גרסה מ־15:29, 9 ביוני 2011

את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-17.6.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.

תוכן עניינים

1 התכנסות במ"ש של טורים (המשך)
- 1.1 דוגמה
2 טורי חזקות
- 2.1 משפט 1
  - 2.1.1 הוכחה

התכנסות במ"ש של טורים (המשך)

דוגמה

נבנה פונקציה S רציפה ב- $\mathbb R$ שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר $f_1(x)=|x|$ בקטע $[-1,1]$ עם המשך מחזורי בכל $\mathbb R$ :

לכן $f_1(x+2)=f_1(x)$ וכן אם $x\not\in\mathbb Z$ אז $f_1'(x)\in\{\pm1\}$ , ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר $f_2(x)=\frac14f_1(4x)$ ואז $f_2\left(x+\frac24\right)=f_2(x)$ וכן אם $\frac x4\not\in\mathbb Z$ אז $f_2'(x)\in\{\pm1\}$ . נמשיך להגדיר $f_{n+1}(x)=\frac14f_n(4x)=\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)$ ולכן $f_{n+1}\left(x+\frac 2{4^n}\right)=f_{n+1}(x)$ ואם $\frac x{4^n}\not\in\mathbb Z$ אז $f_{n+1}'(x)\in\{\pm1\}$ . לבסוף, נגדיר $S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ אזי S רציפה ב- $\mathbb R$ (כי כל $f_n$ רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: $|f_n(x)|=\left|\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)\right|\le\frac1{4^n}$ ו- $\sum\frac1{4^n}$ מתכנס).

הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: $S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1$ שמתבדר (כי $\pm1\not\to0$ ), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם $f_n\to f$ במ"ש ואם $\lim_{n\to\infty}f_n'$ לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת $f_n$ שהגדרנו קודם: $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0$ ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל $\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)$ שמתבדר בין $-1$ ל- $1$ , עם ערכים לא מוגדרים באמצע.

הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות $x_1,x_2\in\mathbb R$ מקיימות את התכונה $P_1$ הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של $f_1$ (למשל הקטע $[0,1]$ , כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע $[-3,-2]$ וכו'). אם $x_1,x_2$ מקיימות זאת אזי $\frac{f_1(x_1)-f_1(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}$ . נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות $x_1,x_2$ מקיימות תכונה $P_n$ אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של $f_n$ . במקרה כזה $\frac{f_n(x_1)-f_n(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}$ . נשים לב שאם הנקודות $x_1,x_2$ מקיימות $P_n$ אז הן מקיימות $P_{n-1}$ , ובהכללה $P_n\implies P_{n-1}\implies\dots\implies P_1$ . כעת יהי $x\in\mathbb R$ נתון ונוכיח כי $S'(x)$ לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה $\{h_m\}$ כלשהי כך ש- $0\ne h_m\to0$ לא קיים הגבול $\lim_{m\to\infty}\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}$ . נבחר $h_m=\frac2{4^m}$ אם $x,x+\frac2{4^m}$ מקיימות $P_m$ , ו- $h_m=-\frac2{4^m}$ אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות $x,x+h_m$ מקיימות $P_m$ כי אם $x,x+\frac2{4^m}$ לא מקיימות $P_m$ אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של $f_m$ . ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב- $f_m$ הוא $\frac4{4^m}$ ולכן $x,x-\frac2{4^m}$ כן מקיימות $P_m$ . כמו כן ברור כי $0\ne h_m\to0$ . מתקיים $\forall m:\ \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}$ . כיוון ש- $x,x+h_m$ מקיימות $P_m\and P_{m-1}\and\dots\and P_1$ מתקיימת לכל $1\le n\le m$ הטענה $\frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}\in\{\pm1\}$ . עבור $n>m$ המחזור של $f_n$ הוא $\frac2{4^{n-1}}$ . אם $n>m$ אז $h_m=\pm\frac2{4^m}=\pm\frac2{4^{n-1}}\cdot4^{n-m-1}$ הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן $f_n(x+h_m)=f_n(x)$ , ומכאן ש- $\forall n>m:\ \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}=0$ . לפיכך לכל m נקבל $\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^m\pm1+\sum0$ . כאשר $m\to\infty$ הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x. $\blacksquare$

טורי חזקות

הגדרה: טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ עבור $a_n,x_0\in\mathbb R$ לכל n. כאשר $\forall n:\ a_n=1$ נקבל טור הנדסי.

דוגמה: $\sum_{n=0}^\infty (x+5)^n$ הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב $y=x+5$ נקבל $\sum_{n=0}^\infty y^n$ , ולכן הטור מתכנס אם"ם $|y|=|x+5|<1$ , וסכומו הוא $\frac1{1-y}=-\frac1{x+4}$ .

