משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/17.5.11

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

את משפט 10 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־17.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.

התכנסות במ"ש של טורים (המשך)

דוגמה

נבנה פונקציה S רציפה ב-\mathbb R שאינה גזירה באף נקודה. תחילה נגדיר f_1(x)=|x| בקטע [-1,1] עם המשך מחזורי בכל \mathbb R:

פונקצית ערך מוחלט מחזורית.png

לכן f_1(x+2)=f_1(x) וכן אם x\not\in\mathbb Z אז f_1'(x)\in\{\pm1\}, ואחרת הנגזרת לא קיימת. כמו כן נגדיר f_2(x)=\frac14f_1(4x) ואז f_2\left(x+\frac24\right)=f_2(x) וכן אם \frac x4\not\in\mathbb Z אז f_2'(x)\in\{\pm1\}. נמשיך להגדיר f_{n+1}(x)=\frac14f_n(4x)=\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right) ולכן f_{n+1}\left(x+\frac 2{4^n}\right)=f_{n+1}(x) ואם \frac x{4^n}\not\in\mathbb Z אז f_{n+1}'(x)\in\{\pm1\}. לבסוף, נגדיר S(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n(x) אזי S רציפה ב-\mathbb R (כי כל f_n רציפה והטור מתכנס במ"ש עפ"י מבחן ה-M של וירשטרס: |f_n(x)|=\left|\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)\right|\le\frac1{4^n} ו-\sum\frac1{4^n} מתכנס).

הוכחה שגויה לכך שהפונקציה לא גזירה: S'(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)=\sum_{n=1}^\infty \pm1 שמתבדר (כי \pm1\not\to0), ולכן הפונקציה אינה גזירה בשום נקודה. הוכחה זו אינה נכונה כי היא מתבססת על הטענה שאומרת שאם f_n\to f במ"ש ואם \lim_{n\to\infty}f_n' לא קיים אז f לא גזירה, טענה שאפשר לסתור בעזרת f_n שהגדרנו קודם: \lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{4^n}f_1\left(4^nx\right)=0 ולכן הפונקציה הגבולית (שהיא 0) גזירה, אבל \lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{4^n}{4^n}f_1'(4^nx) שמתבדר בין -1 ל-1, עם ערכים לא מוגדרים באמצע.

הוכחה נכונה: נאמר ששתי נקודות שונות x_1,x_2\in\mathbb R מקיימות את התכונה P_1 הן נמצאות בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של f_1 (למשל הקטע [0,1], כי הוא נמצא בין נקודות הקיצון שב-0 וב-1, או הקטע [-3,-2] וכו'). אם x_1,x_2 מקיימות זאת אזי \frac{f_1(x_1)-f_1(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}. נמשיך כך ונאמר ששתי נקודות x_1,x_2 מקיימות תכונה P_n אם"ם הן בקטע שבין שתי נקודות קיצון סמוכות של f_n. במקרה כזה \frac{f_n(x_1)-f_n(x_2)}{x_1-x_2}\in\{\pm1\}. נשים לב שאם הנקודות x_1,x_2 מקיימות P_n אז הן מקיימות P_{n-1}, ובהכללה P_n\implies P_{n-1}\implies\dots\implies P_1. כעת יהי x\in\mathbb R נתון ונוכיח כי S'(x) לא קיים. מספיק להוכיח שעבור סדרה \{h_m\} כלשהי כך ש-0\ne h_m\to0 לא קיים הגבול \lim_{m\to\infty}\frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}. נבחר h_m=\frac2{4^m} אם x,x+\frac2{4^m} מקיימות P_m, ו-h_m=-\frac2{4^m} אחרת. נשים לב שבכל מקרה הנקודות x,x+h_m מקיימות P_m כי אם x,x+\frac2{4^m} לא מקיימות P_m אזי יש בין שתיהן נקודת קיצון של f_m. ההפרש בין שיעורי ה-x של שתי נקודות קיצון סמוכות ב-f_m הוא \frac4{4^m} ולכן x,x-\frac2{4^m} כן מקיימות P_m. כמו כן ברור כי 0\ne h_m\to0. מתקיים \forall m:\ \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^\infty \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}. כיוון ש-x,x+h_m מקיימות P_m\and P_{m-1}\and\dots\and P_1 מתקיימת לכל 1\le n\le m הטענה \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}\in\{\pm1\}. עבור n>m המחזור של f_n הוא \frac2{4^{n-1}}. אם n>m אז h_m=\pm\frac2{4^m}=\pm\frac2{4^{n-1}}\cdot4^{n-m-1} הוא מספר שלם של מחזורים, ולכן f_n(x+h_m)=f_n(x), ומכאן ש-\forall n>m:\ \frac{f_n(x+h_m)-f_n(x)}{h_m}=0. לפיכך לכל m נקבל \frac{S(x+h_m)-S(x)}{h_m}=\sum_{n=1}^m\pm1+\sum0. כאשר m\to\infty הגבול לא קיים ולכן S לא גזירה ב-x, והטענה נכונה לכל x. \blacksquare

טורי חזקות

הגדרה: טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n עבור a_n,x_0\in\mathbb R לכל n. כאשר \forall n:\ a_n=1 נקבל טור הנדסי.

דוגמה: \sum_{n=0}^\infty (x+5)^n הוא טור חזקות הנדסי. אם נציב y=x+5 נקבל \sum_{n=0}^\infty y^n, ולכן הטור מתכנס אם"ם |y|=|x+5|<1, וסכומו הוא \frac1{1-y}=-\frac1{x+4}.

משפט 1

רדיוס התכנסות.png

יהי \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n טור חזקות כלשהו ונגדיר R=\frac1{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}} (R נקרא רדיוס ההתכנסות של הטור). אזי:

  1. אם x מקיים |x-x_0|<R אז הטור מתכנס בהחלט.
  2. אם x מקיים |x-x_0|>R אז הטור מתבדר.
  3. אם 0<r<R אז הטור מתכנס במ"ש בקטע [x_0-r,x_0+r].

הוכחה

  1. יהי x כך ש-|x-x_0|<R ונבחר P כך ש-|x-x_0|<P<R. מכאן נובע ש-\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R<\frac1P ולפיכך קיים n_0\in\mathbb N כך ש-\forall n>n_0:\ \sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P. מכאן נובע כי \sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|<\frac{|x-x_0|}P<1 ולכן |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n<1. מכאן שהטור \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{|x-x_0|}P\right)^n הוא טור הנדסי שמתכנס, וממבחן ההשוואה \sum_{n=0}^\infty |a_n|\cdot|x-x_0|^n מתכנס, כלומר הטור המקורי מתכנס בהחלט בנקודה x. \blacksquare
  2. נתון |x-x_0|>R ונרשום P=|x-x_0|. לפי הנתון \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac1R>\frac1P ולכן יש אינסוף אינדקסים n כך ש-\sqrt[n]{|a_n|}>\frac1P. עבור אותם n-ים מתקיים \sqrt[n]{|a_n|}\cdot|x-x_0|>\frac{|x-x_0|}P=1 ולכן |a_n|\cdot|x-x_0|^n>1. לפיכך \sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n מתבדר (כי האיבר הכללי a_n(x-x_0)^n לא שואף ל-0). \blacksquare
  3. נבחר P כך ש-0<r<P<R. כמו בסעיף 1, קיים n_0\in\mathbb N כך שלכל n>n_0 מתקיים \sqrt[n]{|a_n|}<\frac1P ולכן אם |x-x_0|\le r אז \forall n>n_0:\ |a_n|\cdot|x-x_0|^n<\left(\frac rP\right)^n. קיבלנו חסם על האיבר ה-n בטור \sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n| וכיוון שסכום החסמים \sum_{n=0}^\infty \left(\frac rP\right)^n הוא טור הנדסי מתכנס (כי \left|\frac rP\right|<1) נקבל ממבחן ה-M של וירשטרס ש-\sum_{n=0}^\infty |a_n(x-x_0)^n| מתכנס במ"ש ב-[x_0-r,x_0+r]=\{x:\ |x-x_0|\le r\}. \blacksquare

הערה: באופן כללי, עבור L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}, 0\le L\le\infty. כאשר L=0 מתקיים R=\infty, ואז הטור מתכנס בהחלט לכל x\in\mathbb R, ובמ"ש על כל תת קטע סופי של \mathbb R. כאשר L=\infty מתקיים R=0 ואז הטור מתכנס אך ורק כאשר x=x_0.

הערה: לא ניתן לבדוק ישירות מהמשפט התכנסות או התבדרות עבור x המקיים |x-x_0|=R. מקרה זה יש לבדוק בנפרד.