infty |x^n|\le\sum_{n=0}^\infty 1=\infty$. אם היה נכון ש-$S_N(x)\to\frac1{1-x}$ במ"ש ב-$(-1,1)$. היינו מסיקים שהפונקציה $\frac1{1-x}$ חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש. נותר להוכיח שאם $r\in(0,1)$ אז $\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}$ במ"ש על $[-r,r]$. ובכן בקטע $[-r,r]$ מתקייים $|x^n|\le r^n=M_n$ כאן $\sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}$. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן וירשטרס אומר ש-$\sum_{n=0}^\infty x^n$ מתכנס במ"ש ב-$[-r,r]$.

משפט 8

נניח ש-$S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה $x_0\in I$ כל $f_n$ רציפה ב-$x_0$ אז גם S רציפה ב-$<math>formula$x_0</math>.

הוכחה

לכל N הסכום החלקי $S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x)$ סכום סופי של פונקציות רציפות ב-$x_0$.

מאינפי 1 ידוע ש-$S_N(x)$ רציפה ב-$x_0$ עבור כל N. נתון $S_N\to S$ במ"ש על I.

לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-$x_0$. $\blacksquare$

מסקנה

בתנאים של משפט 8, אם כל $f_n$ רציפה ב-I כולו אז גם f רציפה ב-I כולו.

משפט 9

נניח $S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ במ"ש על $[a,b]$. עוד נניח שכל $f_n$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$. אזי S אינטגרבילית ב-$[a,b]$ ו-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): \int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b</math\sum_{n=1}^\infty f> בתנאי שהטור מתכנס במ"ש ב-<math>[a,b] .

הוכחה

כרגיל נגדיר סכומים חלקיים $S_N$ ונתון $S_n\to S$ במ"ש על $[a,b]$. לפי משפט 3 $\int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n$ כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מתאנו שקיים גבול $\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n$ לפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא $\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n$ והוכחנו שהוא שווה $\int\limits_a^b S$. $\blacksquare$

משפט 10

יהי $\sum_{n=1}^\infty f_n$ טור של פונקציות רציפות ב-I. נניח:

• עבור $x_0\in I$ אחד לפחות הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ מתכנס.
• $\sum_{n=1}^\infty f_n'$ סכום של פונקציות רציפות שמתכנס במ"ש לפונקציה g על I.

אזי $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים $S'=g$. בפרט, בתנאים אלה $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)$.

הוכחה

בהרצאה הבאה

דוגמה ממבחן

לכל $x\in\mathbb R$ נגדיר $S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}$. הוכיחו ש-f מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל $x\in\mathbb R$) ו-S בכלת נגזרת רציפה לכל $x\in\mathbb R$.

פתרון

בהרצאה הבאה