משפט 1

יהי $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות כלשהו ונגדיר $R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:

אם x מקיים $|x-x_0|<R$ אז הטור מתכנס בהחלט.
אם x מקיים $|x-x_0|>R$ אז הטור מתבדר.
אם $0<r<R$ אז הטור מתכנס במ"ש בקטע $[x_0-r,x_0+r]$ .

הוכחה

יהי x כך ש- $|x-x_0|<R$ ונבחר P כך ש- $|x-x_0|<P<R$ . מכאן נובע ש- $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R<\frac1P$ ולפיכך קיים $n_0\in\mathbb N$ כך ש- $\forall n>n_0:\ \sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P$ . מכאן נובע כי $\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|<\frac{|x-x_0|}P<1$ ולכן $|a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n<1$ . מכאן שהטור $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n$ הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה $\sum_{n=0}^\infty |a_n|\cdot|x-x_0|^n$ מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x. $\blacksquare$
נתון $|x-x_0|>R$ ונרשום $P=|x-x_0|$ . לפי הנתון $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R>\frac1P$ ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש- $\sqrt[n]{|a_n|}>\frac1P$ . עבור אותם n-ים מתקיים $\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|>\frac{|x-x_0|}P=1$ ולכן $|a_n|\cdot|x-x_0|^n>1$ . לפיכך $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ מתבדר (כי האיבר הכללי $a_n(x-x_0)^n$ לא שואף ל-0). $\blacksquare$
נבחר P כך ש- $0<r<P<R$ . כמו בסעיף 1, קיים $n_0\in\mathbb N$ כך שלכל $n>n_0$ מתקיים $\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P$ ולכן אם $|x-x_0|\le r$ אז $\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n$ . קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור $\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|$ וכיוון שסכום החסמים $\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n$ הוא טור הנדסי מתכנס (כי $\left|\frac rP\right|<1$ ) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש- $\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|$ מתכנס במ"ש ב- $[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}$ . $\blacksquare$

הערה: באופן כללי, עבור $L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ , $0\le L\le\infty$ . כאשר $L=0$ מתקיים $R=\infty$ , ואז הטור מתכנס בהחלט לכל $x\in\mathbb R$ , ובמ"ש על כל תת קטע של $\mathbb R$ (כולל $\mathbb R$ עצמו). כאשר $L=\infty$ מתקיים $R=0$ ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר $x=x_0$ .

הערה: לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים $|x-x_0|=R$ . מקרה זה יש לבדוק בנפרד.

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 לכן <math>f_1(x+2)=f_1(x)</math> וכן אם <math>x\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_1'(x)\in\{\pm1\}</math>, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר <math>f_2(x)=\frac14f_1(4x)</math> ואז <math>f_2\left(x+\frac24\right)=f_2(x)</math> וכן אם <math>\frac x4\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_2'(x)\in\{\pm1\}</math>. נמשיך להגדיר <math>f_{n+1}(x)=\frac14f_n(4x)=\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)</math> ולכן <math>f_{n+1}\left(x+\frac 2{4^n}\right)=f_{n+1}(x)</math> ואם <math>\frac x{4^n}\not\in\mathbb Z</math> אז <math>f_{n+1}'(x)\in\{\pm1\}</math>. לבסוף, נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x)</math> אזי S רציפה ב-<math>\mathbb R</math> (כי כל <math>f_n</math> רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: <math>|f_n(x)|=\left|\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)\right|\le\frac1{4^n}</math> ו-<math>\sum\frac1{4^n}</math> מתכנס).
-''הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה:'' <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1</math> שמתבדר (כי <math>\pm1\not\to0</math>), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם <math>f_n\to f</math> במ"ש ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n'</math> לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת <math>f_n</math> שהגדרנו קודם: <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0</math> ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)</math> שמתבדר בין <math>-1</math> ל-1, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
+''הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה:'' <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1</math> שמתבדר (כי <math>\pm1\not\to0</math>), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם <math>f_n\to f</math> במ"ש ואם <math>\lim_{n\to\infty}f_n'</math> לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת <math>f_n</math> שהגדרנו קודם: <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0</math> ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx)</math> שמתבדר בין <math>-1</math> ל-<math>1</math>, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.
 ''הוכחה נכונה:'' נאמר ששתי נקודות שונות <math>x_1,x_2\in\mathbb R</math> מקיימות את התכונה <math>P_1</math> הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_1</math> (למשל הקטע <math>[0,1]</math>, כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע <math>[-3,-2]</math> וכו'). אם <math>x_1,x_2</math> מקיימות זאת אזי <math>\frac{f_1(x_1)-f_1(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות תכונה <math>P_n</math> אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של <math>f_n</math>. במקרה כזה <math>\frac{f_n(x_1)-f_n(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}</math>. נשים לב שאם הנקודות <math>x_1,x_2</math> מקיימות <math>P_n</math> אז הן מקיימות <math>P_{n-1}</math>, ובהכללה <math>P_n\implies P_{n-1}\implies\dots\implies P_1</math>. כעת יהי <math>x\in\mathbb R</math> נתון ונוכיח כי <math>S'(x)</math> לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה <math>\{h_m\}</math> כלשהי כך ש-<math>0\ne h_m\to0</math> לא קיים הגבול <math>\lim_{m\to\infty}\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}</math>. נבחר <math>h_m=\frac2{4^m}</math> אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> מקיימות <math>P_m</math>, ו-<math>h_m=-\frac2{4^m}</math> אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות <math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m</math> כי אם <math>x,x+\frac2{4^m}</math> לא מקיימות <math>P_m</math> אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של <math>f_m</math>. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-<math>f_m</math> הוא <math>\frac4{4^m}</math> ולכן <math>x,x-\frac2{4^m}</math> כן מקיימות <math>P_m</math>. כמו כן ברור כי <math>0\ne h_m\to0</math>. מתקיים <math>\forall m:\ \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}</math>. כיוון ש-<math>x,x+h_m</math> מקיימות <math>P_m\and P_{m-1}\and\dots\and P_1</math> מתקיימת לכל <math>1\le n\le m</math> הטענה <math>\frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}\in\{\pm1\}</math>. עבור <math>n>m</math> המחזור של <math>f_n</math> הוא <math>\frac2{4^{n-1}}</math>. אם <math>n>m</math> אז <math>h_m=\pm\frac2{4^m}=\pm\frac2{4^{n-1}}\cdot4^{n-m-1}</math> הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן <math>f_n(x+h_m)=f_n(x)</math>, ומכאן ש-<math>\forall n>m:\ \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}=0</math>. לפיכך לכל m נקבל <math>\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^m\pm1+\sum0</math>. כאשר <math>m\to\infty</math> הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x. {{משל}}
+=טורי חזקות=
+'''הגדרה:''' טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> עבור <math>a_n,x_0\in\mathbb R</math> לכל n. כאשר <math>\forall n:\ a_n=1</math> נקבל טור הנדסי.
+''דוגמה:'' <math>\sum_{n=0}^\infty (x+5)^n</math> הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב <math>y=x+5</math> נקבל <math>\sum_{n=0}^\infty y^n</math>, ולכן הטור מתכנס אם"ם <math>|y|=|x+5|<1</math>, וסכומו הוא <math>\frac1{1-y}=-\frac1{x+4}</math>.
+==משפט 1==
+יהי <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> טור חזקות כלשהו ונגדיר <math>R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}</math> (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:
+# אם x מקיים <math>|x-x_0|<R</math> אז הטור מתכנס בהחלט.
+# אם x מקיים <math>|x-x_0|>R</math> אז הטור מתבדר.
+# אם <math>0<r<R</math> אז הטור מתכנס במ"ש בקטע <math>[x_0-r,x_0+r]</math>.
+===הוכחה===
+# יהי x כך ש-<math>|x-x_0|<R</math> ונבחר P כך ש-<math>|x-x_0|<P<R</math>. מכאן נובע ש-<math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R<\frac1P</math> ולפיכך קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>\forall n>n_0:\ \sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math>. מכאן נובע כי <math>\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|<\frac{|x-x_0|}P<1</math> ולכן <math>|a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n<1</math>. מכאן שהטור <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n</math> הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n|\cdot|x-x_0|^n</math> מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x. {{משל}}
+# נתון <math>|x-x_0|>R</math> ונרשום <math>P=|x-x_0|</math>. לפי הנתון <math>\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R>\frac1P</math> ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-<math>\sqrt[n]{|a_n|}>\frac1P</math>. עבור אותם n-ים מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|>\frac{|x-x_0|}P=1</math> ולכן <math>|a_n|\cdot|x-x_0|^n>1</math>. לפיכך <math>\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n</math> מתבדר (כי האיבר הכללי <math>a_n(x-x_0)^n</math> לא שואף ל-0). {{משל}}
+# נבחר P כך ש-<math>0<r<P<R</math>. כמו בסעיף 1, קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P</math> ולכן אם <math>|x-x_0|\le r</math> אז <math>\forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n</math>. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור <math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> וכיוון שסכום החסמים <math>\sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס (כי <math>\left|\frac rP\right|<1</math>) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-<math>\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n|</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}</math>. {{משל}}
+'''הערה:''' באופן כללי, עבור <math>L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}</math>, <math>0\le L\le\infty</math>. כאשר <math>L=0</math> מתקיים <math>R=\infty</math>, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל <math>x\in\mathbb R</math>, ובמ"ש על כל תת קטע של <math>\mathbb R</math> (כולל <math>\mathbb R</math> עצמו). כאשר <math>L=\infty</math> מתקיים <math>R=0</math> ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר <math>x=x_0</math>.
+'''הערה:''' לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים <math>|x-x_0|=R</math>. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11"

גרסה מ־15:29, 9 ביוני 2011

תוכן עניינים

התכנסות במ"ש של טורים (המשך)

דוגמה

טורי חזקות

משפט 1

הוכחה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים