הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(אין הבדלים)

גרסה מ־17:07, 20 בפברואר 2011

אינטגרציה

הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).

דוגמת חישוב (ידני) של השטח:

(1)

ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).

נחלק את הקטע [0,1]:

0=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=1

x_k=k/n

מעל כל תת קטע קטן [x_{k-1},x_k]

נבנה "מלבן חוסם" שגובהו \left({k\over n}\right)^2=x_k^2. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם line S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כמו כן, מעל כל קטע קטן [x_{k-1},x_k] נבנה "מלבן חסום" שגובהו \left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2 ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}

כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-\underline S\le A\le\overline S.

(2)

ז"א \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\le A\le\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}. הדבר נכון לכל n\in\mathbb N. לכן נוכל להשאיף n\to\infty לקבל \frac13\le A\le\frac13 ולכן A=\frac13

בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך

הגדרה: תהי f(x) מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה F(x) קדומה ל-f ב-I אם \forall x\in I:\ F'(x)=f(x).

דוגמה: ...

משפט 0: אם F(x) ו-G(x) קדומות ל-f(x) בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-F(x)=G(x)+c

הוכחה: נגדיר H(x)=F(x)-G(x) לכן H'(x)=F'(x)-G'(x)

....

לפי תוצאה ממשפט לגראנג' F(x)-G(x)=H(x)=c\implies F(x)=G(x)+c

\blacksquare

הגדרה: תהי f(x)\ge0 רציפה בקטע [a,b]. ...

המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי f(x)\ge0 מוגדרת ורציפה ב-[a,b]. לכל x\in[a,b] נגדיר A(x)=\int\limits_a^x f(t)dt אזי f(x)=A'(x) לכל x\in[a,b].

2) אם F(x) קדומה ל-f(x) ב-[a,b] אז \int\limits_a^bf(t)dt=F(b)-F(a).

הוכחה: (א) (3) רואים A(a)=0 המטרה A(b)=\int\limits_a^bf(t)dt.

A(x) עולה

כעת לפי ההגדרה A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}

בציור A(x+\Delta x)-A(x) = השטח הארובה \Delta x = בסיס הארובה לכן \frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x} = הגובה הממוצע של הארובה.

כאשר \Delta x\to0 זה שואף ל-f(x) שהיא A(x).

(ב) נתונה פונקציה קדומה F(x) אבל מחלק א ידוע שגם A(x) פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-F(x)=A(x)+c

לכן F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}_{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx

הגישה של דרבו

תהי f(x) מוגדרת וחסומה m\le F(x)\le M בקטע [a,b]. נגדיר את התנודה של f ע"י \Omega=M-m. כעת נגדיר חלוקה P של [a,b]

a=x_0<x_1<\dots<x_n=b


עוד נגדיר לכל k אורך תת קטע מספר k = \Delta x_k=x_k-x_{k-1}

והפרמטר של P, \lambda(P) מוגדר ע"י \lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k

לכל k, 1\le k\le n נגדיר M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\} וכן m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}.

(4)

בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון \overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k ושטח חסום תחתון \underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k


\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k

משפט 1: עבור כל חלוקה P

m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)

הוכחה: m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)

=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k (כי לכל k מתקיים m\le m_k)

=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)

לפי משפט 1 המספרים \overline S(f,P),\underline S(f,P) חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).

לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P) 

 ו"האינטגרל התחתון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)

.

הגדרת האינטגרל לפי דרבו

תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-[a,b] נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-[a,b] אם עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\overline\int\limits_a^b f(x)dx 

ואם הם שווים אז נגדיר \int\limits_a^b f(x)dx להיות הערך המשותף של \underline\int f ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \overline\int f

.

דוגמהף בקטע [a,b] כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}. נקח חלוקה כלשהי ל-[a,b]

a=x_0<x_1<\dots<x_n=b לכל k

M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1 וכן m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0

לכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a


ואילו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0 .

מכאן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0 

ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips‏, gs ו־convert)): \overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a

. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.

הגדרה: תהי P חלוקה של קטע [a,b]. חלוקה Q של [a,b] נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.

משפט 2: תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-[a,b]. תהי P חלוקה של [a,b] ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז

0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega 0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega

(כאשר \lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k ו-\Omega=\sup\{f(x)\}-\inf\{f(x)\})

ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-\lambda(P)

הוכחה: מקרה ראשון: r=1. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת x_i'. כך ש-x_{i-1}<x_i'<x_i. בהתאם לכך נגדיר M_i'=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i\} ו-M_i''=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\} כעת בכל תת קטע [x_{k-1},x_k] מתקיים k\not=i. לא שינינו כלום. לכן \overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=\underbrace{M_Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}

  1. תרומת קטע i ל-\overline S(f,P)
  2. תרומת קטע i ל-\overline S(f,Q)

לפי עצם ההגדרות M_i\ge M_i' ו-M_i\ge M_i'' לכן \overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\ge M_i\Delta x_i-(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i'))=M_i(\Delta x_i-((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')))=M_i(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1}))=0

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=משתמש:אור_שחף/133_-_הרצאה/20.2.11&oldid=9782