משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/15.5.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

התכנסות במידה שווה (המשך)

תרגיל ברוח מבחן

נניח ש-f_n\to f במ"ש על I וש-f_n חסומה ב-I לכל n. הוכיחו כי גם f חסומה ב-I והראו ע"י דוגמה שהתוצאה אינה נכונה אם f_n\to f נקודתית ב-I.

פתרון

אם f_n\to f במ"ש ב-I אז נוכל לקחת \varepsilon=1 ולכן קיים n מסויים כך שלכל x\in I מתקיים |f(x)-f_n(x)|<1 ונובע מאי-שיוויון המשולש כי לכל x\in I מתקיים |f(x)|-|f_n(x)|<1. לכן |f(x)|<|f_n(x)|+1. נתון ש-f_n חסומה, נניח |f_n(x)|\le M אזי \forall x\in I:\ |f(x)|<M+1. \blacksquare

לגבי הדוגמה הנגדית, נגדיר f_n(x)=\begin{cases}n&x\le\frac1n\\1/x&\text{else}\end{cases} ב-(0,1). אזי f_n\to f נקודתית וכל f_n חסומה ע"י n, אלא ש-f(x)=\frac1x, שבוודאי לא חסומה. \blacksquare




הגדרה: נתונה סדרת פונקציות \{f_n\} בקטע I. נאמר שהסדרה מקיימת את תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל \varepsilon>0 קיים n_0\in\mathbb N כך שאם n>m>n_0 אז |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon ב-I.

משפט 5

סדרת פונקציות \{f_n\} בקטע I מתכנסת במ"ש ב-I אם"ם היא מקיימת תנאי קושי במידה שווה.

הוכחה

תחילה נניח שקיים f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) במ"ש ונראה שתנאי קושי מתקיים. לצורך זה יהי \varepsilon>0 נתון. לפי הנתון ש-f_n\to f במ"ש ב-I, קיים n_0\in\mathbb N כך שאם n>n_0 אז |f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon2 לכל x\in I.

כעת אם n>m>n_0 אז לכל x\in I מתקיים |f_n(x)-f_m(x)|\le|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon.


לצד השני, נניח ש-\{f_n\} מקיימת תנאי קושי במ"ש ב-I. ניקח x_0\in I כלשהו ונעיר שסדרת המספרים \{f_n(x_0)\} היא סדרת קושי (כי עפ"י הנתון לכל \varepsilon>0 קיים n_0\in\mathbb N כך שאם n>m>n_0 אז |f_n(x_0)-f_m(x_0)|<\varepsilon) ולפי משפט קושי מאינפי 1 קיים גבול \lim_{n\to\infty} f_n(x_0). הדבר נכון לכל x_0\in I וכך נוצרת פונקציה גבולית f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x). נותר להוכיח שההתכנסות במ"ש. יהי \varepsilon>0 נתון. עפ"י תנאי קושי יש n_0\in\mathbb N כך שלכל m>n>n_0 מתקיים |f_n(x)-f_m(x)|<\frac\varepsilon2 לכל x\in I. כעת נבחר n>n_0 מסויים ולכל x\in I נשאיף m\to\infty כלומר |f_n(x)-f(x)|=\lim_{m\to\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon. לכן הוכחנו ש-f_n\to f במ"ש ב-I. \blacksquare

טורי פונקציות

נאמר שהטור \sum_{n=1}^\infty f_n(x) מתכנס ל-S(x) במ"ש על I אם S(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^Nf_n(x) במ"ש על I.

הגדרה: הטור \sum_{n=1}^\infty f_n(x) מקיים תנאי קושי במ"ש ב-I אם לכל \varepsilon>0 קיים n_0\in\mathbb N כך שאם n>m>n_0 אז \left|\sum_{k=m}^n f_k(x)\right|<\varepsilon לכל x\in I.

משפט 6

הטור \sum_{n=1}^\infty f_n(x) מתכנס במ"ש על I אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש ב-I.

הוכחה

לפי הגדרה \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש על I אם"ם סדרת הסכומים החלקיים \{S_N(x)\} מתכנסת במ"ש על I. לפי משפט 5 זה קורה אם"ם \{S_N(x)\} קושי במ"ש על I, כלומר אם"ם לכל \varepsilon>0 קיים n_0\in\mathbb N כך שאם n>m>n_0 אזי |S_n(x)-S_m(x)|<\varepsilon לכל x\in I, שמתקיים אם"ם \forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \left|\sum_{k=m+1}^n f_k(x)\right|<\varepsilon לכל x\in I וזה שקול לתנאי קושי להתכנסות הטור במ"ש על I. \blacksquare

משפט 7 (מבחן ה-M של ויירשטראס, Weierstrass M-test)

נניח שלכל n הפונקציה f_n(x) מוגדרת ב-I וחסומה שם: |f_n(x)|\le M_n לכל x\in I. עוד נניח שהסכום \sum_{n=1}^\infty M_n מתכנס במובן הצר. אזי \sum_{n=1}^\infty f_n(x) מתכנס במ"ש על I.

הוכחה

נסתמך על משפט 6 לומר שמספיק להוכיח שהטור \sum_{n=1}^\infty f_n(x) מקיים תנאי קושי ב-I. לצורך זה יהי \varepsilon>0 נתון. כיוון ש-\sum_{n=1}^\infty M_n מתכנס הוא טור קושי של מספרים. לכן קיים n_0\in\mathbb N כך שאם n>m>n_0 אזי \left|\sum_{k=m}^n M_k\right|<\varepsilon, כלומר \sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon (כי M_k\ge0). כעת אם n>m>n_0 אז לכל x\in I מתקיים \left|\sum_{k=m}^n f_n(x)\right|\le\sum_{k=m}^n|M_k|=\sum_{k=m}^n M_k<\varepsilon ובזה קיימנו את תנאי קושי להתכנסות הטור \sum f_n(x) במ"ש על I. \blacksquare

מסקנה

בתנאים של מבחן ויירשראס, אם x\in I אזי \sum f_n(x) מתכנס בהחלט.

הוכחה

נקח x\in I כלשהו. לפי הנתון \forall n:\ |f_n(x)|\le M_n וכן \sum M_n מתכנס בהחלט. ע"פ מבחן ההשוואה \sum |f_n(x)| מתכנס. \blacksquare

דוגמה

נוכיח שהטור ההנדסי \sum_{n=0}^\infty x^n מתכנס נקודתית בקטע (-1,1) אבל לא במ"ש ונוכיח שאם 0<r<1 הטור מתכנס ב-[-r,r]: כבר הוכחנו שאם -1<x<1 אז \sum_{n=0}^\infty x^n מתכנס ל-\frac1{1-x}.

נראה כי ההתכנסות אינה במ"ש. כל סכום חלקי S_N חסום בקטע (-1,1): |S_N(x)|\le\sum_{n=0}^N |x^n|\le\sum_{n=0}^N 1=N. אם היה נכון ש-S_N(x)\to\frac1{1-x} במ"ש ב-(-1,1) היינו מסיקים מהתרגיל בתחילת ההרצאה שהפונקציה \frac1{1-x} חסומה וזה אינו נכון. לכן ההתכנסות לא במ"ש.

נותר להוכיח שאם r\in(0,1) אז \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x} במ"ש על [-r,r]. ובכן בקטע [-r,r] מתקייים |x^n|\le r^n=M_n כאן \sum_{n=0}^\infty M_n=\sum_{n=0}^\infty r^n=\frac1{1-r}. כיוון שסכום החסמים מתכנס מבחן ויירשראס אומר ש-\sum_{n=0}^\infty x^n מתכנס במ"ש ב-[-r,r]. \blacksquare

משפט 8

נניח ש-S(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x) עם התכנסות במ"ש על I. אם עבור איזה x_0\in I כל f_n רציפה ב-x_0 אז גם S רציפה ב-x_0.

הוכחה

לכל N הסכום החלקי S_N(x)=\sum_{n=1}^N f_n(x) סכום סופי של פונקציות רציפות ב-x_0.

מאינפי 1 ידוע ש-S_N(x) רציפה ב-x_0 עבור כל N. נתון S_N\to S במ"ש על I.

לכן נובע ממשפט 2 ש-f רציפה ב-x_0. \blacksquare

מסקנה

בתנאים של משפט 8, אם כל f_n רציפה ב-I כולו אז גם S רציפה ב-I כולו.

משפט 9

נניח S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) במ"ש על [a,b]. עוד נניח שכל f_n אינטגרבילית ב-[a,b]. אזי S אינטגרבילית ב-[a,b] ו-\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty \int\limits_a^b f=\int\limits_a^b\sum_{n=1}^\infty f.

הוכחה

כרגיל נגדיר סכומים חלקיים S_N ונתון S_N\to S במ"ש על [a,b]. לפי משפט 3 \int\limits_a^b S=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b S_N=\lim_{N\to\infty}\int\limits_a^b\sum_{n=1}^N f_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n כי לסכום סופי ידוע שהאינטגרל של הסכום הוא סכום האינטגרלים. מצאנו שקיים גבול \lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N\int\limits_a^b f_n ולפי הגדרת סכום אינסופי הגבול הוא \sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f_n, והוא שווה ל-\int\limits_a^b S. \blacksquare

משפט 10

יהי \sum_{n=1}^\infty f_n טור של פונקציות בעלות נגזרות רציפות ב-I. נניח:

  • עבור נקודה x_0\in I אחת לפחות הטור \sum_{n=1}^\infty f_n(x_0) מתכנס.
  • טור הנגזרות \sum_{n=1}^\infty f_n' מתכנס במ"ש לפונקציה s על I.

אזי \sum_{n=1}^\infty f_n מתכנס במ"ש על I לפונקציה גזירה S ומתקיים S'=s. בפרט, בתנאים אלה \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x).

את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:

הוכחה

נגדיר סכומים חלקיים S_N=\sum_{n=1}^N f_n. הנתון הראשון אומר שלפחות בנקודה x=x_0 קיים \lim_{N\to\infty} S_N(x). הנתון השני אומר שקיים s(x)=\lim_{N\to\infty} S_N'(x) במ"ש ב-I. ז"א הסדרה \{S_N(x)\} מקיימת את התנאים של משפט 4 ולכן קיים S(x)=\lim_{N\to\infty} S_N(x) ב-I כך ש-S גזירה ב-I ו-S'=s. עתה S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) וכן s(x)=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^N f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'. מכיוון ש-S'=s נסיק \frac\mathrm d{\mathrm dx}\sum_{n=1}^\infty f_n(x)=\frac\mathrm d{\mathrm dx}S(x)=s(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'. \blacksquare

דוגמה ממבחן

לכל x\in\mathbb R נגדיר S(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3}. הוכיחו ש-S מוגדרת היטב (ז"א הטור מתכנס לכל x\in\mathbb R) ו-S בעלת נגזרת רציפה לכל x\in\mathbb R.

פתרון

לפי מבחן ה-M של ויירשראס, נמצא חסם עליון לערך המוחלט איברי הטור: \forall n:\ \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin(nx)}{n^3}\right|=\frac1{n^3}. כעת \sum\frac1{n^3} מתכנס, לכן \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} מתכנס במ"ש על \mathbb R, כלומר S מוגדרת היטב. נותר להוכיח ש-S' קיימת ורציפה. נעזר במשפט 10: הטור \sum_{n=1}^\infty\frac{\sin(nx)}{n^3} מתכנס בכל נקודה ב-\mathbb R וכן הטור הגזור איבר-איבר הוא \sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}. לכל n מתקיים \sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\cos(nx)}{n^2}\right|=\frac1{n^2} ו-\sum\frac1{n^2} מתכנס. ע"י מבחן ה-M של ויירשראס נסיק שהטור הגזור מתכנס במ"ש על \mathbb R ולכן S' קיימת ובפרט S'=\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos(nx)}{n^2}. ברור כי \frac{\cos(nx)}{n^2} רציפה ב-\mathbb R ולכן, מכיוון שההתכנסות ל-S' במ"ש, גם S' רציפה (לפי משפט 8). \blacksquare