הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"

גרסה מ־14:19, 20 בפברואר 2011

אינטגרציה

הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).

דוגמת חישוב (ידני) של השטח:

(1)

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).

נחלק את הקטע $[0,1]$ :

$0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1$

$x_k=k/n$

מעל כל תת קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k\over n\right)^2=x_k^2 . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כמו כן, מעל כל קטע קטן $[x_{k-1},x_k]$ נבנה "מלבן חסום" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2

ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש- $\underline S\le A\le\bar S$ .

(2)

ז"א $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ . הדבר נכון לכל $n\in\mathbb N$ . לכן נוכל להשאיף $n\to\infty$ לקבל $\frac13\le A\le\frac13$ ולכן $A=\frac13$

בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!

הגדרה: תהי $f(x)$ מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה $F(x)$ קדומה ל-f ב-I אם $\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)$ .

דוגמה: ...

משפט 0: אם $F(x)$ ו- $G(x)$ קדומות ל- $f(x)$ בקטע I אז קיים קבוע c כך ש- $F(x)=G(x)+c$

הוכחה: נגדיר $H(x)=F(x)-G(x)$ לכן $H'(x)=F'(x)-G'(x)$

....

לפי תוצאה ממשפט לגראנג' $F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c$

$\blacksquare$

הגדרה: תהי $f(x)\ge0$ רציפה בקטע $[a,b]$ . ...

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי $f(x)\ge0$ מוגדרת ורציפה ב- $[a,b]$ . לכל $x\in[a,b]$ נגדיר $A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt$ אזי $f(x)=A'(x)$ לכל $x\in[a,b]$ .

2) אם $F(x)$ קדומה ל- $f(x)$ ב- $[a,b]$ אז $\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)$ .

הוכחה: (א) (3) רואים $A(a)=0$ המטרה $A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt$ .

$A(x)$ עולה

כעת לפי ההגדרה $A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$

בציור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): A(x+\Delta x}-A(x)

= השטח הארובה

$\Delta x$ = בסיס הארובה לכן $\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}$ = הגובה הממוצע של הארובה.

כאשר $\Delta x\to0$ זה שואף ל- $f(x)$ שהיא $A(x)$ .

(ב) נתונה פונקציה קדומה $F(x)$ אבל מחלק א ידוע שגם $A(x)$ פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש- $F(x)=A(x)+c$

לכן $F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx$

הגישה של דרבו

תהי $f(x)$ מוגדרת וחסומה $m\le F(x)\le M$ בקטע $[a,b]$ . נגדיר את התנודה של f ע"י $\Omega=M-m$ . כעת נגדיר חלוקה P של $[a,b]$

$a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-בדיקה
+== אינטגרציה ==
+'''הגדרה שגוייה:''' אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).
+דוגמת חישוב (ידני) של השטח:
+(1)
+ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).
+נחלק את הקטע <math>[0,1]</math>:
+<math>0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1</math>
+<math>x_k=k/n</math>
+מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math>
+נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left(k\over n\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math>\bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>
+כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>
+כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\bar S</math>.
+(2)
+ז"א <math>\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math>.
+הדבר נכון לכל <math>n\in\mathbb N</math>. לכן נוכל להשאיף <math>n\to\infty</math> לקבל
+<math>\frac13\le A\le\frac13</math> ולכן <math>A=\frac13</math>
+=== בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך! ===
+'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>.
+''דוגמה:''
+...
+'''משפט 0:''' אם <math>F(x)</math> ו-<math>G(x)</math> קדומות ל-<math>f(x)</math> בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-<math>F(x)=G(x)+c</math>
+'''הוכחה:''' נגדיר <math>H(x)=F(x)-G(x)</math> לכן <math>H'(x)=F'(x)-G'(x)</math>
+....
+לפי תוצאה ממשפט לגראנג' <math>F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c</math>
+{{משל}}
+----
+'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)\ge0</math> רציפה בקטע <math>[a,b]</math>.
+...
+המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי <math>f(x)\ge0</math> מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math>. לכל <math>x\in[a,b]</math> נגדיר <math>A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt</math> אזי <math>f(x)=A'(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>.
+) אם <math>F(x)</math> קדומה ל-<math>f(x)</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)</math>.
+----
+'''הוכחה:''' (א) (3)
+רואים <math>A(a)=0</math>
+המטרה <math>A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt</math>.
+<math>A(x)</math> עולה
+כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math>
+בציור <math>A(x+\Delta x}-A(x)</math> = השטח הארובה
+<math>\Delta x</math> = בסיס הארובה
+לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה.
+כאשר <math>\Delta x\to0</math> זה שואף ל-<math>f(x)</math> שהיא <math>A(x)</math>.
+(ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math>
+לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math>
+=== הגישה של דרבו ===
+תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה <math>m\le F(x)\le M</math> בקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר את התנודה של f ע"י <math>\Omega=M-m</math>. כעת נגדיר חלוקה P של <math>[a,b]</math>
+<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"

גרסה מ־14:19, 20 בפברואר 2011

אינטגרציה

בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!

הגישה של דרבו

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים